單如恒

江蘇省連云港高級中學(xué) 222000

高考對復(fù)數(shù)的考查要求并不高，往往是一個(gè)送分的選擇題，主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的幾何意義.基于此，教學(xué)中教師往往只對復(fù)數(shù)做應(yīng)試層面的教學(xué)，而對復(fù)數(shù)的發(fā)展史、復(fù)數(shù)的內(nèi)涵以及復(fù)數(shù)的應(yīng)用涉及較少，這顯然不符合當(dāng)前提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)的要求［1］.那么，教師應(yīng)如何教才能體現(xiàn)出新課標(biāo)理念，才能為學(xué)生的終身發(fā)展服務(wù)呢？對此，筆者提出幾點(diǎn)復(fù)數(shù)教學(xué)建議，與同人共探.

回顧復(fù)數(shù)歷史，滲透數(shù)學(xué)文化

教數(shù)學(xué)，并非僅是教學(xué)生如何解題，還要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識的發(fā)展歷史.尤其是在“文化自信，以德樹人”的背景下，教師應(yīng)積極把“數(shù)學(xué)教學(xué)”轉(zhuǎn)型為“數(shù)學(xué)教育”.基于此，復(fù)數(shù)教學(xué)，教師不能僅圍繞高考去教，而應(yīng)把復(fù)數(shù)當(dāng)成真正的數(shù)學(xué)知識去教.

任何一個(gè)數(shù)學(xué)知識的形成都經(jīng)歷了歷史的洗禮，復(fù)數(shù)也不例外.教學(xué)中教師應(yīng)該讓學(xué)生了解復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的情感.什么是復(fù)數(shù)？復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)與虛數(shù)的統(tǒng)稱.對于實(shí)數(shù)，學(xué)生在初中階段已經(jīng)學(xué)過，因此這里的焦點(diǎn)是虛數(shù).虛數(shù)真的是虛無縹緲的數(shù)嗎？教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧虛數(shù)形成的這段歷史.在數(shù)學(xué)知識的發(fā)展史中，對虛數(shù)的假設(shè)是需要勇氣的，因?yàn)楫?dāng)時(shí)人們都無法接受，認(rèn)為虛數(shù)是想象出來的一種數(shù)，是不存在的，但數(shù)學(xué)家們還是對虛數(shù)進(jìn)行了長期的研究.首次認(rèn)真研究虛數(shù)的是意大利數(shù)學(xué)家卡丹（Cardano，1501—1576），他生活在文藝復(fù)興時(shí)期，堪稱數(shù)學(xué)“怪杰”，他從1545年開始研究虛數(shù)，當(dāng)時(shí)他把虛數(shù)叫做“詭辯量”.大約過了100年，著名數(shù)學(xué)家笛卡爾將這種數(shù)命名為虛數(shù).后來又過了140多年，大數(shù)學(xué)家歐拉還是認(rèn)為它是虛幻之?dāng)?shù)，于是用英文單詞imaginary（虛幻）的第一個(gè)字母i來表示它的單位，直到1831年大數(shù)學(xué)家高斯才對復(fù)平面作出了詳細(xì)說明，讓復(fù)數(shù)a+bi有了立足之地和用武之地，人們也才認(rèn)識到復(fù)數(shù).時(shí)至今日，復(fù)數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)科技中有著廣泛的應(yīng)用，無論是流體力學(xué)、熱力學(xué)、機(jī)翼理論，還是代數(shù)學(xué)、數(shù)論、微分方程，甚至是理論物理、彈性力學(xué)、天體力學(xué)，都能找到“復(fù)數(shù)”的身影.

數(shù)學(xué)課上講復(fù)數(shù)的發(fā)展史，是對歷史的尊重，也是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑.也許有人認(rèn)為，只需簡單地討論方程x2+1=0在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無解就可以輕松引入復(fù)數(shù)，但學(xué)生卻不能了解“真實(shí)的復(fù)數(shù)”，往往會認(rèn)為復(fù)數(shù)只是一個(gè)符號.由此可見，教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的滲透是何等重要，它有利于學(xué)生樹立正確的數(shù)學(xué)觀，學(xué)會用發(fā)展的眼光看待數(shù)學(xué).

厘清復(fù)數(shù)概念，提高探究能力

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)過程，一般分為六個(gè)階段——感知階段、想象階段、概括階段、形成階段、應(yīng)用階段和結(jié)構(gòu)階段，這六個(gè)階段體現(xiàn)了人們對事物的認(rèn)知規(guī)律，也是學(xué)生學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)概念的基本過程.復(fù)數(shù)對于學(xué)生來說是一個(gè)全新的概念，引入這個(gè)概念，教師可以引導(dǎo)學(xué)生在某些數(shù)學(xué)神奇的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)和總結(jié)規(guī)律.

比如在復(fù)數(shù)概念教學(xué)中，筆者提出以下問題：

若x1，x2是方程x2+x+1=0的兩個(gè)根，則兩根之和是多少？兩根之積又是多少？

對于這個(gè)問題，部分學(xué)生往往不假思索，依據(jù)韋達(dá)定理馬上得出了答案：x1+x2=-1，x1·x2=1.而一些善于思考的學(xué)生則質(zhì)疑：這個(gè)方程連實(shí)數(shù)根都不存在，哪兒來的兩根之和與兩根之積？韋達(dá)定理成立的前提條件是什么呢？是方程一定要存在實(shí)數(shù)根嗎？如果方程沒有實(shí)數(shù)根，它依然成立嗎？于是，筆者向?qū)W生提議：假如存在另外一種根（先不妨叫它為虛根），我們來驗(yàn)證韋達(dá)定理是否成立.學(xué)生根據(jù)一元二次方程的求根公式得x1=，x2=，經(jīng)檢驗(yàn)，依然滿足韋達(dá)定理.但學(xué)生又產(chǎn)生了新的問題：如何求-3的算術(shù)平方根呢？筆者提示，假設(shè)i2=-1（i為虛數(shù)單位），問題即可迎刃而解.于是學(xué)生求得x1=，同時(shí)發(fā)現(xiàn)，方程x2+x+1=0雖然不存在實(shí)數(shù)根，但它存在虛根，這兩個(gè)虛根同樣滿足韋達(dá)定理.筆者提示，這兩個(gè)虛根其實(shí)就是兩個(gè)虛數(shù).于是，趁勢引出復(fù)數(shù)a+bi（a，b∈R）的有關(guān)概念——什么是復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，什么是實(shí)數(shù)，什么是虛數(shù)，什么是純虛數(shù)，什么是復(fù)數(shù)，并分別探討當(dāng)a+bi（a，b∈R）為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)時(shí)實(shí)部與虛部滿足的條件.

在探討的過程中，學(xué)生提出了疑問：虛數(shù)到底存在不存在？如果存在，它表示什么呢？可見學(xué)生很想知道復(fù)數(shù)的幾何意義.于是，筆者引出了復(fù)平面概念，指出a+bi（a，b∈R）表示的是復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b），學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)，實(shí)數(shù)表示的點(diǎn)在x軸上，純虛數(shù)表示的點(diǎn)在y軸上，虛數(shù)表示的點(diǎn)在四個(gè)象限內(nèi).接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生回頭看的幾何意義，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)根表示的點(diǎn)都在以原點(diǎn)為圓心的單位圓上，可見“虛根不虛”.再接著，筆者要求學(xué)生在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程x3-1=0.由于上述問題的鋪墊，學(xué)生很快解得方程的三個(gè)根，分別是1，和，并驚奇地發(fā)現(xiàn)這三個(gè)根表示的點(diǎn)剛好把以原點(diǎn)為圓心的單位圓三等分，于是又得到了兩個(gè)非常有用的結(jié)論：若ω=-則有①ω2+ω+1=0；②ω3=1.

概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，概念的產(chǎn)生都有著豐富的背景.筆者認(rèn)為，從具體的背景中引導(dǎo)學(xué)生探究數(shù)學(xué)概念，比教師和盤托出數(shù)學(xué)概念更有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的建構(gòu).對于復(fù)數(shù)的概念課，或許有些教師認(rèn)為不要提及復(fù)數(shù)的幾何意義，但筆者認(rèn)為復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)的概念密不可分，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義看復(fù)數(shù)的概念比單純研究復(fù)數(shù)的概念更有利于學(xué)生理解.

強(qiáng)化復(fù)數(shù)應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

新課標(biāo)對復(fù)數(shù)教學(xué)的要求雖然不高，考試也只是要求學(xué)生掌握復(fù)數(shù)的概念以及基本運(yùn)算和幾何意義的簡單應(yīng)用，一般不會涉及難題，但從培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)的角度來看，筆者認(rèn)為復(fù)數(shù)教學(xué)不能僅以考試要求為原則，還應(yīng)通過強(qiáng)化復(fù)數(shù)應(yīng)用，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).尤其是教材的選學(xué)內(nèi)容——復(fù)數(shù)的三角表示，為復(fù)數(shù)教學(xué)指明了方向［2］.雖然是選學(xué)內(nèi)容，但它能溝通復(fù)數(shù)的幾何意義與三角函數(shù)之間的聯(lián)系，筆者認(rèn)為不妨將它當(dāng)成必學(xué)內(nèi)容.

繼平面向量后，復(fù)數(shù)幫我們建立了一座聯(lián)系代數(shù)與幾何的“橋梁”，教師可以通過這座“橋梁”，幫助學(xué)生溝通數(shù)學(xué)知識間的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)獨(dú)特的復(fù)數(shù)法.下面舉例說明：

對于第（1）問，可以引導(dǎo)學(xué)生把每一個(gè)根號都看成復(fù)數(shù)的模，通過構(gòu)造復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義解決問題：

對于第（2）問，同樣可以通過構(gòu)造復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的三角表示來解決數(shù)列問題：

由此可見，巧妙利用復(fù)數(shù)，可以創(chuàng)造性地解決一些比較復(fù)雜的問題，這些源于課本又高于課本的數(shù)學(xué)方法，也應(yīng)該成為教學(xué)重點(diǎn).雖然從應(yīng)試角度來看，對復(fù)數(shù)方法拓展性的應(yīng)用似乎沒有必要，但從學(xué)生的終身發(fā)展來看，在復(fù)數(shù)教學(xué)中，這種數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)十分重要，也十分必要.因?yàn)闊o論學(xué)習(xí)什么，只有站得高才能看得遠(yuǎn)，“會當(dāng)凌絕頂”，方可“一覽眾山小”.

以上三點(diǎn)建議，是基于學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提出的，筆者認(rèn)為，真正的數(shù)學(xué)教育應(yīng)擺脫應(yīng)試教育的束縛，走出“考什么，教什么”的誤區(qū).應(yīng)忠于教材，又不囿于教材，以培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力，促進(jìn)學(xué)生終身發(fā)展.