嚴小紅

陜西省商洛中學 726000

新課標明確提出：數(shù)學教學活動不能局限于記憶、模仿和練習等方面，還應注重動手實踐、自主探索與合作交流等活動方式［1］.數(shù)學實驗能讓學生在自主操作中進行思辨，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的神奇之處，從而有效地啟發(fā)學生的思維，促進學生對知識、技能、思想、活動經(jīng)驗的掌握（簡稱“四基”），培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力（簡稱“四能”）.

教學背景分析

實驗操作能為學生提供良好的學習體驗，培養(yǎng)學生動手、動腦的能力，為創(chuàng)新意識的形成和發(fā)展奠定基礎.為了貫徹落實教育系統(tǒng)對創(chuàng)新人才的培養(yǎng)要求，筆者在橢圓教學中，特別針對本班學生設計了一堂實驗操作課，以促進學生多樣化和差異性發(fā)展.橢圓折紙內(nèi)容在教材中有所體現(xiàn)，本節(jié)課中，筆者帶領學生通過實驗操作和思辨進行教學，取得了一定的成效.

教學簡錄

選擇實驗探索教學法，通過實驗引發(fā)學生猜想，而后進行驗證、應用、拓展、反思等，意在培養(yǎng)和發(fā)展學生的“四基”和“四能”.教學的每個環(huán)節(jié)都以問題為驅(qū)動點，讓學生在解決原有問題的基礎上提出新的問題，使得每個問題環(huán)環(huán)相扣，讓學生從真正意義上掌握問題的探究方法和知識的內(nèi)涵.

1.第一個環(huán)節(jié)：實驗引發(fā)猜想

要求學生提前準備一張圓形紙，在紙片內(nèi)任取一點A（非圓心），折疊這張紙片，使得圓周必須經(jīng)過點A，展開后可見一條折痕（用l表示），為了能清楚地看到這條折痕，可用鉛筆將l勾勒出來（見圖1）.隨著折疊次數(shù)的增加，折痕越來越多，要求學生觀察勾勒出來的折痕輪廓，說說形成了一個怎樣的曲線.此過程建議學生兩兩分組，配合完成.

圖1

師：在折疊過程中，圓周上的每一點都能與點A重合，形成對應的折痕嗎？

生1：實踐證明是可以的.

師：既然每一點都可以，那么所獲得的圖形是不是一個封閉圖形？

生2：是的.

師：照這么來看，也就是要盡可能增加折疊次數(shù)，現(xiàn)在我們一起來分析一下，進行多次折疊后所形成的封閉圖形是什么圖形.

眾生：應該是橢圓形.

師：因為手動折疊受各種因素的限制，現(xiàn)在我們借助多媒體的演示功能，模擬手動折疊，將折痕顯示出來（見圖2），大家一起來感知無數(shù)次折疊后所形成的折痕輪廓與曲線之間存在怎樣的位置關系.

圖2

設計意圖：學生親歷動手操作，易對知識形成良好的感性認識，為橢圓的出現(xiàn)奠定基礎.但手動折疊紙張的次數(shù)有限，無法直觀看到所獲得的封閉圖形，而應用多媒體，不僅能讓學生直觀看到動手操作所無法達成的效果，還能讓學生在強烈的視覺沖突中，對知識形成深刻印象，為更好地理解與內(nèi)化知識夯實基礎.

張奠宙認為：實際操作具體事物，并進行觀察與思考，能讓學生從感性認識上升到理性認識，獲得基本的數(shù)學經(jīng)驗［2］.以上教學過程告訴我們，數(shù)學實驗操作除了親自動手增強對知識的直觀認識外，還可以將信息技術與數(shù)學課堂教學相融合，給學生帶來更加豐富的感官刺激，以深化學生對知識的理解.

2.第二個環(huán)節(jié)：驗證引發(fā)結(jié)論

師：大家都認為所獲得的輪廓線為橢圓形，有沒有辦法進行驗證呢？

生3：如圖3所示，我們可猜想折痕與曲線為相切的關系，也就是說每條折痕都是曲線的切線.

圖3

師：不錯，我們該如何證明折痕是曲線的切線，且曲線又是橢圓呢？

生4：我們可以從“只有一個公共點”的角度進行探索.

師：要確定切點既位于折痕上，又位于橢圓上，那么在圖3中該如何表達出來呢？

生5：其實折痕即線段AB的垂直平分線，連接OB，并與折痕相交于點C，我們只要證明以下兩點即可：①點C位于橢圓上；②橢圓與折痕之間有且只有一個公共點.

師：該如何證明這兩點呢？

生6：根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，可知OC+AC=OC+BC=OB（半徑），從橢圓的定義出發(fā)，可以明確點C位于橢圓上.從折痕上任意取點D（非點C），結(jié)合三角形的性質(zhì)，可知OD+AD=OD+BD＞BO（半徑），由此可確定點D不位于橢圓上.

師：很好！由此可知，有了圓心O和點A后，圓周上的每一點都與一條折痕相對應，也就是每一條折痕都與輪廓線上的某點相對應，這些點連在一起就構(gòu)成了橢圓.通過以上驗證，我們可以獲得什么結(jié)論？

結(jié)論1：每一條折痕都與橢圓上的一點相對應，折痕即橢圓的切線.

師：現(xiàn)在我們來討論，如果將圖中的AC視為入射光線，反射面為折痕所在面，那么哪條線為反射光線？

眾生：CO為反射光線.

師：該怎么驗證這個結(jié)論呢？

（學生合作交流）

生7：如圖4所示，因為∠1=∠2，∠1=∠3，所以∠2=∠3，由此可以確定入射角與反射角相等，可證明橢圓的光學性質(zhì).

圖4

師：由此我們可以獲得什么結(jié)論？

結(jié)論2：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，在橢圓壁反射后，必經(jīng)過橢圓的另一個焦點.

設計意圖：師生合作，分析并解決問題的過程，是激發(fā)學生探索欲的契機.教師通過對問題的精心設計與耐心引導，讓學生在問題情境中自主動手操作、合作探究，獲得相應的結(jié)論.

3.第三個環(huán)節(jié)：理解促進應用

師：在以上結(jié)論的基礎上，我們一起來探討橢圓的切線方程.

例1已知點在橢圓=1上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右兩個焦點，求橢圓C位于點P處的切線方程.

師：初遇本題，大家會想到用哪種方法來解決這個問題？

生9：從幾何的角度出發(fā)，以折紙實驗為解題的突破口.以點F2為圓心，4為半徑的圓的方程為（x-1）2+y2=16，該圓和直線PF2之間存在一個交點B（1，4），BF1的中垂線即為此題待求的切線.

師：非常好！這是以點F2為圓心畫圓的方法，那么我們是否能以點F1為圓心畫圓，并獲得切線方程呢？

生10：可以，以點F1為圓心畫圓，那么該圓和PF1之間有一個交點是，此時B′F2的中垂線就是本題待求的切線，解題過程與上述的解題過程類似.

師：之前我們還研究了光學性質(zhì)，我們是否可以從這個角度來分析解題？

師：太棒了！大家集思廣益，通過多角度來審視并分析同一問題，不僅加深了對問題的理解程度，還通過多種方法的應用，獲得了一般性的結(jié)論.

結(jié)論3：倘若點P（x0，y0）位于橢圓C：=1上，且a＞b＞0，那么點P處的切線方程是

師：以上問題是在知道橢圓方程的情況下求切線方程，如果反過來，在知道切線方程的情況下，是否能求橢圓方程呢？

例2已知焦點分別為F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）的橢圓與直線l：x-2y+4=0有且僅有一個公共點，該橢圓的長軸長是多少？

在例1的解題基礎上，學生很快就提出了以下三種解題方法：①用代數(shù)法，聯(lián)立方程后求解；②用幾何法，設點F1關于直線l的對稱點進行求解；③利用結(jié)論3，將切線進行轉(zhuǎn)化，獲得橢圓的長軸長為4.

設計意圖：例題訓練不僅能夯實學生的“四基”，還能有效地啟發(fā)學生的思維，為知識的靈活應用與“四能”的發(fā)展奠定基礎.通過以上兩個例題，引導學生從多角度探索問題，不僅拓寬了學生的視野，還有效地突破了學生思維定式的禁錮，讓學生能靈敏地應對各類新的問題，并學會從不同角度分析與思考問題，這種教學方式可以有效地促進學生成為獨具個性的學習者.

4.第四個環(huán)節(jié)：拓展啟發(fā)思考

新課標引領下的數(shù)學教學應遵循“以教材為根本”的原則，教師應揣摩編者的意圖，圍繞核心知識組織教學.教材所呈現(xiàn)的知識是靜止的、固化的，但實際教學卻是動態(tài)的、多維的.鑒于此，教師在以實驗操作為主導的教學活動中，也要注重知識的拓展和延伸，以增加教育的內(nèi)涵，凸顯數(shù)學教學的價值與意義.

創(chuàng)造性地應用教材，在課堂中根據(jù)實際教學需求，對教學內(nèi)容進行適當?shù)母脑旌屯卣?，對培養(yǎng)學生的學習興趣，促進思維發(fā)展具有一定的意義.作為教師，需潛心研究學生和知識的特點，通過豐富多樣的教學手段引導學生從不同角度拓寬知識面，讓學生充分理解知識所蘊含的辯證規(guī)律和科學精神，感知數(shù)學獨有的魅力.

師：大家在紙上畫圓O，并在該圓外取一個定點F，折疊紙片，讓圓周經(jīng)過點F，展開紙片可得到折痕l（為了看清，可用鉛筆將l勾勒出來）.按照這種方式進行多次折疊，獲得了大量折痕，觀察折痕輪廓，說說得到了什么曲線（見圖5）.

圖5

學生經(jīng)過觀察、類比、歸納推理，一致猜想所獲得的曲線為雙曲線，證明過程有待于課后研究.

設計意圖：此拓展是對本節(jié)課教學主題的深入探究，教師在下課前，巧妙地將培養(yǎng)學生“四能”的活動延伸到課堂之外，隨著問題的提出，再一次有效地調(diào)動了學生探究的積極性.在教師的點撥與啟發(fā)下，學生的思維經(jīng)歷了由淺入深、由易到難的發(fā)展過程.尤其是此問，不僅具有一定的難度，還是一個典型的開放性問題，對培養(yǎng)學生的數(shù)學思維與創(chuàng)新意識有著顯著幫助.

5.第五個環(huán)節(jié)：總結(jié)引發(fā)思考

本節(jié)課以折紙這個操作實驗作為探索知識的主要手段，對培養(yǎng)學生的“四基”和“四能”具有重要的價值和意義.教學中，實驗的設置、驗證、應用、思考等，都圍繞著“折痕”而展開，每個環(huán)節(jié)環(huán)環(huán)相扣、逐層遞進，學生不斷地質(zhì)疑、釋疑，思維經(jīng)歷了豐富的猜想、嚴謹?shù)尿炞C、靈活的應用、類比分析等過程，有效地促進了學生各項數(shù)學能力的形成和發(fā)展.

通過以上實驗操作的實施，學生不僅學會了用數(shù)學的眼光看待生活中的事物，感知生活與數(shù)學密不可分的聯(lián)系，還獲得了從生活事物中抽象數(shù)學模型的能力.尤其是一邊操作一邊描述的教學方法，讓學生學會了用多種方式來解釋身邊的數(shù)學現(xiàn)象，為形成良好的數(shù)學核心素養(yǎng)奠定了基礎.

教學反思

1.圍繞“四基”和“四能”展開實驗教學

“四基”和“四能”是課堂教學的主要目標，本節(jié)課通過五個環(huán)節(jié)的教學設計，讓學生通過實驗操作經(jīng)歷了猜想、驗證、理解、應用、拓展、總結(jié)、思考等環(huán)節(jié)，對培養(yǎng)學生的解題能力、問題意識、創(chuàng)新意識等具有顯著的促進作用.反觀這五個環(huán)節(jié)，都是圍繞培養(yǎng)學生的“四基”和“四能”進行的.

2.教師需站到宏觀的角度引領學生實驗探究

隨著新課改的推進，不論是對教師的教學水平，還是對知識儲備的要求都越來越高.作為高中數(shù)學教師，應不斷地增強自身的專業(yè)水平，為學生源源不斷地輸入“活水”.本節(jié)課的例題源于教材，教師讓學生親歷實踐操作，發(fā)現(xiàn)折紙后所形成的輪廓線為一個橢圓，這種觀察更偏感性認識，缺乏理性思考.

其實，折紙實驗后所形成的橢圓，涉及折痕與切線之間的關系，從數(shù)學本質(zhì)上來看，就是要研究二者的一致性，此時的探究具有明顯的邏輯性，符合對知識理性認識的范疇.受時空的限制，有些問題不便于課堂上進行研究，作為教師，應有足夠的知識儲備和能力，將復雜的問題深入淺出地傳授給學生，激發(fā)學生的探索欲.

3.用實驗的感性推進理性思維的發(fā)展

實驗操作帶給學生的先是視覺沖突，讓學生對知識形成感性認識，這是進行數(shù)學推理的基本步驟［3］.如例1讓學生求橢圓上某點的切線，就可以與圓上某點的切線進行類比，獲得切線方程.這種處理方式從邏輯上來看，缺乏一定的嚴密性.而將橢圓方程與直線方程聯(lián)立方程組的方法，所獲得的切線方程則屬于理性層面的分析，凸顯了解析幾何的靈魂.

總之，數(shù)學實驗為學生提供了動手操作的機會，讓學生充分體驗了知識的再創(chuàng)造過程，從很大程度上提高了學生的學習興趣、動手能力、思維能力、創(chuàng)新意識等.注重實驗操作教學，不僅能讓學生在操作、觀察、思考等層面訓練數(shù)學思維，還能有效地提高教學效果，促進數(shù)學核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.