何剛

四川省南充高級中學(xué) 623300

引言

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版）》要求將數(shù)學(xué)史滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)中，讓數(shù)學(xué)文化貫穿必修課程和選擇性必修課程，并提出發(fā)展數(shù)學(xué)文化這一理念，指出“數(shù)學(xué)文化要盡可能有機地結(jié)合高中數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，注意闡明數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展”，使學(xué)生“通過數(shù)學(xué)文化的學(xué)習(xí)，了解人類社會發(fā)展與數(shù)學(xué)發(fā)展的相互作用，認識數(shù)學(xué)發(fā)生、發(fā)展的必然規(guī)律，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家的嚴謹態(tài)度和鍥而不舍的探索精神”［1］.可見，將數(shù)學(xué)史融入平日的數(shù)學(xué)教學(xué)過程，不僅能使學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得以拓展、數(shù)學(xué)情感得以培養(yǎng)，還能更深層次地了解數(shù)學(xué)知識，更能發(fā)展數(shù)學(xué)文化，從而培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).

然而，在現(xiàn)實的課堂中，一線數(shù)學(xué)教師雖然知道數(shù)學(xué)文化的重要性，但長期受應(yīng)試教育的影響，導(dǎo)致部分數(shù)學(xué)教師對數(shù)學(xué)文化的內(nèi)涵認識不足，在數(shù)學(xué)文化的理解上出現(xiàn)了片面化，認為數(shù)學(xué)文化在試卷中只不過是以文化素材的形式出現(xiàn)在一兩道試題中，不如多講一些例題更實在.

將數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)進行有機融合是數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域里的一項非常重要的工作，當(dāng)下實際數(shù)學(xué)教學(xué)中，將數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)課堂已成為一種得到了廣泛實踐并推崇的教學(xué)模式.但如何有效實現(xiàn)數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)教學(xué)的整合？如何使得基于數(shù)學(xué)文化視角的數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計不流于形式，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)文化在實際教學(xué)中的重要價值？

數(shù)學(xué)文化的含義

“文化”一詞，在《現(xiàn)代漢語詞典》中的解釋為：“人類在社會歷史發(fā)展過程中所創(chuàng)造的物質(zhì)財富和精神財富的總和，特指精神財富，如文學(xué)、藝術(shù)、教育、科學(xué)等.”［2］

學(xué)者王新民、馬岷興在文章《新課程中“數(shù)學(xué)文化”的涵義詮釋》中認為：“數(shù)學(xué)文化是指人類在數(shù)學(xué)行為活動中所創(chuàng)造的物質(zhì)產(chǎn)品和精神產(chǎn)品，其中物質(zhì)產(chǎn)品是指數(shù)學(xué)命題、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)語言等知識性成分；而精神產(chǎn)品是指數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)意識、數(shù)學(xué)精神以及數(shù)學(xué)美等觀念性成分.”［3］

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版）》對數(shù)學(xué)文化做了如下的定義：“它指數(shù)學(xué)的思想、精神、語言、方法、觀點，以及它們的形成和發(fā)展；包括數(shù)學(xué)在人類生活、科學(xué)技術(shù)、社會發(fā)展中的貢獻和意義，以及與數(shù)學(xué)相關(guān)的人文活動.”［1］由此人們知道數(shù)學(xué)文化是更高層次的觀念性因素，它以數(shù)學(xué)知識為依托，是數(shù)學(xué)教學(xué)的載體，因此數(shù)學(xué)文化有別于數(shù)學(xué)知識，教學(xué)中教師應(yīng)該摒棄簡單粗暴的介紹式教學(xué)方式而使用融入式教學(xué)方式更適合.

數(shù)學(xué)文化教學(xué)的意義

1.滲透史料，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，促進深度思考

學(xué)生接觸到一個新知識或新概念時，疑惑最多的就是“為什么是那樣？”數(shù)學(xué)史可以幫助我們?nèi)プ匪輪栴}的來龍去脈、知識演變發(fā)展的過程，觸及問題的本質(zhì)，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)是自然的，知識的產(chǎn)生是水到渠成的，疑惑便順利解開；讓學(xué)生體驗深度思考，理解知識背后所蘊含的數(shù)學(xué)思想，激發(fā)學(xué)生濃厚的學(xué)習(xí)欲望.

2.滲透思想，促進思維發(fā)展，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

探究數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)概念、命題的基本觀點，這些都離不開數(shù)學(xué)思想.領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想不僅是問題發(fā)現(xiàn)和提出的源泉，還是問題分析并解決的根本.數(shù)學(xué)教學(xué)過程是學(xué)生在教師的指導(dǎo)下通過數(shù)學(xué)思維活動，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家的思維活動的成果，并發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的過程［4］.教學(xué)中教師以數(shù)學(xué)思想為魂，為學(xué)生創(chuàng)設(shè)時機去體驗“再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造”，經(jīng)歷數(shù)學(xué)思維分析的過程，實現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變，將問題不斷深入、拓展，使其一般化，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng).

3.優(yōu)化學(xué)習(xí)，營造文化氛圍，實現(xiàn)有效課堂

教學(xué)中教師教什么？肯定是教材.教材凝聚著專家學(xué)者的心血和智慧，教材中的知識是有權(quán)威的，教材中的例題、習(xí)題都是精心打磨的，它們往往具有一定的背景，有些是外顯的，還有許多屬于內(nèi)隱型的，需要教師用心挖掘這些豐富的數(shù)學(xué)文化資源.這樣可以理清知識的生長點，為學(xué)生能個性思考提供基礎(chǔ)，實現(xiàn)學(xué)生自主探究，能積極主動參與數(shù)學(xué)知識的建構(gòu).以數(shù)學(xué)文化為著眼點，在問題分析中，更利于師生、生生之間的合作交流，使得課堂氛圍充滿著積極互助、和諧民主的景象，實現(xiàn)有真正意義的有效課堂.

整合教材內(nèi)容，開發(fā)文化資源

借助人類歷史的長河，我們理清了教材中許多概念、公式、定理的源流.現(xiàn)如今，許多一線教師也意識到借助史料可以幫助學(xué)生學(xué)習(xí)概念、公式、定理.事實上，在現(xiàn)用的教材中，課后習(xí)題的背景蘊含著豐富的數(shù)學(xué)文化資源，如何去開發(fā)挖掘？如何以高觀點的視角去聯(lián)系、看待問題？為了回答以上問題，筆者做了一點小小的嘗試——基于數(shù)學(xué)文化的實踐教學(xué)“隱圓”專題課，本文節(jié)選了課堂中的兩個重要環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)1：拋磚引玉

師：同學(xué)們，這些年我們一起學(xué)過了圓，你能談?wù)動洃浿嘘P(guān)于圓的知識嗎？在初中我們學(xué)過圓，定義讓我們了解了圓的一些幾何性質(zhì)，如垂徑定理等；在高中我們學(xué)會了利用代數(shù)的方法去研究圓，得到了圓的標(biāo)準方程和一般方程，以及弦長公式等.這節(jié)課我將和大家借助史料一起來探討高中教材課后習(xí)題中隱藏的圓，下面大家先來看一組題目：

（2）已知點A（0，0），B（1，1），點P滿足kPA·kPB=-1，求點P的軌跡方程.

（3）已知點A（0，0），B（1，1），點P滿足PA2+PB2=4，求點P的軌跡方程.

設(shè)計意圖：起始問題起點低，學(xué)生能迅速解決，此舉可讓學(xué)生積極地參與進來.事實上，題（1）、題（2）、題（3）、題（4）、題（5）均是學(xué)生平日見過的圓的呈現(xiàn)形式，是圓幾何形態(tài)的不同的代數(shù)表征.其中，題（1）的結(jié)論為：平面內(nèi)，到定點的距離等于定長的點的集合是圓；題（2）的結(jié)論為：平面內(nèi)，到兩個定點的斜率之積等于-1的點的集合是圓；題（3）的結(jié)論為：平面內(nèi)，到兩個定點A，B的距離的平方和等于定值）的點的集合是圓；題（4）的結(jié)論為：平面內(nèi)，與兩個定點A，B的向量的數(shù)量積等于定值）的點的集合是圓；題（5）的結(jié)論為：平面內(nèi)，到兩個定點的距離之比等于定值λ（λ＞0且λ≠1）的點的集合是圓.

環(huán)節(jié)2：教材呈現(xiàn)

探究1：人教A版必修2教材習(xí)題4.1B組第2題：長為2a的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，求線段AB的中點的軌跡方程.

第3題：已知動點M與兩個定點O（0，0），A（3，0）的距離之比為，求動點M的軌跡方程.

閱讀材料“用《幾何畫板》探究點的軌跡（圓）”中的例題：已知點P（2，0），Q（8，0），點M與點P的距離是它與點Q的距離的，用《幾何畫板》探究點M的軌跡，并給出軌跡的方程.

推廣：已知兩定點A，B的距離AB=k（k＞0），動點M到兩定點A，B的距離之比滿足=λ（λ＞0且λ≠1），則動點的軌跡是圓，圓心在直線AB上，半徑為且半徑是圓心到兩定點距離的比例中項.

設(shè)計意圖：學(xué)生利用解析法很快將上述問題得出了結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)了題目的共同特征：軌跡都是圓.教師這時介紹亞歷山大時期的數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（Apollonius of Perga，約公元前262年—前190年）的數(shù)學(xué)成就，并將此類圓命名為阿波羅尼奧斯圓（簡稱阿圓）.通過對阿圓的基本要素的探究學(xué)習(xí)，讓學(xué)生逐步積累如何發(fā)現(xiàn)、分析、解決問題的基本活動經(jīng)驗，發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng).

變式2：在△ABC中，c=2，3b2-a2=12，求△ABC面積的最大值.

設(shè)計意圖：揭示了阿圓問題的本質(zhì)，讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)問題并非無源之水、無本之木［5］，通過對問題的變式練習(xí)幫助學(xué)生領(lǐng)悟到問題本質(zhì)，同時讓學(xué)生學(xué)會通過整體聯(lián)系去處理某類共性問題，體會到題目只變其形不變其質(zhì)，從而使學(xué)生掌握探究問題的一般思維和方法，發(fā)展學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng).

此問題將圓的“隱”，作為認識的起點，即探索的起點，在此基礎(chǔ)上形成軌跡意識，借助解析幾何的方法建立幾何圖形與代數(shù)表達式之間的對應(yīng).

探究2：人教A版必修5教材習(xí)題3.4B組第2題：如圖1所示，樹頂A離地面a m，樹上另一點B離地面b m，在離地面c m的C處看此樹，離此樹多遠時視角最大？

圖1

設(shè)計意圖：此問題的背景是數(shù)學(xué)史上著名的米勒問題.1471年，德國數(shù)學(xué)家米勒提出了一個十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現(xiàn)最長？即在地球上什么部位，可視角最大？抽象成數(shù)學(xué)問題（見圖2）：線段AB垂直于直線EF，垂足為O，在直線EF上任選C，使得∠ACB的值最大，求此時C的位置.

圖2

對于此問題，文［6］給出了幾何解法.我們知道，在水平直線上選擇點C，使得△ACB外接圓與水平直線剛好相切于點C，切點就是視角最大的點（見圖3）.根據(jù)切割線定理可知，OC2=OA·OB.利用上述結(jié)論就可以“秒殺”教材中的問題：過點C作水平線的平行線交直線AB于點O（見圖4），易知OB=b-c，OA=a-c，則OC2=（a-c）（b-c），即

圖3

圖4

變式：如圖5所示，已知在以角B為鈍角的△ABC中，AB=3，=12，當(dāng)角C最大時，求△ABC的面積.

圖5

圖6

圖7

設(shè)計意圖：整合教材中的習(xí)題與本節(jié)課的主題，借助整體思想，讓學(xué)生體會到知識之間存在關(guān)聯(lián)，從而形成知識網(wǎng)絡(luò)，而不是一個個毫不相關(guān)且孤立的知識點；讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生具有其必要性和合理性，每一個知識都是有存在價值的.將數(shù)學(xué)史有效融入課堂，不是簡單敘述數(shù)學(xué)故事，更不是機械地挪用數(shù)學(xué)史.首先，教師自身要透徹地理解數(shù)學(xué)史，根據(jù)實際教學(xué)的需要在組織教學(xué)環(huán)節(jié)時挑選出適合學(xué)生學(xué)習(xí)的史料，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的生成過程，明白看似簡單題目的背后所蘊含的豐富的數(shù)學(xué)史，從中理解圓的意義，并體會數(shù)學(xué)家艱苦探索、鍥而不舍的鉆研精神，將數(shù)學(xué)史的價值最大程度地發(fā)揮出來.

在人教A版數(shù)學(xué)必修2中的主題為“畫法幾何與蒙日” 的閱讀與思考中提到了法國數(shù)學(xué)家蒙日，作為畫法幾何的創(chuàng)始人，他在其著作《畫法幾何學(xué)》中提到：“過橢圓外一點向橢圓做兩條互相垂直的切線，該點在同一圓上.”

探究3：（2014年高考廣東卷文理科第20題）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的一個焦點為，離心率為

（1）求橢圓C的標(biāo)準方程；

（2）若動點P（x0，y0）為橢圓C外一點，且點P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點P的軌跡方程.

將此問題進行推廣，得到一般化結(jié)論，如下：若動點P（x0，y0）是橢圓=1（a＞b＞0）外一點，且點P到橢圓的兩條切線相互垂直，則點P的軌跡方程為a2+b2.

該結(jié)論中的圓就是熟悉的蒙日圓.

設(shè)計意圖：本探究的設(shè)計基于兩條線，一條是基本知識的明線：以蒙日圓為背景提出問題，得出蒙日圓的定義；另一條是基本思想方法的暗線：先提出幾何問題，然后借助代數(shù)方法去研究，從而揭示出解析幾何的實質(zhì).在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準（2017年版）》中指出：“邏輯推理是指從一些事物和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推導(dǎo)其他命題的素養(yǎng).”［1］本探究借助類比推理發(fā)現(xiàn)一般性結(jié)論，然后經(jīng)過代數(shù)運算驗證結(jié)論，這一過程讓學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)與數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)得到提升.

結(jié)束語

1.對知識網(wǎng)絡(luò)的梳理

專題課的核心就是幫助學(xué)生厘清本專題所涉及的知識與方法，其目的是讓學(xué)生站在不同的角度去分析、理解同一問題，從而實現(xiàn)認識一類問題全面化、系統(tǒng)化，并在此基礎(chǔ)上深入探索與其相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)，形成知識網(wǎng)絡(luò)，擴展這個網(wǎng)絡(luò)的廣度與深度，最終讓學(xué)生在其頭腦中構(gòu)建解決這一類問題清晰的思路.本節(jié)課的內(nèi)容，實際上就是常見的“隱圓”，說“隱”一方面是因為它源于教材中的課后習(xí)題、閱讀材料；一方面體現(xiàn)在作為幾何圖形的圓用代數(shù)特征去表達；更重要的是每個圓背后還隱藏著豐富的數(shù)學(xué)史.這使得以圓為中心的這張知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖更具濃烈的人文氣息.

2.合理展現(xiàn)數(shù)學(xué)史，構(gòu)建靈動課堂

本節(jié)課通過有關(guān)圓的數(shù)學(xué)史的引入，重新組織了知識點之間的聯(lián)系，穿插了數(shù)學(xué)史中比較重要的幾個關(guān)于圓的概念，使學(xué)生在有著生動豐富的數(shù)學(xué)史背景的課堂中學(xué)習(xí)，仿佛置身于數(shù)學(xué)歷史的長河中，在課堂上引起了不小的轟動，學(xué)生驚嘆到：看似一道簡單題目的背后卻隱含著一個個以數(shù)學(xué)家名字命名的圓，使學(xué)生經(jīng)歷了對圓概念的延伸和發(fā)展過程，符合學(xué)生的認知規(guī)律，激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)動機.生動豐富的數(shù)學(xué)史背景，不但能使學(xué)生更深層次地去理解圓的概念，還能從數(shù)學(xué)史中感受到數(shù)學(xué)家們的科學(xué)精神.正如人們常說：“靈動的數(shù)學(xué)課堂需要數(shù)學(xué)史的點綴.”