■江蘇省錫東高級(jí)中學(xué) 華 濱
復(fù)數(shù)是數(shù)系在中學(xué)階段的最后一次擴(kuò)充,在高考中常以選擇題和填空題的形式出現(xiàn),考查難度相對(duì)比較基礎(chǔ),但是也會(huì)因?yàn)榛靖拍畈磺逦?、基本運(yùn)算不扎實(shí)、幾何意義不明確等多種原因出現(xiàn)一些所謂的低級(jí)錯(cuò)誤。本文就此對(duì)復(fù)數(shù)中的典型錯(cuò)誤進(jìn)行了梳理剖析,希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)能有所幫助。
例 1(2020年深圳一模)已知復(fù)數(shù)z=i2019+i2020(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)=( )。
A.-1+i B.1-i
C.1+i D.-1-i
錯(cuò)解:選A。
剖析:本題錯(cuò)誤的原因主要是對(duì)于共軛復(fù)數(shù)的概念不清楚。一般地,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù),即復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的共軛復(fù)數(shù)為z=a-bi(a,b∈R)。
正解:因?yàn)閦=i2019+i2020=(i2)1009·i+(i2)1010=-i+1,所以z的共軛復(fù)數(shù)為1+i。故選C。
例 2(2020年全國(guó)名校高三模擬)若復(fù)數(shù)z滿足i(z+2)=-2+3i(i為虛數(shù)單位),則z的虛部為( )。
A.i B.2i C.1 D.2
錯(cuò)解:選B。
剖析:本題錯(cuò)誤的原因主要是對(duì)于實(shí)部、虛部的概念不清楚,虛部究竟帶不帶i,是很容易出錯(cuò)的地方。復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),其中a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部。
正解:因?yàn)閕·z+2i=-2+3i,所以z=故選D。
例 3(人教A版課本選修1-2習(xí)題改編)若復(fù)數(shù)z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是純虛數(shù),i是虛數(shù)單位,則實(shí)數(shù)m=( )。
A.2或3 B.3
C.2 D.0
錯(cuò)解:因?yàn)閺?fù)數(shù)z=(m2-5m+6)+(m2-3m)i是純虛數(shù),所以m2-5m+6=0,解得m=2或m=3。故選A。
剖析:本題錯(cuò)誤的原因主要是對(duì)于純虛數(shù)的概念不清楚。復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是二者缺一不可。
正解:結(jié)合題意可得解得m=2。故選C。
例 4(2020年陜西高三二模理)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-1+i|=1,z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為P(x,y),則點(diǎn)P的軌跡方程為( )。
A.(x+1)2+y2=1
B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1
D.(x-1)2+(y+1)2=1
錯(cuò)解:選A。
剖析:本題考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的公式,可以設(shè)z=x+yi(x,y∈R),再轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)模的公式進(jìn)行解題。當(dāng)然也可以看成兩個(gè)復(fù)數(shù)差的模的幾何意義,即|z1-z2|的幾何意義是復(fù)數(shù)z1和z2對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)間的距離。所以本題可以把原式改成兩個(gè)復(fù)數(shù)差的模,再根據(jù)幾何意義進(jìn)行解題。
正解1:設(shè)z=x+yi(x,y∈R),因?yàn)閨z-1+i|=|(x+yi)-1+i|=|(x-1)+(y+1)i|=1,根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式解得(x-1)2+(y+1)2=1。故選D。
正解2:設(shè)z=x+yi(x,y∈R),因?yàn)閨z-1+i|=|z-(1-i)|=1,所以復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(1,-1)之間的距離為1,其軌跡是以(1,-1)為圓心,1為半徑的圓,即(x-1)2+(y+1)2=1。故選D。
總結(jié):在高考中復(fù)數(shù)作為一個(gè)必考的知識(shí)點(diǎn),考查的要求并不高,也比較容易,一般考查都以基礎(chǔ)題、送分題為主。在復(fù)習(xí)過(guò)程中往往一帶而過(guò),如果思想上不重視,這對(duì)于一些基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢的同學(xué)來(lái)說(shuō)往往會(huì)出現(xiàn)不必要的錯(cuò)誤。所以在解決復(fù)數(shù)概念相關(guān)問(wèn)題時(shí)應(yīng)重視方法:(1)解題時(shí)先把一個(gè)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)為z=a+bi(a,b∈R)的形式,確定實(shí)部與虛部;(2)復(fù)數(shù)的分類及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置都可以轉(zhuǎn)化為實(shí)部與虛部滿足的方程(不等式)組。
例 5(2020年宜賓高三第二次診斷)設(shè)i是虛數(shù)單位,則(2+3i)(3-2i)=( )。
A.12+5i B.6-6i
C.5i D.13
錯(cuò)解:(2+3i)(3-2i)=6-4i+9i-6i2=5i。故選C。
剖析:本題產(chǎn)生錯(cuò)誤的主要原因是把i2算成了1,導(dǎo)致最后結(jié)果的錯(cuò)誤。在復(fù)數(shù)中,我們規(guī)定i2=-1。
正解:(2+3i)(3-2i)=6-4i+9i-6i2=12+5i。故選A。
例 6已 知z= (1+i)(2-i),則|z|2=( )。
A.8+6i B.3-2i C.5 D.10
錯(cuò)解:因?yàn)閦=(1+i)(2-i)=3+i,所以|z|2=z2=(3+i)2=8+6i。故選 A。
剖析:本題錯(cuò)誤的原因是復(fù)數(shù)的模與向量的模(或與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值)相混淆,導(dǎo)致運(yùn)算出問(wèn)題。復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模為不一定成立,當(dāng)復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)時(shí)等式成立;當(dāng)復(fù)數(shù)z為虛數(shù)時(shí)等式不成立。
正解:因?yàn)閦=(1+i)(2-i)=3+i,所以|z|2=32+(-1)2=10。故選D。
總結(jié):復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算也是高考考查的重點(diǎn),在運(yùn)算過(guò)程中要細(xì)心,注意解題方法,一般有兩種處理方法:(1)如果是分式形式,我們可以通過(guò)分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化,化簡(jiǎn)為z=a+bi(a,b∈R)的形式;(2)可以設(shè)z=a+bi(a,b∈R),利用復(fù)數(shù)相等的條件進(jìn)行處理。
例 7(人教A版課本選修1-2習(xí)題改編)已知2i-3是關(guān)于x的方程2x2+px-i=0的一個(gè)根,求另一個(gè)根及p的值。
錯(cuò)解:因?yàn)?i-3是方程2x2+px-i=0的一個(gè)根,所以另一個(gè)根為-2i-3,由韋達(dá)定理可得p=12。
剖析:若虛數(shù)a+bi(a,b∈R)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的一個(gè)根,那么它的共軛虛數(shù)a-bi(a,b∈R)也是這個(gè)方程的根。注意這個(gè)結(jié)論中的前提是實(shí)系數(shù)一元二次方程,但本題中并不知道p的虛實(shí),所以不能使用這個(gè)結(jié)論,但韋達(dá)定理仍然適用。所以本題的解答應(yīng)該將一個(gè)根代入,整理化簡(jiǎn),求出p,再利用韋達(dá)定理求出另外一個(gè)根。
正解:因?yàn)?i-3是方程2x2+px-i=0的一個(gè)根,所以將其代入原方程,則2(2i-3)2+p(2i-3)-i=0,化簡(jiǎn)整理得p=設(shè)x0是方程的實(shí)數(shù)根,由韋達(dá)定理可得。
總結(jié):虛根成對(duì)出現(xiàn)的前提條件必須是實(shí)系數(shù)一元二次方程,在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)就不一定適用了,這也是同學(xué)們理解上的一個(gè)難點(diǎn),需要后期多多訓(xùn)練,理解方法,方能解決這個(gè)問(wèn)題。
綜上所述,在復(fù)數(shù)的解題過(guò)程中出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是多樣的,有的是同學(xué)們基礎(chǔ)知識(shí)不扎實(shí),有的是運(yùn)算能力不過(guò)關(guān),有的是受思維定式影響,有的是解題方法的選擇不當(dāng)?shù)?,這些因素的存在導(dǎo)致同學(xué)們?cè)诮忸}中面臨各種各樣的困難。因此,本文將一些常見錯(cuò)誤進(jìn)行歸納和剖析,使同學(xué)們能夠避免類似錯(cuò)誤的發(fā)生,提高解題正確率,培養(yǎng)同學(xué)們的解題思維能力。