洪浩藝 高美琪 桂龍成 華俊 梁劍? 史君?? 鄒錦濤

1)(華南師范大學(xué),原子亞原子結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

2)(華南師范大學(xué)量子物質(zhì)研究院,廣東省核物質(zhì)科學(xué)與技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

3)(華南師范大學(xué)南方核科學(xué)計(jì)算中心,粵港量子物質(zhì)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,廣州 510006)

4)(湖南師范大學(xué)物理與電子科學(xué)學(xué)院,長(zhǎng)沙 410000)

通過分析淬火近似下高統(tǒng)計(jì)量格點(diǎn)兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)實(shí)部與虛部對(duì)規(guī)范場(chǎng)采樣的分布,給出了一種可能的實(shí)、虛部分布間的定量關(guān)系,并通過計(jì)算實(shí)部與虛部的非平庸統(tǒng)計(jì)相關(guān)性對(duì)該關(guān)系加以驗(yàn)證.利用該實(shí)、虛部的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性,格點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的方差可以得到約40%的改進(jìn).這些結(jié)果為進(jìn)一步理解格點(diǎn)計(jì)算中統(tǒng)計(jì)誤差的物理來源以及發(fā)展信號(hào)改進(jìn)方案提供了全新的思路.

1 引言

在標(biāo)準(zhǔn)模型框架下,量子色動(dòng)力學(xué)(QCD)是描述強(qiáng)相互作用的基本理論.然而,QCD 在強(qiáng)子能區(qū)具有非微擾特性,傳統(tǒng)量子場(chǎng)論中的微擾解法失效,需要非微擾求解方案.格點(diǎn)QCD 是目前最重要的、從第一性原理出發(fā)非微擾求解強(qiáng)相互作用的理論方法,通過將連續(xù)的閔氏時(shí)空轉(zhuǎn)換到離散的歐氏時(shí)空,使強(qiáng)相互作用問題可以通過大規(guī)模數(shù)值模擬求解.目前,在高能核物理與強(qiáng)子物理領(lǐng)域,格點(diǎn)QCD 計(jì)算已逐步成為除實(shí)驗(yàn)、理論之外的第三種不可或缺的研究手段[1],取得了一系列重要的研究成果,如文獻(xiàn)[2-4]中的工作等.隨著格點(diǎn)QCD計(jì)算精度的不斷提升,其所需計(jì)算資源也快速增長(zhǎng),大型的格點(diǎn)研究項(xiàng)目所需算力超過千萬CPU小時(shí),使得格點(diǎn)QCD 成為基礎(chǔ)研究中消耗計(jì)算資源最大的研究方向之一.這促使格點(diǎn)研究一直積極采用如并行計(jì)算、GPU 加速、量子計(jì)算等新的硬件技術(shù)[5];同時(shí),格點(diǎn)QCD也在不斷地探索新的數(shù)值算法及數(shù)據(jù)分析方案,從算法和理論角度改進(jìn)計(jì)算效率和信噪比.如近年來χQCD 合作組通過分析算符間有限關(guān)聯(lián)長(zhǎng)度對(duì)格點(diǎn)數(shù)值結(jié)果信噪比的影響,提出了集團(tuán)展開噪聲減除方案(CDER)[6],解決了格點(diǎn)計(jì)算非連通關(guān)聯(lián)函數(shù)的困難,獲得了廣泛的應(yīng)用[7-9].

格點(diǎn)計(jì)算的統(tǒng)計(jì)誤差本質(zhì)上來自于對(duì)SU(3)規(guī)范場(chǎng)的有限采樣,反映了物理可觀測(cè)量對(duì)規(guī)范場(chǎng)的依賴,不同可觀測(cè)量在同一組態(tài)樣本上的漲落區(qū)別很大.理解格點(diǎn)計(jì)算結(jié)果在組態(tài)采樣上的分布,并進(jìn)而發(fā)展提升信噪比的格點(diǎn)新方法,是格點(diǎn)研究的基本需求.此外,由于格點(diǎn)QCD 定義于歐氏時(shí)空,在使用格點(diǎn)方法研究有限化學(xué)勢(shì)下的物理問題或者重核問題時(shí),會(huì)遇到著名的“符號(hào)問題”.符號(hào)問題的本質(zhì)也是信噪比問題[10].對(duì)格點(diǎn)誤差的研究,是理解格點(diǎn)計(jì)算中符號(hào)問題物理根源的重要途徑.格點(diǎn)研究中最常見的計(jì)算量為場(chǎng)算符的歐氏時(shí)間多點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù).由于QCD 中的夸克場(chǎng)和膠子場(chǎng)均為復(fù)數(shù)場(chǎng),因而得到的直接計(jì)算結(jié)果同樣為復(fù)數(shù),具有實(shí)部和虛部?jī)刹糠?容易證明,若所計(jì)算的關(guān)聯(lián)函數(shù)在CH 變換下[11]的因子為正,則計(jì)算結(jié)果的信號(hào)只存在于實(shí)部中,虛部完全為噪聲,在無窮大統(tǒng)計(jì)量極限下虛部為零①若CH 宇稱為負(fù),則結(jié)果在虛部中;若關(guān)聯(lián)函數(shù)不是CH 變換的本征態(tài),則實(shí)部虛部均有信號(hào).本文只考慮CH 為正的情況,這包括了絕大部分的實(shí)際格點(diǎn)計(jì)算.,所以在大部分格點(diǎn)計(jì)算中,數(shù)據(jù)的虛部被直接丟棄.然而,近年來有研究發(fā)現(xiàn),在有限統(tǒng)計(jì)下,虛部對(duì)規(guī)范場(chǎng)采樣的分布與實(shí)部(信號(hào))的誤差分布相關(guān).文獻(xiàn)[10,12]強(qiáng)調(diào)了格點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的分布是對(duì)數(shù)正態(tài)(log-normal)的,并以此為出發(fā)點(diǎn),提出了一種全新的抽取基態(tài)能量的統(tǒng)計(jì)方法,并使用玩具模型以及真實(shí)格點(diǎn)QCD 數(shù)據(jù)對(duì)該方法進(jìn)行了初步驗(yàn)證.之后,美國(guó)華盛頓大學(xué)的格點(diǎn)合作組發(fā)展了這一想法[13,14],開始同時(shí)關(guān)注格點(diǎn)數(shù)據(jù)的虛部與實(shí)部分布,并指出相應(yīng)的復(fù)相位對(duì)規(guī)范場(chǎng)組態(tài)采樣的分布與格點(diǎn)計(jì)算的誤差密切相關(guān).在此基礎(chǔ)上,提出了在格點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的分析中使用相位重加權(quán)的思路提高信噪比.實(shí)際上,虛部分布與實(shí)部分布的相關(guān)性是可以理解的,這是因?yàn)樗鼈児餐瑏碜杂趯?duì)復(fù)值規(guī)范場(chǎng)的隨機(jī)采樣.這樣的相關(guān)性可以幫助理解信號(hào)誤差的物理來源,進(jìn)而幫助改進(jìn)計(jì)算結(jié)果的信噪比.但是,已有研究尚未能給出相關(guān)性的確切形式以及完整有效的信號(hào)改進(jìn)方案.本文通過分析具有非零動(dòng)量的格點(diǎn)兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)實(shí)部和虛部對(duì)組態(tài)采樣的分布,針對(duì)實(shí)、虛部分布的關(guān)系,給出了一種可以合理解釋格點(diǎn)數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)描述,并由此給出了自洽的信噪比改進(jìn)方案.

2 兩點(diǎn)函數(shù)的實(shí)部與虛部

在格點(diǎn)研究中,介子兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)是最基本的計(jì)算量之一,形式上可以表達(dá)為

其中O?(0) 代表粒子的產(chǎn)生算符,O代表粒子的湮滅算符,等式最右邊是關(guān)聯(lián)函數(shù)的譜分解形式,求和范圍是所有與算符O具有相同量子數(shù)的哈密頓量的本征態(tài).為精確抽取實(shí)、虛部的分布,本文使用由4000 個(gè)純規(guī)范組態(tài)構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)系綜,格點(diǎn)大小為 163×192.價(jià)夸克作用量為clover 類型[15],有效夸克質(zhì)量取作奇異夸克質(zhì)量.為更好地確定采樣上的分布隨虛時(shí)t的變換,在計(jì)算中使用了非對(duì)稱的格子[16],空間方向格距約為0.138 fm,時(shí)間方向格距為空間格距的1/5,圖1 中橫坐標(biāo)t/at對(duì)應(yīng)格點(diǎn)間距.

圖1 縱坐標(biāo)為對(duì)數(shù)坐標(biāo)情況下,不同量子數(shù)和不同動(dòng)量的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)Fig.1.Two-point correlations function with different quantum numbers and momenta when the vertical axis is in log scale.

本文主要關(guān)心標(biāo)量S,贗標(biāo)P以及矢量V三種量子數(shù).容易證明,產(chǎn)生、湮滅算符相同的兩點(diǎn)函數(shù)的CH 宇稱恒為正,信號(hào)在實(shí)部上,兩點(diǎn)函數(shù)實(shí)部的具體行為如圖1 所示.可以看到,標(biāo)量道的值衰減最快,對(duì)應(yīng)質(zhì)量(能量)最高,贗標(biāo)道的衰減最慢,對(duì)應(yīng)質(zhì)量(能量)最低.同時(shí),帶一個(gè)單位動(dòng)量(2π/L,L為格子空間長(zhǎng)度)的情況比零動(dòng)量情況衰減更快.這些都是符合物理實(shí)際的.

從圖1 還可以看到,對(duì)于標(biāo)量情況,實(shí)部的相對(duì)誤差隨時(shí)間增大而變大.盡管圖中其他兩種量子數(shù)的誤差由于絕對(duì)值太小而不可見,但可以證明(Lepage 規(guī)則[17,18]),除了零動(dòng)量的贗標(biāo)道之外,其他量子數(shù)或動(dòng)量的兩點(diǎn)函數(shù)的誤差都是隨時(shí)間指數(shù)增大的[6].這是一個(gè)重要的事實(shí),一方面給實(shí)際格點(diǎn)計(jì)算帶來了極大的障礙,但另一方面也給理解誤差提供了線索,這一點(diǎn)之后會(huì)討論.現(xiàn)在,同時(shí)考慮虛部,重點(diǎn)關(guān)注在不同t下p21 的贗標(biāo)兩點(diǎn)函數(shù)其實(shí)部虛部在規(guī)范組態(tài)上的分布(圖2).通過觀察這些分布,可以總結(jié)出如下規(guī)律.

圖2 p2 1 的贗標(biāo)兩點(diǎn)函數(shù)其實(shí)部(上半部分)虛部(下半部分)在規(guī)范組態(tài)上的分布,從左至右分別對(duì)應(yīng) t/at 1,30 和90 的情況Fig.2.The real-part(upper panel) and imaginary-part(lower panel) distributions of the pseudoscalar two-point functions with p2 1 over gauge configurations.From left to right,the figures are for t/at 1,30 and 90,respectively.

i)實(shí)部的分布在小t,尤其是在中間t時(shí)是不對(duì)稱的,類似于對(duì)數(shù)正態(tài)分布.這一點(diǎn)可以通過(1)式給出解釋:在信號(hào)主導(dǎo)關(guān)聯(lián)函數(shù)的情況下,由于關(guān)聯(lián)函數(shù)恒正,其分布是以零為下限的.小t時(shí)兩點(diǎn)函數(shù)數(shù)值較大,下限對(duì)分布形狀影響不顯著;中間t時(shí)兩點(diǎn)函數(shù)數(shù)值接近零,下限顯著影響了分布函數(shù)的形狀.

ii)實(shí)部的分布在大t時(shí)趨向于對(duì)稱的正態(tài)分布,且其統(tǒng)計(jì)漲落已經(jīng)包含了負(fù)值.這說明,由于相對(duì)誤差在不斷增加,此時(shí)的兩點(diǎn)函數(shù)已經(jīng)不再是信號(hào)占主導(dǎo)地位了.

iii)虛部的分布一直都接近對(duì)稱的、以零為中心的正態(tài)分布.這符合信號(hào)在實(shí)部上、虛部在無窮大統(tǒng)計(jì)量極限下為零的理論要求.

iv)實(shí)部和虛部的分布隨時(shí)間增大都在變窄(絕對(duì)誤差在變小).但虛部分布變窄的速度比實(shí)部慢.具體而言,在t0處,實(shí)部分布的寬度近似為0.1,而虛部分布的寬度小于0.01,相比之下虛部寬度可忽略不計(jì).而在t90處,實(shí)部分布與虛部分布的寬度均近似為 1×10-6,二者可比擬.

上述是針對(duì)單位動(dòng)量贗標(biāo)情形總結(jié)的規(guī)律,實(shí)際上,對(duì)其他量子數(shù)也同樣適用.為了解釋以上關(guān)于實(shí)部、虛部在組態(tài)采樣上的分布行為,本文提出如下的理論假設(shè):

即實(shí)部分布函數(shù)R(x) 是虛部分布I(x) 與真實(shí)物理信號(hào)分布S(x) 的卷積,其中x和y代表規(guī)范組態(tài)采樣,K(Ux) 是一個(gè)與規(guī)范場(chǎng)Ux相關(guān)的核函數(shù).雖然是理論假設(shè),但由于沒有限定核函數(shù)的性質(zhì),(2)式具有理論意義上的普適性.考慮到所有的分布函數(shù)均起源于規(guī)范組態(tài)的采樣,理論上分布之間的關(guān)系可以通過具體考慮規(guī)范場(chǎng)采樣得到.為虛部分布增加與規(guī)范組態(tài)直接相關(guān)的核函數(shù)修正K(Ux),相當(dāng)于把規(guī)范場(chǎng)采樣的漲落顯式包含在公式中.

如果進(jìn)而假設(shè)核函數(shù)是平庸的,則有

其中?表示卷積,即實(shí)部分布是信號(hào)分布與虛部分布的直接疊加.物理上,這里的虛部分布可以理解為(某種)誤差分布,因?yàn)槲覀冎捞摬康恼嬷禐榱?虛部的統(tǒng)計(jì)漲落反映了組態(tài)采樣的隨機(jī)性.從(2)式或(3)式出發(fā),可以解釋所有上述的數(shù)值結(jié)果.例如,在小t和中間t時(shí),虛部分布的寬度與實(shí)部相比小很多,那么就有R(x)～S(x),信號(hào)是恒正的,信號(hào)分布是對(duì)數(shù)正態(tài)的,所以實(shí)部也是一樣.而在大t時(shí),信號(hào)的值指數(shù)衰減到非常趨近于零,分布接近狄拉克δ函數(shù),虛部相對(duì)于信號(hào)而言更重要(虛部/信號(hào)衰減更慢),這時(shí)有R(x)～I(xiàn)(x),所以實(shí)部的分布趨向于對(duì)稱,且出現(xiàn)了負(fù)值.

實(shí)際上,還有更多證據(jù)支持(3)式.前面討論過,根據(jù)Lepage 規(guī)則,僅有零動(dòng)量的贗標(biāo)兩點(diǎn)函數(shù)的誤差不隨時(shí)間增加而變大.但同時(shí),零動(dòng)量的贗標(biāo)兩點(diǎn)函數(shù)還有一個(gè)非常重要的性質(zhì):即便是在有限統(tǒng)計(jì)下,其虛部也是嚴(yán)格為零的.這是一個(gè)很有意思的事實(shí),這說明,對(duì)于零動(dòng)量贗標(biāo)情形,I(x)是以零為中心的δ函數(shù),R(x)S(x).也就是說,贗標(biāo)沒有虛部,其信噪比也不隨時(shí)間衰減.這為我們提供了一個(gè)自洽的極限例子.如果考慮信噪比改進(jìn)的話,零動(dòng)量贗標(biāo)情況就是我們的目標(biāo).當(dāng)然,(2)式及其特例(3)式的正確性很難從QCD 第一性原理直接導(dǎo)出.本文下一部分將進(jìn)一步通過考慮實(shí)、虛部數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性具體驗(yàn)證上述公式.

3 實(shí)部與虛部分布的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

兩個(gè)分布疊加而成的新分布的均值和方差與原始分布的均值和方差具有確定的關(guān)系.如(3)式可以給出

其中E表示分布的均值,V表示分布的方差.類似地,如果把核函數(shù)與虛部分布的整體視作一個(gè)新的“虛部分布”,則上述關(guān)系對(duì)于非平庸核函數(shù)的情況依舊成立.可以看到,由于方差為非負(fù),所以V(S)≤V(R),虛部分布的寬度越大,信號(hào)的方差比實(shí)部方差減小得越多.這直接提示我們,不直接使用實(shí)部的結(jié)果,而是通過(2)式或(3)式抽取信號(hào)分布,可以減小格點(diǎn)計(jì)算的統(tǒng)計(jì)誤差.但是,(4)式告訴我們,信號(hào)分布S(x) 的均值也同時(shí)相對(duì)于實(shí)部分布R(x) 發(fā)生了變換.數(shù)值上,既可以直接通過(5)式計(jì)算信號(hào)分布的方差,也可以利用如Jackknife 重采樣方法,在每個(gè)重采樣樣本中根據(jù)(4)式計(jì)算S(x) 的均值并由此估計(jì)S(x) 的分布方差.這是一個(gè)非常重要的驗(yàn)證.由重采樣方法得到的方差直接反映了信號(hào)S在樣本上的分布,是更準(zhǔn)確的估計(jì),如果兩種方法得到的方差不一致,則說明本文的理論出發(fā)點(diǎn)是不合理的.物理上,這對(duì)應(yīng)于一個(gè)直觀的要求:即如果抽取的新分布S(x) 的方差相對(duì)R(x) 減小,那S(x) 的均值就需要更接近真值.后文信號(hào)部分的所有方差計(jì)算均采用重采樣方法.

要通過重采樣方法得到減小的誤差,就需要在每個(gè)重采樣點(diǎn)上得到的S(x) 的均值都更接近于真值.考慮到Jackknife 重采樣的具體形式,即在不考慮組態(tài)自相關(guān)的情況下,每個(gè)重采樣樣本是樣本總體去掉某一個(gè)原始樣本所得,于是重采樣樣本的統(tǒng)計(jì)漲落與原樣本的漲落是同步的.進(jìn)而可以推知,上述一致性的必要條件是,作為隨機(jī)變量,虛部和實(shí)部是統(tǒng)計(jì)正相關(guān)的.即如果在某個(gè)組態(tài)采樣上實(shí)部大于或小于實(shí)部的均值,那么虛部也同時(shí)會(huì)傾向于大于或小于虛部的均值.考慮到虛部的均值非常接近零,這樣在每個(gè)采樣點(diǎn)上,實(shí)部減去虛部之后都會(huì)更接近于實(shí)部的均值,那么實(shí)部的方差就會(huì)相應(yīng)地減小.

實(shí)際上,一般地,假設(shè)有兩個(gè)相關(guān)的隨機(jī)變量,O1,O2,滿足

其中C表示協(xié)方差:

則總會(huì)有

即如果O1,O2的協(xié)方差大于O2方差的1/2,那 么新隨機(jī)變量(O1-O2) 的方差減小.進(jìn)一步考慮O1,O2的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

具體到關(guān)于關(guān)聯(lián)函數(shù)實(shí)、虛部相關(guān)性的討論取實(shí)部為O1,虛部為O2,以上公式可直接用于理解和估計(jì)誤差改進(jìn).例如,之前討論過,在t較大時(shí),虛部的方差與實(shí)部相近,此時(shí)有

即誤差改進(jìn)的程度取決于實(shí)部和虛部的相關(guān)性.當(dāng)相關(guān)性為1時(shí),實(shí)部減虛部不再具有誤差,當(dāng)相關(guān)性為70%時(shí),方差減為原方差的60%,當(dāng)相關(guān)性小于50%時(shí),方差不再有改進(jìn).

以上討論詳細(xì)論述了(2)式和(3)式的自洽性,要求關(guān)聯(lián)函數(shù)的實(shí)部與虛部具有相當(dāng)?shù)南嚓P(guān)性.為了具體驗(yàn)證(3)式,計(jì)算了單位動(dòng)量贗標(biāo)關(guān)聯(lián)函數(shù)在每個(gè)t上實(shí)部和虛部之間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性(如圖3中藍(lán)色虛線所示).可以明顯看到,藍(lán)線在零上下漲落,即在平庸核函數(shù)的假設(shè)性下,實(shí)部和虛部之間并沒有表現(xiàn)出具有統(tǒng)計(jì)意義的相關(guān)性.這直接說明,即便可以解釋很多數(shù)據(jù)現(xiàn)象,(3)式也不足以反映真實(shí)的物理.

圖3 贗標(biāo)單位動(dòng)量?jī)牲c(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)實(shí)部與虛部的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性.藍(lán)色虛線表示原始數(shù)據(jù),橙色實(shí)線表示符號(hào)修正過的數(shù)據(jù)Fig.3.Statistical correlations between the real and imaginary parts of the pseudoscalar two-point correlation function with unit momentum,where the blue dashed line represents the original data,and the orange solid one is for the data after sign-correction.

那讓我們退回到(2)式.前面已經(jīng)討論過,考慮到實(shí)、虛部的分布均來自于規(guī)范場(chǎng)的采樣,加入跟規(guī)范場(chǎng)相關(guān)的修正核函數(shù)K(Ux) 之后,(2)式是具有普適性的.(3)式作為(2)式的簡(jiǎn)化,相當(dāng)于取了完全平庸的核函數(shù),這目前看來是不夠的.可以進(jìn)而假設(shè)核函數(shù)不是完全平庸的,但僅是符號(hào)函數(shù),只可能改變虛部的符號(hào).這一點(diǎn)假設(shè)實(shí)際上是來自于上面對(duì)實(shí)部虛部相關(guān)性的討論.相關(guān)性要求實(shí)部虛部在各自均值上下同步漲落,又考慮到虛部的均值非常接近零,那么相關(guān)性就要求虛部的正負(fù)與實(shí)部的漲落方向是傾向于一致的.據(jù)此,我們對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行修正,改變虛部的符號(hào)使其與實(shí)部減實(shí)部均值的符號(hào)相同.所得結(jié)果如圖3 中橙色實(shí)線所示.可以看到,這樣修正之后,實(shí)部與虛部表現(xiàn)出了較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性(約 70%).

這里需要著重說明的是,由于修正虛部符號(hào)的準(zhǔn)則是使其與實(shí)部的漲落方向同步,圖3 的結(jié)果似乎陷入了循環(huán)論證.但實(shí)際上,這里只是修正了虛部漲落的方向,并沒有修正虛部漲落的幅度.作為對(duì)比,圖4 給出了在修正符號(hào)的基礎(chǔ)上,同時(shí)對(duì)虛部的值進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng)后的關(guān)聯(lián)性結(jié)果.可以看到,即便是1%量級(jí)的擾動(dòng),也會(huì)使相關(guān)性降到50%以下.僅有當(dāng)擾動(dòng)弱到0.1%量級(jí),相關(guān)性才能恢復(fù)到?jīng)]有擾動(dòng)的情況.這說明,實(shí)部和虛部的相關(guān)性不僅依賴虛部的符號(hào)(漲落的方向),也強(qiáng)烈依賴虛部的大小(漲落的幅度).換言之,如果原本實(shí)部和虛部之間沒有任何聯(lián)系的話,僅修正符號(hào)是遠(yuǎn)不足以得到圖3 所示的相關(guān)性的,圖3 展現(xiàn)出的強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性是高度非平庸的.這同時(shí)也說明,假定核函數(shù)K(Ux) 僅是一個(gè)符號(hào)函數(shù)是一個(gè)相當(dāng)經(jīng)濟(jì)且有效的假設(shè).修正符號(hào)之后,實(shí)部和虛部之間的相關(guān)性(部分)顯現(xiàn)了.此外,值得額外說明的是,在符號(hào)修正過程中,約23%的虛部符號(hào)由正改為負(fù),約26%的虛部符號(hào)由負(fù)改為正,修正之后的虛部依舊近似為以零為中心的對(duì)稱分布,這一點(diǎn)也是一個(gè)非常重要的檢驗(yàn).當(dāng)然將核函數(shù)近似為符號(hào)函數(shù)的有效性還有待通過分析更多更精確的格點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)一步驗(yàn)證.同時(shí),后續(xù)的分析也將對(duì)確定核函數(shù)的具體形式提供更多的線索及限制.

圖4 在修正符號(hào)的基礎(chǔ)上,考慮對(duì)虛部的值進(jìn)行擾動(dòng)后的贗標(biāo)單位動(dòng)量?jī)牲c(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)實(shí)部與虛部的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性Fig.4.On the basis of sign-correction,the statistical correlations between the real and imaginary parts of the pseudoscalar two-point correlation function with unit momentum after distortions on the absolute values of the imaginary parts.

4 方差改進(jìn)結(jié)果

在修正虛部符號(hào)的情況下,得到實(shí)部與虛部具有大約70%的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性.根據(jù)前文的討論,我們期望可以由此改進(jìn)兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的信號(hào).利用Jackknife 重采樣方法,可以在每次重采樣時(shí)利用(4)式計(jì)算信號(hào)分布S(x) 的均值,在得到N(N4000)個(gè)重采樣均值后,可給出抽取的S(x) 在原始采樣數(shù)據(jù)上的分布方差.得到的數(shù)值結(jié)果如圖5 所示,方差的改進(jìn)為60%—70%,這與(12)式給出的結(jié)果一致.值得注意的是,不同量子數(shù)的情況是基本相同的,也就是說,實(shí)部與虛部之間的關(guān)聯(lián)是與觀測(cè)量的具體形式無關(guān)的.

圖5 不同量子數(shù)兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的方差改進(jìn)Fig.5.The variance improvements of two-point correlation functions with different quantum numbers.

目前為止,本文關(guān)注的主要是動(dòng)量為一個(gè)格點(diǎn)單位動(dòng)量的情況.一個(gè)直接的原因是零動(dòng)量的贗標(biāo)兩點(diǎn)函數(shù)是純實(shí)的,無法從虛部入手改進(jìn).實(shí)際在物理上,非零動(dòng)量的兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的虛部可以看作是 規(guī)范場(chǎng)采樣在空間方向上的漲落導(dǎo)致的.具體地,動(dòng)量投影可分為實(shí)部虛部?jī)刹糠?這里余弦是偶函數(shù),正弦是奇函數(shù),所以如果關(guān)聯(lián)函數(shù)在空間上是對(duì)稱的,則僅有實(shí)部留存.但在有限統(tǒng)計(jì)下,規(guī)范場(chǎng)在空間正反方向上有漲落,關(guān)聯(lián)函數(shù)在空間的正反方向上就不完全對(duì)稱,導(dǎo)致有限的虛部.從這個(gè)角度出發(fā),我們還計(jì)算了不同動(dòng)量情況下關(guān)聯(lián)函數(shù)實(shí)部虛部的相關(guān)性以及方差改進(jìn),矢量道的數(shù)值結(jié)果如圖6 所示.可以看到,與動(dòng)量為1 的情況類似,對(duì)高動(dòng)量的兩點(diǎn)函數(shù)也可以獲得類似的改進(jìn).限于目前的數(shù)據(jù)精度,不同動(dòng)量情況下方差改進(jìn)的區(qū)別和規(guī)律還不明晰.

圖6 不同動(dòng)量矢量?jī)牲c(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的方差改進(jìn)Fig.6.The variance improvements of two-point correlation functions with different momenta.

5 總結(jié)與展望

本文通過分析非零動(dòng)量格點(diǎn)兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)實(shí)部與虛部對(duì)組態(tài)采樣的分布,提出了R(x)S(x)?[I(y)K(Uy)] 的理論猜想.并在假設(shè)核函數(shù)K(Uy)僅體現(xiàn)符號(hào)修正的前提下,數(shù)值驗(yàn)證了實(shí)部與虛部的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性,同時(shí)說明了該統(tǒng)計(jì)相關(guān)性是高度非平庸的,體現(xiàn)了實(shí)部與虛部的內(nèi)在關(guān)聯(lián).由此,通過抽取真實(shí)信號(hào)分布S(x),給出了利用虛部分布改進(jìn)格點(diǎn)信號(hào)的一種可能,數(shù)值結(jié)果顯示,兩點(diǎn)關(guān)聯(lián)函數(shù)的方差可以降到改進(jìn)前的約60%.

雖然目前得到的改進(jìn)并不十分顯著,但原則上,如果可以全知核函數(shù)K(Ux) 的形式,或者對(duì)核函數(shù)有更強(qiáng)的約束,則可以進(jìn)一步得到更強(qiáng)的相關(guān)性和更有效的誤差改進(jìn).這需要更精確的格點(diǎn)數(shù)值結(jié)果與先進(jìn)的算法技術(shù).本質(zhì)上,通過分析有限的實(shí)部與虛部分布完全確定積分中的信號(hào)分布和核函數(shù)屬于求逆問題,是沒有唯一解的.但近年來格點(diǎn)領(lǐng)域出現(xiàn)了很多新的算法(如文獻(xiàn)[19-21]等),可以在考慮先驗(yàn)條件的情況下給出求逆問題的最可能的解.利用這些算法進(jìn)一步探索格點(diǎn)數(shù)據(jù)實(shí)部虛部的關(guān)系,幫助理解格點(diǎn)計(jì)算的誤差,為解決符號(hào)問題提供新的思路,是我們正在進(jìn)行中的工作.

感謝美國(guó)肯塔基大學(xué)劉克非教授和中國(guó)科學(xué)院理論物理研究所楊一玻研究員的早期工作和討論.本工作的數(shù)據(jù)產(chǎn)生和數(shù)據(jù)分析分別在湖南師范大學(xué)湘江一號(hào)計(jì)算機(jī)群以及華南師范大學(xué)南方核科學(xué)計(jì)算中心完成.