■河南省平頂山市一中 李智恒

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聚焦《數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入》中的幾類經(jīng)典問題

■河南省平頂山市一中 李智恒

數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入在高考中以容易或中檔的小題出現(xiàn)，試題具有活而不難的特點(diǎn)，且常考常新。同學(xué)們學(xué)習(xí)時應(yīng)狠抓基礎(chǔ)，對復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)運(yùn)算等要熟練掌握，還要注意對數(shù)形結(jié)合思想，復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化以及方程思想的挖掘和應(yīng)用。

聚焦一：復(fù)數(shù)有關(guān)概念中的“巧設(shè)”和“分類意識”

A.2i B.i C.-i D.-2i

(2)(2015年河北衡水中學(xué)調(diào)研卷)z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中實(shí)數(shù)a∈R,z1>z2,則a的值是____。

(2)依據(jù)兩個實(shí)數(shù)才能比較大小構(gòu)建方程和不等式組確定參數(shù)范圍。

點(diǎn)評：由實(shí)數(shù)擴(kuò)充到復(fù)數(shù)后,實(shí)數(shù)系的有些性質(zhì)、運(yùn)算法則對于復(fù)數(shù)系并不適用,故解答復(fù)數(shù)問題時要依據(jù)復(fù)數(shù)的概念合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，不能輕易地將實(shí)數(shù)系中的一些運(yùn)算法則或性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)系內(nèi)。如當(dāng)兩個復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時,可以比較大小;兩個虛數(shù)或一個虛數(shù)與一個實(shí)數(shù)不能比較大小。

聚焦二：利用復(fù)數(shù)相等的充要條件化虛為實(shí)

聚焦三：復(fù)數(shù)運(yùn)算中的“分母實(shí)數(shù)化”

解析：分母實(shí)數(shù)化。

聚焦四：利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)整體求解復(fù)數(shù)

當(dāng)b=0時，z=a，|a-2|=2，則a=0或4。當(dāng)a=0時不合題意舍去，所以z=4。

當(dāng)b≠0時，a2+b2=1。

又|z-2|=2，則：

解法2： 利用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)。

聚焦五：數(shù)形結(jié)合法探究模的最值

例5 設(shè)復(fù)數(shù)滿足||z+4-3i|-2|=2-|z+4-3i|，求|z|的最大值和最小值。

解析：觀察分析等式||z+4-3i|-2|=2-|z+4-3i|，根據(jù)實(shí)數(shù)的性質(zhì)知，若|a|=-a，則a≤0。

因此，|z+4-3i|-2≤0。

圖1

挖掘|z+4-3i|-2≤0的幾何意義，它表示的以點(diǎn)P(-4，3)為圓心，半徑為2的圓及內(nèi)部。如圖1，可知 |z|=|OQ|時，|z|有最大值，|z|max=|OQ|=|OP|+R=5+2=7；

|z|=|OM|時，|z|有最小值，|z|min=|OM|=|OP|-R=5-2=3。

點(diǎn)評：復(fù)數(shù)既可用代數(shù)形式，也可用幾何形式表示。這使復(fù)數(shù)的各種運(yùn)算都具有了幾何意義，因此，求解復(fù)數(shù)問題時常以形助數(shù)，數(shù)形結(jié)合，使問題的解決更加形象。求復(fù)數(shù)模的最值常常根據(jù)其幾何意義，利用圖形可直接來解。

聚焦六：用函數(shù)與方程思想求模的最值

例6 已知關(guān)于x的方程x2+zx+4+3i=0有實(shí)數(shù)根，求復(fù)數(shù)z的模的最小值。

點(diǎn)評：復(fù)數(shù)系方程有實(shí)根，不能得出Δ=z2-16-12i≥0，只說明x可以取實(shí)數(shù)時，復(fù)數(shù)系一元二次方程不能用判別式來判斷方程是否有實(shí)根。方程有解的問題要注意系數(shù)的范圍，當(dāng)題設(shè)條件不特別說明時系數(shù)均為復(fù)數(shù)，處理方程問題的有效途徑是巧設(shè)代數(shù)形式，利用根的意義，借助兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件構(gòu)建方程組，化歸到實(shí)數(shù)中的問題求解。

聚焦七：復(fù)數(shù)與簡易邏輯的網(wǎng)絡(luò)交匯

例7 (1)(2015年高考上海理科數(shù)學(xué))設(shè)z1，z2∈C，則“z1、z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)”是“z1-z2是虛數(shù)”的( )。

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件

(2)(2014年高考陜西卷)原命題為“若z1,z2互為共軛復(fù)數(shù)，則|z1|=|z2|”，關(guān)于其逆命題，否命題，逆否命題真假性對應(yīng)的判斷依次如下，正確的是( )。

A.真，假，真 B.假，假，真

C.真，真，假 D.假，假，假

解析：(1)利用復(fù)數(shù)概念合理分類研究，借助四種命題之間的關(guān)系簡化判斷。若z1、z2皆是實(shí)數(shù)，則z1-z2一定不是虛數(shù)，因此當(dāng)z1-z2是虛數(shù)時，則“z1、z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)”成立，即必要性成立；當(dāng)z1、z2中至少有一個數(shù)是虛數(shù)，z1-z2不一定是虛數(shù)，如z1=z2=i，即充分性不成立，選B。

點(diǎn)評：高考對復(fù)數(shù)的考查越來越深入，特別是復(fù)數(shù)與簡易邏輯的有機(jī)結(jié)合應(yīng)引起同學(xué)們的高度重視。復(fù)數(shù)分類與充要條件的判斷，以及對形如a+bi(a，b∈R)的復(fù)數(shù)的認(rèn)知，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部。若b=0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a=0且b≠0，則a+bi為純虛數(shù)。判斷命題的真假必須從其定義出發(fā)，不可想當(dāng)然。 互為共軛復(fù)數(shù)與其模之間的關(guān)系構(gòu)成的四種命題的判斷，依據(jù)概念只需判斷原命題和逆命題的真假即可。

聚焦八：復(fù)數(shù)與新定義的交匯

①(z1+z2)*z3=(z1*z3)+(z2*z3);

②z1*(z2+z3)=(z1*z2)+(z1*z3)；

③(z1*z2)*z3=z1*(z2*z3);

④z1*z2=z2*z1。

則真命題的個數(shù)是( )。

A．4 B．3 C．2 D．1

對于②，直接用定義，設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，利用分配律和復(fù)數(shù)運(yùn)算結(jié)合定義驗(yàn)證：

=z1*z2+z1*z3。

故(z1*z2)*z3≠z1*(z2*z3)。

點(diǎn)評：新定義與復(fù)數(shù)概念運(yùn)算相結(jié)合的創(chuàng)新問題，依據(jù)新定義的意義結(jié)合復(fù)數(shù)的概念運(yùn)算以及運(yùn)算規(guī)律進(jìn)行驗(yàn)證，涉及復(fù)數(shù)乘法和加法的結(jié)合律和共軛復(fù)數(shù)的整體性質(zhì)。

(責(zé)任編輯 徐利杰)