■陜西省洋縣中學(xué) 雍 康

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聚焦《推理與證明》中的九類經(jīng)典問題

■陜西省洋縣中學(xué) 雍 康

推理與證明是在同學(xué)們已有知識的基礎(chǔ)上完善了合情推理的兩種方式——納推理和類比推理，以及數(shù)學(xué)證明的主要方法——分析法、綜合法、反證法等常用方法。上述推理方式和證明方法都是數(shù)學(xué)的基本思維過程，它們貫穿于整個高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，能使同學(xué)們通過學(xué)習(xí)感受邏輯思維方式在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用。下面聚焦其經(jīng)典問題，希望能有益于同學(xué)們的學(xué)習(xí)。

聚焦一：函數(shù)性質(zhì)研究中的演繹推理

點評:已知周期函數(shù)在給定區(qū)間的解析式，可利用周期性和對稱性將所求值化為在已知區(qū)間上求值。整個求解過程是從一般到特殊的推理過程，即演繹推理的過程，在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結(jié)論一定正確。

聚焦二：復(fù)合函數(shù)解析式中的歸納猜測

點評：歸納推理是由部分到整體，由特殊到一般的推理過程。在進(jìn)行歸納時，通過取特殊值計算出幾個結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，從而做出合理的猜想，即合情推理。本題以復(fù)合函數(shù)解析式為載體,考查對遞推關(guān)系的理解和應(yīng)用,以及同學(xué)們的計算與歸納猜測能力。

聚焦三：“分裂數(shù)”中的歸納猜測

例3 (2015年山東淄博市高三模擬)對于大于等于1的自然數(shù)m的三次冪可用奇數(shù)進(jìn)行以下方式的“分裂”：13=1，23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…。仿此，若m3的“分裂數(shù)”中有一個是2 015，則m____。

點評：解決這類問題時，首先觀察式子的結(jié)構(gòu)特點，其次觀察式子中出現(xiàn)的字母之間的關(guān)系，再進(jìn)行化簡或運(yùn)算。另外要注意對較為復(fù)雜的運(yùn)算式，先不要化簡，這樣便于觀察運(yùn)算規(guī)律和結(jié)構(gòu)上的共同點,有時還要借助等差或等比數(shù)列的性質(zhì)簡化求解。

聚焦四：等差與等比數(shù)列中的類比推理

證明如下：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d。

點評：把等差與等比數(shù)列進(jìn)行類比，運(yùn)用類比思想找出項與項的聯(lián)系，應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)是解決該題的關(guān)鍵。等差數(shù)列和等比數(shù)列有非常類似的運(yùn)算和性質(zhì)，一般情況下等差數(shù)列中的和(或差) 對應(yīng)著等比數(shù)列中的積(或商)。

聚焦五：圖形關(guān)系中的類比

點評：圖形關(guān)系中的類比，找兩類對象的對應(yīng)元素，找對應(yīng)元素的對應(yīng)關(guān)系，同時注意方法的類比。

聚焦六：數(shù)列推理中的綜合法

(1)求a1的值；

(2)求數(shù)列{an}的通項公式；

(Sn+3)[Sn-(n2+n)]=0。

因為an>0(n∈N*)，所以Sn>0。從而Sn+3>0，所以Sn=n2+n。

當(dāng)n≥2時，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n。

又a1=2=2×1，所以an=2n(n∈N*)。

(3)對通項公式放縮變形重新改寫，用裂項相消法求和，也可用觀察法證明不等式。

聚焦七：不等式證明中的綜合分析

例7 設(shè)a,b,c均為大于1的正數(shù)，且ab=10。

求證：logac+logbc≥4lgc。

證明：單一運(yùn)用綜合法或分析法很復(fù)雜，本題若兩者均用，效果更好。

a>1,b>1,故lga>0,lgb>0。

故原不等式得證。

點評：分析法與綜合法各有優(yōu)勢，證明問題時，可結(jié)合使用，先以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地解答或證明。兩者交替使用，較易成功。這種方法不僅在證明不等式時經(jīng)常用到，在解決其他數(shù)學(xué)問題時也常常用到。

聚焦八：新定義問題中的合情推理

A．77 B．49 C．45 D．30

圖1

點評：這是一道與集合相關(guān)知識的新定義題型。通過給出一個新定義，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，要求同學(xué)們在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識和方法，結(jié)合圖形實現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的。

聚焦九：先猜后證中的數(shù)學(xué)歸納法

(1)當(dāng)n=1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大小關(guān)系；

(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明。

解析：由特殊到一般，先猜再用數(shù)學(xué)歸納法證明。

(1)當(dāng)n=1時，f(1)=1，g(1)=1，所以f(1)=g(1)。

(2)由(1)猜想f(n)≤g(n)，下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明。

①當(dāng)n=1,2,3時，不等式顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3，k∈N*)時不等式恒成立，即：

所以f(k+1)

由①、②可知，對一切n∈N*，都有f(n)≤g(n)成立。

(責(zé)任編輯 徐利杰)