二、虛數(shù)的爭議

虛數(shù)產(chǎn)生之后，在數(shù)學界引起了巨大的爭議，主要分成三派.一派認為虛數(shù)是存在的，比如微積分的先驅(qū)者之一沃利斯，他試圖用幾何方法解釋虛數(shù).另一派是以數(shù)學家笛卡爾為代表的學派，他們不承認或反對虛數(shù)，認為虛數(shù)是想象的、虛構(gòu)的.第三派是以萊布尼茨為代表的學派，萊布尼茲在1702年曾說：復數(shù)“猶如存在和不存在的兩棲物”.

虛數(shù)的名稱是笛卡爾給出的，他不能接受復根.于是，在他1637年出版的《幾何》這本書中解釋復根時說“但它們始終是虛的”.在數(shù)學發(fā)展史上，歐拉是第一個使用虛數(shù)符號i來表示√-1的，并寫在他1777年提交給圣彼得堡科學院的論文中，這篇論文直到1794年才發(fā)表，那是在歐拉逝世后11年.但是，歐拉并沒有確切地掌握復數(shù)運算，在他1770年出版地《代數(shù)》一書中認為√（-1）·√（-4）=√（-1）·2=2，其中理由是√a·√b=√ab.歐拉盡管在許多地方用了虛數(shù)，但又說：“一切形如，√（-1），√（-2）的數(shù)學式子都是不可能有的，想象的數(shù)，因為它們所表示的是負數(shù)的平方根.對于這類數(shù)，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻.”

歐拉

有了虛數(shù)的符號，就可以定義復數(shù)了，用C表示復數(shù)的集合.虛數(shù)與實數(shù)一起組合成了復數(shù).復數(shù)通常用a+bi的形式表示，其中a和b都是實數(shù)，而i=√（-1），也稱為“虛數(shù)單位”.實數(shù)a叫做復數(shù)的實部，而b叫做復數(shù)的虛部.實數(shù)可以被認為是虛部為零的復數(shù).

與實數(shù)不同，在復數(shù)集合中不存在大小關系，也就是說兩個復數(shù)之間不能比較大小.這并不以外，因為任何數(shù)對（包括向量）都不能在通常意義下比較大小.但是，復數(shù)集合卻包含實數(shù)集合，因為只需要在復數(shù)中令虛數(shù)i前面的系數(shù)為0就可以了.對復數(shù)可以定義運算.

三、復數(shù)的解釋

高斯

那么復數(shù)在現(xiàn)實中怎么可視化呢？最早發(fā)現(xiàn)這個問題的是數(shù)學家韋塞爾（Wessel），他給了復數(shù)幾何和向量的解釋，使得復數(shù)能通過XY平面實現(xiàn)可視化.后來高斯在1831年也提出這樣的平面表示法，系統(tǒng)地完善了復數(shù)理論，他第一次提出了“復數(shù)”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合，統(tǒng)一于表示同一復數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中，并把數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，擴展為平面上的點與復數(shù)一一對應.高斯不僅把復數(shù)看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數(shù)與向量之間一一對應的關系，闡述了復數(shù)的幾何加法與乘法，如圖.

四、復數(shù)的結(jié)構(gòu)

復數(shù)中包含了群、環(huán)、域、線性空間等結(jié)構(gòu).加減乘除運算法則和實數(shù)域中的一樣，有交換律、結(jié)合律、分配律.不同的地方是，復數(shù)可以進行開方運算，后來逐漸發(fā)展出了四元數(shù)、八元數(shù)等.但四元數(shù)的乘法運算中不再有交換律;八元數(shù)的運算中連結(jié)合律都沒有.

實數(shù)域中有一個重要的結(jié)構(gòu)：序結(jié)構(gòu)，可以用來比較兩個數(shù)的大小.對于復數(shù)，雖然可以給它一個序，但是這個序一定不會和代數(shù)結(jié)構(gòu)相容，就是與域結(jié)構(gòu)不相容.所謂與域結(jié)構(gòu)相容（即有序域）就是說，對于序a

復數(shù)域與實數(shù)域的維數(shù)也不同，一個是1維，一個是2維.復數(shù)中還有共軛結(jié)構(gòu).復數(shù)中的代數(shù)、幾何、拓撲、分析結(jié)構(gòu)以及復合結(jié)構(gòu)，是最基本、最簡單的具有復合結(jié)構(gòu)的復流形及復李群.

五、復數(shù)的奇妙之處

復數(shù)起初可能看起來很奇怪，但我們完全可以把虛單位i看作一個代數(shù)，把復數(shù)的加減乘除看作一元多項式的加減乘除.例如，對復數(shù)進行加減，你只需把實部和虛部彼此結(jié)合起來即可，這類似于對多項式進行合并同類項;復數(shù)的乘法，可以借助適用于分配律來完成的.對于除法，我們完全可以將其轉(zhuǎn)換為乘法，只不過乘上去的是除數(shù)的倒數(shù).

跟實數(shù)一樣，復數(shù)的乘法遵循乘法交換律，這意味著當你以任意順序乘以兩個復數(shù)時，其結(jié)果是相同的.此外，復數(shù)的乘法也遵循乘法結(jié)合律，這意味著將兩個以上的復數(shù)相乘時，你可以自由選擇先乘哪一對.

虛數(shù)的引入，開啟了一個全新的數(shù)學世界.這是一個奇怪的世界，平方可以是負的，但是它的算法與我們熟悉的實數(shù)非常相似.但對實數(shù)的擴展，這只是一個開始.

高斯引進復整數(shù)解決了兩個數(shù)的平方和問題，即哪些正整數(shù)可以表示成兩個整數(shù)的平方和，有多少表示方法？因為一個整數(shù)寫成a2+b2，那就等于a+bi乘上a-bi，后來他證明這種數(shù)有跟整數(shù)類似的性質(zhì)：任何一個自然數(shù)都可以分解成素數(shù)的乘積.利用這樣一個基本的虛數(shù)關系就把兩個數(shù)的平方和問題完全解決了.

庫默爾（Kummer）通過引入分圓域（有理數(shù)域添加單位根這樣的虛數(shù)而生成的數(shù)域）來研究費馬大定理，這是代數(shù)數(shù)論的一個源頭.上世紀90年代解決費馬大定理，要用到模形式、橢圓曲線，這也是離不開復數(shù)的.這個猜想看上去是和復數(shù)一點關系也沒有，但到最后解決它仍離不開復數(shù).

陳省身

陳省身先生說過，復數(shù)的引進是數(shù)學史上的一件大事情.第一屆菲爾茲獎獲得者阿爾福斯（Ahlfors）也說，對精準函數(shù)作分析，通常需要考慮它們在復數(shù)域上的性質(zhì)，因為復數(shù)域是一個代數(shù)閉域.求3次方程的根在實數(shù)域上求不出，用虛數(shù)自然就能求出.這是一個很重要的思想.

六、“虛數(shù)”不虛

“虛數(shù)”不虛也反映了一個非常重要的一個理念，就是“無用之用”.在最初研究復數(shù)時，人們覺得它沒有實用，但現(xiàn)在應用非常廣泛.在前蘇聯(lián)，拉夫連季耶夫（Лаврентьев）和沙巴特（Шабат Б）寫了一本書《復變函數(shù)論方法》.兩位杰出的數(shù)學家在這本書里舉出很多例子，反映了復變函數(shù)的重要應用，包括在流體力學、氣體動力學、彈性力學、電磁學、電工學、電路計算、機翼設計等方面.

愛因斯坦狹義相對論在闡述四維時空中的距離時，引入虛數(shù)，更容易讓人接受;在電磁學、通信領域引入虛數(shù)更容易理解.當然這些理論，不一定非要引入虛數(shù)來解釋.但是量子力學不得不引入虛數(shù)了，根據(jù)海森堡不確定性原理，沒有進行觀測時，單個原子所處的位置是不確定的，引入虛數(shù)后計算電子位置的概率，概率分布用具有復數(shù)值的波函數(shù)來表示的.

通過添加一個或多個“虛構(gòu)”的數(shù)，我們可以把實數(shù)拓展為復數(shù)、四元數(shù)和八元數(shù).這些數(shù)系看似遠離了現(xiàn)實，但是它們能給我們帶來思考數(shù)學世界的新的方式，而且，我們總能給它們找到用武之地.

隨著科學和技術的進步，復數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù).

經(jīng)過許多數(shù)學家長期不懈的努力，深刻探討并發(fā)展了復數(shù)理論，才使得在數(shù)學領域游蕩了200年的幽靈——虛數(shù)揭去了神秘的面紗，顯現(xiàn)出它的本來面目，原來虛數(shù)不虛呵.虛數(shù)成為了數(shù)系大家庭中一員，從而使實數(shù)集擴充到了復數(shù)集.