■河南省開(kāi)封高級(jí)中學(xué)1808班 張澤潤(rùn)

常言道:綱舉才能目張。學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)也是如此,我們只有抓住重點(diǎn),才能達(dá)到事半功倍的效果。為此,建議同學(xué)們學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)時(shí)應(yīng)牢牢抓住以下幾個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。

一、復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

1.復(fù)數(shù)的概念:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù),其中a,b分別是它的實(shí)部和虛部。若b=0,則a+bi為實(shí)數(shù);若b≠0,則a+bi為虛數(shù);若a=0且b≠0,則a+bi為純虛數(shù)。

2.復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。

3.共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R)。

例1 (1)設(shè)x∈R,則“x=1”是“復(fù)數(shù)z=(x2-1)+(x+1)i為純虛數(shù)”的____(選填充分不必要條件、必要不充分條件、充分必要條件和既不充分也不必要條件)。

解析：因?yàn)閍+bi=__5__=1-2i(a,b∈1+2i R),所以a=1,b=-2,ab=-2。

(4)設(shè)復(fù)數(shù)z=-1-i(i為虛數(shù)單位),z的共軛復(fù)數(shù)為z,則可得|(1-z)·|=____。

【友情提示】解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的方法及注意事項(xiàng):

(1)復(fù)數(shù)的分類(lèi)及對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)該滿(mǎn)足的條件問(wèn)題,只需把復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式,列出實(shí)部和虛部滿(mǎn)足的方程(不等式)組即可。

(2)解題時(shí)一定要先看復(fù)數(shù)是否為a+bi(a,b∈R)的形式,以確定實(shí)部和虛部。

二、復(fù)數(shù)的幾何意義

例2 (1)設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱(chēng),z1=2+i,則z1z2=___

解析：由題意可知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)·(-2+i)=i2-4=-5。

(3)已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它們?cè)趶?fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B,C,若(λ,μ∈R),則λ+μ的值是____。

【友情提示】對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的理解及應(yīng)用要注意以下事項(xiàng):

(2)由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起,解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法,使問(wèn)題的解決更加直觀。

三、復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算

(一)復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算法則

設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則:

(1)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

(二)復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律

復(fù)數(shù)的加法滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律,即對(duì)任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。

【友情提示】復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算問(wèn)題的解題策略如下:

(1)復(fù)數(shù)的乘法:復(fù)數(shù)的乘法類(lèi)似于多項(xiàng)式的四則運(yùn)算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng),不含i的看作另一類(lèi)同類(lèi)項(xiàng),分別合并即可。

(2)復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),解題中要注意把i的冪寫(xiě)成最簡(jiǎn)形式。

(3)在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí),記住以下結(jié)論,可提高計(jì)算速度。如(1±i)2=±2i;1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*等。