■河南省平輿縣第一高級(jí)中學(xué)高二(8)班 郭藝璇

由一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)命題的思維過程稱為推理,它可分為合情推理與演繹推理。推理與證明是高中教材的新增內(nèi)容,同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)往往會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤。下面列舉幾類推理中的常見誤區(qū),也算給同學(xué)們提個(gè)醒。

誤區(qū)一：盲目類比

例1 平面幾何中有“一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊,則兩角相等或互補(bǔ)”;在立體幾何中,當(dāng)一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面時(shí),兩個(gè)二面角( )。

A.互補(bǔ)

B.相等

C.互補(bǔ)或相等

D.關(guān)系不確定

錯(cuò)解：C。

剖析：盲目地將立體幾何與平面幾何進(jìn)行類比,而不結(jié)合實(shí)際問題進(jìn)行分析。

正解：當(dāng)一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面時(shí),這兩個(gè)二面角無任何關(guān)系。選D。

誤區(qū)二：歸納不全面

錯(cuò)解：我們不妨先來理解一下題目給出的規(guī)律,根據(jù)給出的規(guī)律再寫出幾個(gè)式子5,…,顯然通過處理后的式子的分子與分母都要約去。因此m的值等于前面分解的的系數(shù)的積,即m=2n。

剖析：雖然對(duì)歸納有了較好的理解,但忽視了一些細(xì)節(jié),各式中x的系數(shù)積1。

正解：答案為nn。

誤區(qū)三：忽視題目條件

當(dāng)k=2時(shí),a0=0;當(dāng)k=3時(shí),a1=0;當(dāng)k=4時(shí),a2=0;當(dāng)k=5時(shí),a3=0;當(dāng)k=6時(shí),a4=0;據(jù)此推測(cè),ak-2=0。

誤區(qū)四：對(duì)演繹推理理解不透

例4 下面是運(yùn)用演繹推理“三段論”的一個(gè)過程:“矩形的對(duì)角線相等(大前提),等腰梯形的對(duì)角線相等(小前提),所以等腰梯形是矩形(結(jié)論)?！鄙鲜鲅堇[推理正確嗎?

錯(cuò)解：上述推理符合三段論,故推理是正確的。

剖析：大前提與小前提都正確,但最后的結(jié)論卻是錯(cuò)誤的,說明小前提不是大前提的特殊情況,即推理形式是錯(cuò)誤的。

正解：在上述推理中,大前提與小前提沒有關(guān)聯(lián),故上述推理是錯(cuò)誤的。

誤區(qū)五：偷換概念

例5 求證:四邊形的內(nèi)角和等于360°。

錯(cuò)解：設(shè)四邊形ABCD是矩形,則它的四個(gè)角都是直角,有∠A+∠B+∠C+∠D=360°,所以,四邊形的內(nèi)角和等于360°。

剖析：上述推理過程是錯(cuò)誤的,犯了偷換概念的錯(cuò)誤。在證明過程中,把論題中的四邊形改為了矩形。

正解：連接四邊形的一條對(duì)角線,于是四邊形被分成兩個(gè)三角形。依據(jù)三角形內(nèi)角和定理:一個(gè)三角形的內(nèi)角和為180°,于是兩個(gè)三角形的內(nèi)角和為360°,故四邊形的內(nèi)角和等于360°。

誤區(qū)六：使用虛假論據(jù)

例6 已知a,b,c是互不相等的非零實(shí)數(shù),求證:三個(gè)方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根。

錯(cuò)解：假設(shè)三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異實(shí)根,則Δ1=4b2-4ac＜0,Δ2=4c2-4ab＜0,Δ3=4a2-4bc＜0。

三式相加,整理得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2＜0。(*)

故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2＜0,此不等式不能成立,三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根。

剖析：上面解法的錯(cuò)誤在于認(rèn)為“方程沒有兩個(gè)相異實(shí)根就有Δ＜0”,事實(shí)上,“方程沒有兩個(gè)相異實(shí)根時(shí)Δ≤0”。

正解：假設(shè)三個(gè)方程都沒有兩個(gè)相異實(shí)根,則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,Δ3=4a2-4bc≤0。

三式相加,整理得a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0。

故(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0。(*)

由題意知a,b,c互不相等,所以(*)式不能成立。

所以假設(shè)不成立,即三個(gè)方程中至少有一個(gè)方程有兩個(gè)相異實(shí)根。

誤區(qū)七、生搬硬套數(shù)學(xué)歸納法

例7 用數(shù)學(xué)歸納法證明:1+3+5+…+(2n-1)=n2。

錯(cuò)解：①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,顯然成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即:

1+3+5+…+(2k-1)=k2。

當(dāng)n=k+1時(shí),有1+3+5+…+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2。

故當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立。

綜合①、②可知,等式對(duì)于任何n∈N*都成立。

剖析：上述證明從形式上看好像是數(shù)學(xué)歸納法,實(shí)際上是沒有理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì),錯(cuò)誤地進(jìn)行死搬硬套,即在假設(shè)了n=k時(shí)等式成立后,沒有推證就直接承認(rèn)了當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立,這與數(shù)學(xué)歸納法的原理相違背。

正解：①當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=1,等式成立。

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2。

當(dāng)n=k+1時(shí),1+3+5+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=1+3+5+…+(2k-1)+(2k+1)=k2+2k+1=(k+1)2。

故當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立。

綜合①、②可知,等式對(duì)于任何n∈N*都成立。