■海南省萬寧市北京師范大學(xué)萬寧附屬中學(xué) 陳情君

推理是每年高考?？嫉目键c也是高考的重點和熱點之一。推理一般包括合情推理與演繹推理,其中合情推理又包括了歸納推理和類比推理。推理的考查形式常以填空題、選擇題為主,考査內(nèi)容較為基礎(chǔ),主要體現(xiàn)能力要求,常結(jié)合函數(shù)、方程、數(shù)列、不等式、解析幾何與立體幾何進行考查,考法靈活,綜合性強,下面逐一解讀。

一、歸納推理

(一)定義

由某類事物的部分對象具有某些特征,推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理,或者由個別事實概括出一般結(jié)論的推理,稱為歸納推理。

(二)歸納推理的特點

(1)歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理。

(2)歸納推理的前提是部分的、個別的事實,因此歸納推理的前提和結(jié)論之間的聯(lián)系是或然的,所以“前提真而結(jié)論可能為假”。

(三)運用歸納推理的一般步驟

(1)通過觀察特例發(fā)現(xiàn)某些相似性(特例的共性或一般規(guī)律)。

(2)把這種相似性推廣為一個明確表述的一般性命題(猜想)。

(3)對所得出的一般性命題進行檢驗。在數(shù)學(xué)上,檢驗的標(biāo)準(zhǔn)是能否進行嚴(yán)格的證明。

題型一：與數(shù)字(數(shù)列)有關(guān)的等式的推理

例1 (2017年寧波模擬)觀察下列等式,13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,根據(jù)上述規(guī)律,13+23+33+43+53+63=( )。

A.192B.202C.212D.222

解析：因為13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,等式的右端依次為(1+2)2,(1+2+3)2,(1+2+3+4)2,所以13+23+33+43+53+63=(1+2+3+4+5+6)2=212,故選C。

評注:從所給等式的結(jié)構(gòu)入手,觀察數(shù)字特點,發(fā)現(xiàn)等號兩側(cè)數(shù)據(jù)的形式及底數(shù)之間的關(guān)系是快速求解的關(guān)鍵。

題型二：與圖形變化有關(guān)的推理

例2 某種平面分形圖如圖1所示,一級分形圖是由一點出發(fā)的三條線段,長度相等,兩兩夾角為120°;二級分形圖是在一級分形圖的每條線段末端出發(fā)再生成兩條長度為原來的線段,且這兩條線段與原線段兩兩夾角為120°,…,依此規(guī)律得到n級分形圖。

圖1

n級分形圖中共有____條線段。

解析：分形圖的每條線段的末端出發(fā)再生成兩條線段,由題圖知,一級分形圖有3=3×2-3條線段,二級分形圖有9=3×22-3條線段,三級分形圖中有21=3×23-3條線段,按此規(guī)律n級分形圖中的線段條數(shù)an=3×2n-3(n∈N*)。

評注:與圖形變化有關(guān)的推理主要包括圖形數(shù)目歸納和圖形變化規(guī)律歸納,應(yīng)充分利用特殊圖形變化規(guī)律歸納推理得出結(jié)論,并用賦值檢驗法驗證其真?zhèn)涡浴?/p>

題型三：與不等式(式子)有關(guān)的推理

評注:細心觀察每個不等式的特點,縱向看式與式之間變化規(guī)律,善于發(fā)現(xiàn)不等號右端分子、分母的變化與排序之間的關(guān)系,同時還要聯(lián)系相關(guān)的知識找出其變化規(guī)律。

題型四：與周期性相關(guān)的推理

例4 兩旅客坐火車外出旅游,希望座位連在一起,且有一個靠窗,已知火車上的座位如圖2所示,則下列座位號碼符合要求的應(yīng)當(dāng)是( )。

圖2

A.48,49 B.62,63

C.75,76 D.84,85

解析：由已知圖形中座位的排序規(guī)律可知,被5除余1的數(shù)和能被5整除的座位號靠窗,由于兩旅客希望座位連在一起,且有一個靠窗,分析選項中的4組座位號知,A、B兩組座位號都不靠窗,C中兩個座位沒有連在一起,只有D符合條件。

評注:若一組數(shù)據(jù)有“周而復(fù)始”的規(guī)律,則其具有周期性。本題背景是大家熟悉的火車座位問題,靠窗的座位號有明顯的規(guī)律,最左邊的座位號被5除余1,最右側(cè)的座位號能被5整除。

題型五：與函數(shù)(方程)相關(guān)的推理

例5 給出下列命題:

……

請觀察上面命題,猜想出命題n(n是正整數(shù))為____。

解析：觀察題中給出的命題易知,命題n中交點坐標(biāo)為(n,n2),直線方程為y=nx,雙曲線方程為故猜想命題n:點(n,n2)是直線y=nx與雙曲線

評注:通過分析命題1、2、3中點的橫縱坐標(biāo)間的關(guān)系總結(jié)規(guī)律,并從中發(fā)現(xiàn)點的橫坐標(biāo)與直線y=kx的斜率k及雙曲線y=m x

中m之間的聯(lián)系,可以推出一個明確表述的一般性命題。

二、類比推理

(一)定義

類比推理是在兩類不同的事物之間進行對比,找出若干相同或相似點之后,推測在其他方面也可以存在相同或相似之處的一種推理模式,類比推理也是合情推理的一種。

(二)類比推理的特點

(1)類比是以舊有認知作基礎(chǔ),從已經(jīng)掌握的事物的屬性推測正在研究中的事物新的屬性。

(2)類比是從一種事物的特殊屬性推測另一種事物的特殊屬性。

(3)類比的結(jié)果是猜測性的,即可能真,也可能假,但它卻具有發(fā)現(xiàn)的功能。

(三)運用類比推理的一般步驟

(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性。

(2)用一類事物的性質(zhì)推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想)。

(3)檢驗猜想。

題型六：平面與空間的類比

例6 現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題:如圖3所示,同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形,其中一個正方形的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方形重疊部分的面積恒為類比到空間,有兩個棱長均為a的正方體,其中一個的某頂點在另一個的中心,則這兩個正方體重疊部分的體積恒_____為 。

解析：在已知的平面圖形中,中心O到兩邊的距離相等(如圖4),即OM=ON。四邊形OPAR是圓內(nèi)接四邊形,Rt△OPN≌Rt△ORM,因 此 S四邊形OPAR同樣地,類比到空間,如圖5。兩個棱長均為a的正方體重疊部分的體積為

圖3

圖4

圖5

評注:平面元素與空間中元素的類比找兩類對象的對應(yīng)元素是關(guān)鍵,如:點對應(yīng)線,線對應(yīng)面,面積對應(yīng)體積,三角形對應(yīng)三棱錐,圓對應(yīng)球,平面角對應(yīng)空間角,周長對應(yīng)表面積等。

題型七：等差數(shù)列與等比數(shù)列性質(zhì)的類比

例7 若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,則數(shù)列是等差數(shù)列。類比這一性質(zhì)可知,若正項數(shù)列{cn}是等比數(shù)列,且{dn}也是等比數(shù)列,則dn的表達式應(yīng)為( )。

解析：若{an}是等差數(shù)列,則a1+a2+…即為等差數(shù)列。若{c}是等nn,故 dn=nc1·c2·…·cn=為等比數(shù)列,故選D。

評注:從一個特殊式子、一個特殊圖形的性質(zhì)入手,提出類比推理型問題,求解時要認真分析兩者間的聯(lián)系與區(qū)別,深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵。等差與等比數(shù)列之間的類比,通常從商類比到開方,從和類比到積,從算術(shù)平均數(shù)類比到幾何平均數(shù),易知本題dn的表達式為

題型八：解題方法遷移的類比

例8 對于問題“已知關(guān)于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為(-1,2),解關(guān)于x的不等式ax2-bx+c＞0”,給出如下一種解法:

解:由ax2+bx+c＞0的解集為(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c＞0的解集為(-2,1),即關(guān)于x的不等式ax2-bx+c＞0的解集為(-2,1)。

解析：由ax2+bx+c＞0的解集為(-1,2),得a(-x)2+b(-x)+c＞0的解集為(-2,1),發(fā)現(xiàn)-x∈(-1,2),則x∈(-2,1)。若關(guān)于x的不等式則關(guān)于x的可看成由前一個不等式中的x用替換得到的,則(1,2)。

評注:方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中,應(yīng)注意知識的遷移性。本題用來類比的是一元二次不等式的解法,用換元的思想將一元二次不等式中的x用換就可得出結(jié)論。

三、演繹推理

(一)定義

從一般性的原理出發(fā),按照嚴(yán)格的邏輯法則,推出某個特殊情況下的結(jié)論的推理,叫作演繹推理。簡言之,演繹推理是由一般到特殊的推理。

(二)演繹推理的特點

①演繹推理包含了三個命題,第一個命題稱為大前提,它提供了一個一般性的原理;第二個命題稱為小前提,它指出了一個特殊對象,兩者結(jié)合起來,揭示了一般原理與特殊對象的內(nèi)在聯(lián)系,從而得到第三個命題——結(jié)論。

②演繹推理是一個必然性的推理,因而只要大前提、小前提及推理形式正確,那么結(jié)論一定是正確的,它是完全可靠的推理。

(三)一般模式

“三段論”是演繹推理的一般模式,常用的一種格式為:

①大前提——已知的一般原理;

②小前提——所研究的特殊情況;

③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對特殊情況作出的結(jié)論。

題型九：根據(jù)多個語句信息推斷結(jié)論

例9 (2017年湖北八校二聯(lián))有6名選手參加演講比賽,觀眾甲猜測:4號或5號選手得第一名;觀眾乙猜測:3號選手不可能得第一名;觀眾丙猜測:1,2,6號選手中的一位獲得第一名;觀眾丁猜測:4,5,6號選手都不可能獲得第一名。比賽后發(fā)現(xiàn)沒有并列名次,且甲、乙、丙、丁中只有1人猜對比賽結(jié)果,此人是( )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

解析：根據(jù)題意,對于6名選手的比賽結(jié)果,甲、乙、丙、丁猜測如表1:

表1

由表知,只有丁猜對了比賽結(jié)果,故選D。

評注:求解多個語句的邏輯推理問題,需要善于從所給的諸多信息中抓住關(guān)鍵信息,以此為起點逐一分析推理,直到獲得結(jié)論。列表法是解決此類題的常用方法,通過列表能清晰地看出彼此間的“矛盾”與“統(tǒng)一”。

題型十：三段論形式的推理

例10 (2017年福建三明調(diào)研)數(shù)列{an}的前n項和記為Sn,已知a1=1,an+1=

(2)Sn+1=4an。

故是以2為公比,1為首項的等比數(shù)列。(結(jié)論)

又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1。(小前提)

所以,對于任意正整數(shù)n,都有Sn+1=4an。(結(jié)論)

評注:演繹推理的一般模式為三段論,三段論推理的依據(jù)是:如果集合M的所有元素都具有性質(zhì)P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性質(zhì)P。應(yīng)用三段論解決問題時,首先應(yīng)該明確什么是大前提、小前提,然后再找結(jié)論。

綜上,從推理的形式和推理的正確性上講,合情推理與演繹推理有差異;從二者在認識事物的過程中所發(fā)揮的作用的角度考慮,它們又是緊密聯(lián)系,相輔相成的。合情推理的結(jié)論需要演繹推理的驗證,而演繹推理的內(nèi)容一般是通過合情推理獲得的;演繹推理可以驗證合情推理的正確性,合情推理可以為演繹推理提供方向和思路。

小試牛刀：

1.(2017年陜西模擬)觀察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推測出一個一般性結(jié)論:對于n∈N*,1+2+…+n+…+2+1=____。

2.將自然數(shù)0,1,2,…按照如下形式進行擺列:

根據(jù)以上規(guī)律判定,從2016到2018的箭頭方向是( )。

4.在平面幾何中,△ABC的∠C的平分線CE分AB所成線段的比為這個結(jié)論類比到空間:在三棱錐A-BCD中(如圖6),DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E,則得到類比的結(jié)論是__。

圖6

5.某市為了緩解交通壓力實行機動車輛限行政策,每輛機動車每周一到周五都要限行一天,周末(周六和周日)不限行。某公司有A,B,C,D,E五輛車,保證每天至少有四輛車可以上路行駛。已知E車周四限行,B車昨天限行,從今天算起,A,C兩車連續(xù)四天都能上路行駛,E車明天可以上路,由此可知下列推測一定正確的是____。

①今天是周六 ②今天是周四 ③A車周三限行 ④C車周五限行

6.某西方國家流傳這樣一個政治笑話:“鵝吃白菜,參議員先生也吃白菜,所以參議員先生是鵝?！边@個推理的結(jié)論顯然是錯誤的,是因為( )。

A.大前提錯誤 B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤 D.非以上錯誤

參考答案：1.n2

提示：1=12,1+2+1=22,1+2+3+2+1=32,1+2+3+4+3+2+1=42,…,故歸納可得1+2+…+n+…+2+1=n2。

2.A

提示：從所給的圖形中觀察得到規(guī)律:每隔四個單位,箭頭的走向是一樣的,比如說,0→1,箭頭垂直指下,4→5,箭頭也是垂直指下,8→9也是如此,而2016=4×504,所以2016→2017也是箭頭垂直指下,之后2017→2018的箭頭是水平向右,故選A。

3.nn

提示：第一個式子是n=1的情況,此時a=11=1;第二個式子是n=2的情況,此時a=22=4;第三個式子是n=3的情況,此時a=33=27;…歸納可知a=nn。

5.②

提示：因為每天至少有四輛車可以上路行駛,E車明天可以上路,E車周四限行,所以今天不是周三;因為B車昨天限行,所以今天不是周一,也不是周日;因為A,C兩車連續(xù)四天都能上路行駛,所以今天不是周五、周二和周六,所以今天是周四。

6.C

提示：因為大前提的形式:“鵝吃白菜”不是全稱命題,大前提本身正確;小前提“參議員先生也吃白菜”本身也正確,但是不是大前提下的特殊情況,鵝與人不能類比。所以不符合三段論推理形式,故這里的錯誤是推理形式錯誤。