談?wù)勵(lì)惐韧评?/h1>
2018-05-05 02:41河南省許昌市建安大道許昌高級(jí)中學(xué)胡銀偉
■河南省許昌市建安大道許昌高級(jí)中學(xué) 胡銀偉
類比是人們從已經(jīng)掌握了的事物的屬性,推測(cè)正在研究中的事物的特性,它以原有認(rèn)識(shí)作基礎(chǔ),類比出新的結(jié)果,由于類比的結(jié)果往往是帶有猜測(cè)性的,故其結(jié)果不一定可靠,但它卻是提出新問題和做出新發(fā)現(xiàn)的重要源泉,具有發(fā)現(xiàn)的功能。
進(jìn)行類比推理時(shí),應(yīng)從具體問題出發(fā),通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比,提出猜想,找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵。類比推理常見有以下三種類型的應(yīng)用。
類型一 類比定義
由已知熟悉定義類比新定義。
例1 定義“黃金橢圓”:如圖1所示,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”。類比“黃金橢圓”,試推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于( )。
故b2=ac。而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac。
在等號(hào)兩邊同除以a2得
故答案為A。
方法總結(jié)：在求解類比定義型推理試題時(shí),可以借助原定義來求解。
圖1
跟蹤訓(xùn)練1：定義“等和數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫作等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的公和。
已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為____,這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為____。
解析：由等和數(shù)列的定義,知a1+a2=a2+a3=a3+a4=…,即有a1=a3=a5=…,a2=a4=a6=…。又a1=2,公和為5,得a18=a2=5-2=3,即有
類型二 類比性質(zhì)
性質(zhì)類比的常見情形有:平面與空間的類比;低維與高維的類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比等。
例2 在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則推廣到空間可以得到類似結(jié)論。已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則等于( )。
解析：如圖2,正三角形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓,其半徑分別為r1,r2,且r1∶r2=1∶2,所以類比此性質(zhì)知正四面體P-ABC的內(nèi)切球與外接球?yàn)橥那?其球半徑分別為r、R,則
如圖3所示,正四面體P-ABC中,過點(diǎn)P作PE⊥平面ABC,則E為底面正三角形ABC的中心,球心在PE上,設(shè)為O,于是OA=OP=R,OE=r,設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為a,則中有
圖2
圖3
故答案為D。
方法總結(jié)：從一個(gè)特殊式子的性質(zhì)、一個(gè)特殊圖形的性質(zhì)入手,提出類比推理型問題,求解時(shí)要認(rèn)真分析兩者之間的聯(lián)系與區(qū)別,深入思考兩者的轉(zhuǎn)化過程是求解的關(guān)鍵。
類型三 類比方法
方法類比是由已知熟悉的處理方法類比未知問題的處理方法。常見問題有:數(shù)的運(yùn)算(和與積,乘與乘方,差與除,除與開方)與向量運(yùn)算類比,圓錐曲線間的類比等。
例3 給出下面類比推理(其中Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集):
①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“a,c∈C,則a-c=0?a=c”;
②“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“a,b,c,d∈Q,則
④“若x∈R,則|x|＜1?-1＜x＜1”類比推出“若z∈C,則|z|＜1?-1＜z＜1”。
其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：類比結(jié)論正確的有①②。
故答案為B。
方法總結(jié)：有一些處理問題的方法具有類比性,可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中。同學(xué)們要注意知識(shí)的遷移。
跟蹤訓(xùn)練2：已知△ABC的頂點(diǎn)A、B分別是離心率為e的圓錐曲線的焦點(diǎn),頂點(diǎn)C在該曲線上。一同學(xué)已正確地推得:當(dāng)m＞n＞0時(shí)有e(sinA+sinB)=sinC。類似地,當(dāng)m＞0,n＜0時(shí),有____。
故答案為e|sinA-sinB|=sinC。
此外,我們?cè)谶M(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比,不要被表面現(xiàn)象迷惑,否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象去類比,就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤。
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進(jìn)行類比推理時(shí),應(yīng)從具體問題出發(fā),通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行對(duì)比,提出猜想,找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵。類比推理常見有以下三種類型的應(yīng)用。
類型一 類比定義
由已知熟悉定義類比新定義。
例1 定義“黃金橢圓”:如圖1所示,橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn),F為左焦點(diǎn),當(dāng)時(shí),其離心率為,此類橢圓被稱為“黃金橢圓”。類比“黃金橢圓”,試推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于( )。
故b2=ac。而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac。
在等號(hào)兩邊同除以a2得
故答案為A。
方法總結(jié)：在求解類比定義型推理試題時(shí),可以借助原定義來求解。
圖1
跟蹤訓(xùn)練1：定義“等和數(shù)列”:在一個(gè)數(shù)列中,如果每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的和都為同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列叫作等和數(shù)列,這個(gè)常數(shù)叫作該數(shù)列的公和。
已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為____,這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn的計(jì)算公式為____。
解析：由等和數(shù)列的定義,知a1+a2=a2+a3=a3+a4=…,即有a1=a3=a5=…,a2=a4=a6=…。又a1=2,公和為5,得a18=a2=5-2=3,即有
類型二 類比性質(zhì)
性質(zhì)類比的常見情形有:平面與空間的類比;低維與高維的類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列的類比等。
例2 在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則推廣到空間可以得到類似結(jié)論。已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則等于( )。
解析：如圖2,正三角形的內(nèi)切圓與外接圓為同心圓,其半徑分別為r1,r2,且r1∶r2=1∶2,所以類比此性質(zhì)知正四面體P-ABC的內(nèi)切球與外接球?yàn)橥那?其球半徑分別為r、R,則
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圖2
圖3
故答案為D。
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例3 給出下面類比推理(其中Q為有理數(shù)集,R為實(shí)數(shù)集,C為復(fù)數(shù)集):
①“若a,b∈R,則a-b=0?a=b”類比推出“a,c∈C,則a-c=0?a=c”;
②“若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d”類比推出“a,b,c,d∈Q,則
④“若x∈R,則|x|＜1?-1＜x＜1”類比推出“若z∈C,則|z|＜1?-1＜z＜1”。
其中類比結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
解析：類比結(jié)論正確的有①②。
故答案為B。
方法總結(jié)：有一些處理問題的方法具有類比性,可以把這種方法類比應(yīng)用到其他問題的求解中。同學(xué)們要注意知識(shí)的遷移。
跟蹤訓(xùn)練2：已知△ABC的頂點(diǎn)A、B分別是離心率為e的圓錐曲線的焦點(diǎn),頂點(diǎn)C在該曲線上。一同學(xué)已正確地推得:當(dāng)m＞n＞0時(shí)有e(sinA+sinB)=sinC。類似地,當(dāng)m＞0,n＜0時(shí),有____。
故答案為e|sinA-sinB|=sinC。
此外,我們?cè)谶M(jìn)行類比推理時(shí)要盡量從本質(zhì)上去類比,不要被表面現(xiàn)象迷惑,否則只抓住一點(diǎn)表面現(xiàn)象的相似甚至假象去類比,就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤。
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