■北京市第十二中學(xué)高中部 高慧明
■北京教育學(xué)院豐臺分院 張 琦
圖1
圖2
圖3
《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(征求意見稿2016)中將課程內(nèi)容分為必修課程、選修Ⅰ和選修Ⅱ三部分內(nèi)容。其中每部分內(nèi)容又包括函數(shù)、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計與概率、數(shù)學(xué)建?;顒优c數(shù)學(xué)探究活動四部分內(nèi)容(注:必修課程還包括預(yù)備知識)。其中復(fù)數(shù)與平面向量及應(yīng)用、立體幾何初步共同構(gòu)成了必修課程的幾何與代數(shù)部分。
課程標(biāo)準(zhǔn)對復(fù)數(shù)部分的教學(xué)要求是:“在復(fù)數(shù)的教學(xué)中,應(yīng)注重對復(fù)數(shù)的表示及幾何意義的理解,避免煩瑣的計算與技巧訓(xùn)練。對于感興趣的學(xué)生,可以安排一些引申的內(nèi)容,如復(fù)數(shù)的三角形式等??梢赃m當(dāng)?shù)厝谌霐?shù)學(xué)文化,讓學(xué)生體會數(shù)系擴(kuò)充過程中理性思維的作用?!毕旅鏀M通過回顧復(fù)數(shù)的發(fā)展歷史,了解復(fù)數(shù)概念的重要發(fā)展階段,體會數(shù)系擴(kuò)充過程中的理性思維、反思意識和創(chuàng)新精神。
一元二次方程的歷史可以追溯到古巴比倫時期,在大英博物館所藏古巴比倫時期泥版BM13901上載有七個一元二次方程問題。其中第1題為:“正方形面積與一邊長之和為,求該正方形邊長?!?/p>
古巴比倫人解決上述問題的方法是幾何法,圖1所示的是一邊長為x的正方形,其邊上接著一個長為1、寬也為x的長方形。之后將長方形按虛線剪開,剪下的一半置于正方形的另一邊(如圖2),然后補(bǔ)一個邊長為的小正方形,即得一大正方形(圖3),其面積為,故而大正方形邊長為1,所以要求正方形的邊長
從這個問題分析,可以發(fā)現(xiàn)古巴比倫人對一元二次方程有著深刻的理解,而且這種求一元二次方程根的方法對后世數(shù)學(xué)家研究一元二次方程問題有著深遠(yuǎn)的影響。而且如果深入分析這個問題,能夠發(fā)現(xiàn)這種求解方法中并沒有負(fù)根,這也與負(fù)數(shù)的發(fā)展歷史有關(guān),因?yàn)橹钡?6、17世紀(jì)歐洲大多數(shù)數(shù)學(xué)家還不承認(rèn)負(fù)數(shù)是數(shù)。
公元3世紀(jì),被譽(yù)為古希臘代數(shù)學(xué)鼻祖的丟番圖在其《算術(shù)》中提到這樣一個問題:“已知兩數(shù)的和與積,求這兩個數(shù)?!眮G番圖的解法是:“假設(shè)兩數(shù)的和為20,乘積為96,2x為所求數(shù)之差,于是所求數(shù)為10+x和10-x。故得10-x2=96,所以x=2,從而得所求兩數(shù)分別為12和8。”這時候,人們已經(jīng)知道一元二次方程有兩個根,如果其中有一個根為負(fù)數(shù)時,自動舍掉。但如果其中有一個根為虛數(shù)時,寧可認(rèn)為這個方程是不可解的。
公元9世紀(jì),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家花拉子米也用幾何方法來解一元二次方程。在《代數(shù)學(xué)》中,花拉子米給出了求解一元二次方程x2+10x=39的兩種幾何方法。
更為重要的是,在該部著作中,花拉子米首次得出了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式為歐洲國家應(yīng)用一元二次方程的求根公式,首次見于法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)所著的《分析五篇》一書,還只限于正根。虛根問題雖然是由求一元二次方程的解所引發(fā)的,但迫使人們認(rèn)真對待復(fù)數(shù)卻是因?yàn)榍笠辉畏匠痰慕?。意大利?shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在1545年出版的著作《大術(shù)》中討論了求解一元三次方程的代數(shù)方法,卡爾達(dá)諾區(qū)分了13種情況對一元三次方程進(jìn)行了詳細(xì)討論,給出了13種求解的公式,現(xiàn)在稱這些公式為卡爾達(dá)諾公式。
據(jù)說數(shù)學(xué)史上最早發(fā)現(xiàn)一元三次方程通式解的人,是16世紀(jì)意大利的另一位數(shù)學(xué)家尼柯洛·馮塔納。經(jīng)過多年的探索和研究,馮塔納利用十分巧妙的方法,找到了一元三次方程一般形式的求根方法,從此名揚(yáng)歐洲。但是馮塔納不愿意將他的這個重要發(fā)現(xiàn)公之于世。
當(dāng)時的卡爾達(dá)諾,對馮塔納的發(fā)現(xiàn)非常感興趣。他幾次誠懇地登門請教,希望獲得馮塔納的求根公式。可是馮塔納始終守口如瓶,滴水不漏。雖然卡爾達(dá)諾屢次受挫,但他極為執(zhí)著,軟磨硬泡地向馮塔納“挖秘訣”。后來,馮塔納終于用一種隱晦得如同咒語般的語言,把一元三次方程的解法“透露”給了卡爾達(dá)諾。馮塔納認(rèn)為卡爾達(dá)諾很難破解他的“咒語”,可是卡爾達(dá)諾的悟性太棒了,他通過解三次方程的對比實(shí)踐,很快就徹底破譯了馮塔納的秘密。
卡爾達(dá)諾把馮塔納的三次方程求根公式,寫進(jìn)了自己的學(xué)術(shù)著作《大術(shù)》中,但并未提到馮塔納的名字。隨著《大術(shù)》在歐洲的出版發(fā)行,人們才了解到三次方程的一般求解方法。由于第一個發(fā)表三次方程求根公式的人確實(shí)是卡爾達(dá)諾,因此后人就把這種求解方法稱為卡爾達(dá)諾公式。我們下面簡單介紹一下卡爾達(dá)諾公式。
設(shè)一般的一元三次方程為ay3+by2+cy+d=0(a≠0),方程兩邊同時除以a,原方程變?yōu)椴环劣洖閥3+a1y2+a2y+a3=0,此時令y=x,為了方便,不妨記所以只需求方程x3+px+q=0的解即可。
此時,設(shè)x=u+v,則方程又變換為u3+v3+(3uv+p)(u+v)+q=0,為了操作簡單,我們不妨再加一個限定條件。令3uv+p=0,即v=,再整理方程,變?yōu)閡3+利用一元二次方程的求根公式,可得u3的兩個根,再開立方,可得u的值,進(jìn)而可得方程x3+px+q=0的根。
多么巧妙的解題過程啊!但是,如果深思一下在利用一元二次方程的求根公式的時候有兩不等實(shí)根,但是當(dāng)時呢?怎么辦?
用現(xiàn)在的代數(shù)語言描述x3+px+q=0的三個根為:
在應(yīng)用公式求解的時候出現(xiàn)了十分尷尬的情況:即使一元三次方程的三個根都是實(shí)數(shù),但用公式求解的時候會出現(xiàn)虛數(shù)。比如,x3-15x-4=0,容易驗(yàn)證4是方程的一個根,接下來還可以找到另外兩個根-2±3,因此方程的三個根都是實(shí)數(shù)。但是,直接用卡爾達(dá)諾求解一元三次方程的公式計算方程根的過程中會得到一個根這個根是實(shí)數(shù)嗎?這樣的方程是有解還是無解呢?
為了解釋清楚上面產(chǎn)生的困難,卡爾達(dá)諾寫道:“顯然,將10分成兩部分,使它們的乘積等于40是不可能的。不過我們可以用這樣的方式來求解。將10等分,得5,自乘得25。減去乘積自身(即40),得-15。從5中加上或減去該數(shù)的平方根即得乘積為40的兩部分,所得的兩個數(shù)分別為……拋開精神上的痛苦,將5+即40……這的確很矯揉造作,因?yàn)槔盟覀儾⒉荒茏鲈诩冐?fù)數(shù)情形中所能做的運(yùn)算?!?這均為今天的符號)
盡管卡爾達(dá)諾本人并不理解這種數(shù),甚至拒絕了這種數(shù),還說:“算術(shù)就是這樣的精巧奇妙,它最根本的特點(diǎn),正如我說過的,是既精妙又無用。”但畢竟這是具有歷史意義的一刻,卡爾達(dá)諾成了數(shù)學(xué)史上第一個寫下負(fù)數(shù)平方根的人。不經(jīng)意的一筆卻為虛數(shù)的發(fā)展播下了種子。
虛數(shù)(imaginarynumber)這個名稱是法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡兒給出的,笛卡兒認(rèn)為方程的這些“虛”根是不能對應(yīng)到任何數(shù)的。負(fù)根至少可以通過方程變換轉(zhuǎn)化成“實(shí)”的,但是“虛”根卻辦不到。所以這些根不是實(shí)的,而是虛的,它們并不是數(shù)。并且,笛卡兒還給這些數(shù)取了一個不幸的名字——“虛數(shù)”,意思是“想象中的數(shù)”。
歐拉第一個使用符號i表示虛數(shù),寫在他1777年提交給圣彼得堡科學(xué)院的論文中,這篇論文直到1794年才發(fā)表。盡管歐拉已多次接觸虛數(shù),并且使用起來駕輕就熟,但對于虛數(shù)概念本身,他還是不甚了了,甚至還認(rèn)為在他的《代數(shù)學(xué)引論》中,他寫道:“因?yàn)樗锌梢韵胂蟮臄?shù)要么大于零,要么小于零,要么等于零,所以負(fù)數(shù)的平方根顯然是不能包含在這些數(shù)之中的。因此我們必須說,它們是不可能的數(shù)?!鼈兺ǔ1环Q為想象的數(shù),因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂笾??!?/p>
在復(fù)數(shù)理論發(fā)展的過程中,德國數(shù)學(xué)家高斯做出了巨大的貢獻(xiàn),他在1831年,建立了復(fù)數(shù)的某些運(yùn)算,使得復(fù)數(shù)的運(yùn)算也像實(shí)數(shù)一樣“代數(shù)化”。他又在1832年第一次提出了“復(fù)數(shù)”(complexnumber)這個名詞,高斯認(rèn)為必須將虛數(shù)別開來,才引入了復(fù)數(shù)這個詞。還將表示平面上同一點(diǎn)的兩種不同方法——直角坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法加以綜合,統(tǒng)一于表示同一復(fù)數(shù)的代數(shù)式和三角式兩種形式中,并把數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng),擴(kuò)展為平面上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)一一對應(yīng)。高斯不僅把復(fù)數(shù)看作平面上的點(diǎn),而且還看作是一種向量,并利用復(fù)數(shù)與向量之間一一對應(yīng)的關(guān)系,闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法與乘法。至此,復(fù)數(shù)理論才比較完整和系統(tǒng)地建立起來了。
只有給出復(fù)數(shù)的幾何表示,人們才真正感覺到了復(fù)數(shù)的存在,才心安理得地接受了復(fù)數(shù)。1797年,丹麥測量學(xué)家韋塞爾在丹麥皇家科學(xué)院宣讀了一篇關(guān)于復(fù)數(shù)的論文,文中引入了虛軸并把復(fù)數(shù)表示為平面向量。但直到100年后的1897年,韋塞爾的丹麥文的論文被翻譯為法文后,復(fù)數(shù)幾何表示的工作才引起數(shù)學(xué)界的廣泛重視。
1806年,瑞士數(shù)學(xué)家阿甘德首先把這類新數(shù)表示成三角形式并把它們與平面內(nèi)線段的旋轉(zhuǎn)結(jié)合起來,例如分別被看成單位線段按照逆時針與順時針方向旋轉(zhuǎn)90度所得的結(jié)果??梢赃@樣理解:一個實(shí)數(shù)乘以1,相當(dāng)于原地沒動;乘以-1,相當(dāng)于向后轉(zhuǎn);乘以i,相當(dāng)于向左轉(zhuǎn);乘以-i,相當(dāng)于向右轉(zhuǎn),這是復(fù)數(shù)的乘法。再來考慮復(fù)數(shù)的加法,+5,向右走5個單位;-5,向左走5個單位;+5i向上走5個單位;-5i向下走5個單位。復(fù)數(shù)的表達(dá)方式已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、信號分析等,有著深厚的物理背景。在復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上,英國數(shù)學(xué)家哈密頓構(gòu)造了四元數(shù),并導(dǎo)致了物理學(xué)中著名的麥克斯韋方程的產(chǎn)生。
虛數(shù)概念的引入在數(shù)學(xué)史上是一個曲折的過程,其中充滿著數(shù)學(xué)家的想象力、創(chuàng)造力和不屈不撓、精益求精的精神。
自從有了人類,為了統(tǒng)計捕獲的獵物和采集的野果等方面的需要,用手指、十字或刻痕來數(shù)個數(shù),經(jīng)歷了漫長的歲月,創(chuàng)造了自然數(shù),1,2,3,4,5…。后來人們把表示“無”的0也歸入自然數(shù),形成了自然數(shù)集,自然數(shù)集是產(chǎn)生其他一切數(shù)的源泉,所有其他數(shù)都是由其擴(kuò)充得到的。
但是隨著時代的發(fā)展,在分配某些物品的時候,人們發(fā)現(xiàn)只有自然數(shù)是不夠用的,比如,四個人平分一個西瓜,把西瓜切成相同的四份,每人得到其中的一份,怎么用數(shù)表示這一份呢?諸如此類的問題很多。
于是,自然引出了分?jǐn)?shù),從解方程的角度,分?jǐn)?shù)是這樣引入的:如果3x=5,這個方程在自然數(shù)的范圍內(nèi)無解,為了解決這個矛盾,數(shù)的范圍必須擴(kuò)充。所以定義:如果m,n(n≠0)是自然數(shù),如果數(shù)量a滿足條件a×n=m,則稱a是分?jǐn)?shù),記作
時代又在發(fā)展,智慧的人類發(fā)現(xiàn)僅有分?jǐn)?shù)也是不夠的。比如用自然數(shù)表示了收入,那么支出應(yīng)該怎么表示呢?用分?jǐn)?shù)表示了上升的程度,那么下降程度又該如何描述呢?于是,引入了相反數(shù)的概念——與正數(shù)相反的概念。設(shè)a是分?jǐn)?shù)(兩個自然數(shù)之比),方程x+a=0在分?jǐn)?shù)范圍內(nèi)無解,為了解決這個矛盾,數(shù)的范圍又得擴(kuò)充。所以,我們定義方程x+a=0的解叫作a的相反數(shù),記作-a,于是數(shù)的范圍擴(kuò)大到包括分?jǐn)?shù)和它的相反數(shù)的新數(shù)集——有理數(shù)集。
古希臘時期的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派有個基本的觀點(diǎn)——“萬物皆數(shù)”,他們相信任何的量都能表示成兩個整數(shù)之比。但是學(xué)派中的一個青年希帕蘇斯卻發(fā)現(xiàn)正方形的邊長與對角線之比不能用整數(shù)比表示,即 2不是分?jǐn)?shù)。他百思不得其解,最后認(rèn)定這是一個從未見過的新數(shù)。這個新數(shù)的發(fā)現(xiàn),使畢達(dá)哥拉斯學(xué)派感到震驚,動搖了他們哲學(xué)思想的核心。無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),擊碎了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的理想。同時暴露出有理數(shù)系的缺陷:一條直線上的有理數(shù)盡管“稠密”,但是它卻漏出了許多“孔隙”,而且這種“孔隙”多得“不可勝數(shù)”。這樣,古希臘人把有理數(shù)視為是連續(xù)銜接的那種設(shè)想,就徹底地破滅了。
無理數(shù)是什么?人民教育出版社教材中的無理數(shù)的定義如下:
八年級上冊:任何一個有理數(shù)可以寫成有限小數(shù)和無限不循環(huán)小數(shù)的形式,3即3.0,即-0.6…很多平方根和立方根都是無限不循環(huán)小數(shù),無限不循環(huán)小數(shù)又叫無理數(shù)。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。
從有理數(shù)到無理數(shù),也可以看成是兩個方面需求的結(jié)果:一是度量線段過程中發(fā)現(xiàn)的存在著不可公度線段——每一條這樣的線段都對應(yīng)著借助于單位長度而給出的一個數(shù),這樣的數(shù)就是無理數(shù)。二是從數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求看,與有理數(shù)域的擴(kuò)充類似,為了解像x2=2這樣的方程,需要構(gòu)造一個比有理數(shù)集更廣的實(shí)數(shù)集。
從實(shí)數(shù)到復(fù)數(shù),主要是數(shù)學(xué)內(nèi)部的需求,也就是上面所述在一元三次方程求解過程中產(chǎn)生的 -1的問題,于是從數(shù)學(xué)的角度,只好引進(jìn)一種新的數(shù)——“虛數(shù)單位”i,它服從i2=-1,之后要定義它的運(yùn)算;定義了運(yùn)算,又要研究它的運(yùn)算律。從而數(shù)集就從實(shí)數(shù)集又?jǐn)U充到了復(fù)數(shù)集。
上述數(shù)的范圍的擴(kuò)充過程,反映了數(shù)學(xué)推廣過程的一個重要特性——使得在原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。非常幸運(yùn),從自然數(shù)到有理數(shù),有理數(shù)集到實(shí)數(shù)集,實(shí)數(shù)集到復(fù)數(shù)集,完全滿足這個要求。
復(fù)數(shù)除了在高考和競賽中的簡單應(yīng)用外,隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步,復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性,它不但對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義,而且為證明機(jī)翼上升力的基本定理起到了重要作用,并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力,也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)。
中學(xué)生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學(xué))2018年4期