彭鵬 劉博聞 高策

從牛頓時代起，物理學(xué)家開始使用數(shù)學(xué)來描述世界。在經(jīng)典物理學(xué)中，實數(shù)可以完整描述所有經(jīng)典物理量，虛數(shù)僅僅是為了計算方便而引入的計算工具。在薛定諤、海森堡等量子力學(xué)先驅(qū)建立量子力學(xué)的過程中，虛數(shù)以第一原理的形式被引入理論。但它在量子力學(xué)中仍是抽象的概念，物理學(xué)家并沒有賦予其任何實際的物理意義。因為，通過實數(shù)概率值的形式可以完成對量子力學(xué)實驗的描述，并不需要虛數(shù)。然而，物理學(xué)的目標(biāo)是通過理論來解釋實驗現(xiàn)象，而非描述實驗現(xiàn)象。鑒于上述原因，物理學(xué)家對在量子力學(xué)中使用虛數(shù)是極其忐忑和糾結(jié)的。

為了消除顧慮，一些物理學(xué)家試圖去除量子力學(xué)理論中的虛數(shù)，完全依靠實數(shù)來建立量子力學(xué)的理論體系。但是這樣的實數(shù)量子理論能夠完整地描述量子世界嗎？如當(dāng)年玻爾和愛因斯坦對量子力學(xué)是否具有完備性的爭論一樣，這個問題同樣令人惴惴不安。

就像貝爾不等式檢驗實驗反駁了隱變量理論那樣[1]，2022年，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)的潘建偉團隊和南方科技大學(xué)范靖云團隊，分別獨立通過一個類似貝爾不等式檢驗實驗的實虛檢驗實驗證明，虛數(shù)對標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)理論來說是必不可少的，并且扮演著關(guān)鍵的核心角色。

虛數(shù)的建立和初步應(yīng)用

虛數(shù)的來源是負數(shù)的平方根。意大利數(shù)學(xué)家卡爾達諾（G. Cardano）在其1545年出版的《偉大的藝術(shù)》中提到了一個問題，能否把10分成兩部分，使它們的乘積為40？這個問題實際上就是求解一個一元二次方程，但是其判別式Δ<0，結(jié)果中會出現(xiàn)負數(shù)的平方根，即沒有實數(shù)解。若沒有虛數(shù)，此方程無解。在求解一元二次方程時，負數(shù)開根號并不影響計算過程；但在解一元三次方程時則會出現(xiàn)問題，當(dāng)Δ<0時，方程會有三個不等的實數(shù)根，按照求根公式求解，就會遇到負數(shù)開根號。1572年，意大利數(shù)學(xué)家邦貝利（R. Bombelli）在《代數(shù)學(xué)》中，第一次大膽利用虛數(shù)運算規(guī)則解出了方程的三個實數(shù)解。數(shù)學(xué)家由此認識到虛數(shù)的重要性。1637年，笛卡爾在《幾何學(xué)》中，首次將負數(shù)的平方根稱為imaginary number（虛數(shù)），意思是虛構(gòu)的、不存在的數(shù)。萊布尼茲直接稱虛數(shù)為“介于存在和不存在之間的兩棲物”。正如解一元三次方程那樣，使用虛數(shù)能非常方便地獲得最終的實數(shù)解。因此，它最初只是作為工具引入數(shù)學(xué)計算，沒有實際意義。

此后，高斯、柯西、歐拉、傅里葉等數(shù)學(xué)大家均對虛數(shù)進行了大量深入的研究。1748年，歐拉在《無窮小分析引論》中，提出了歐拉公式eix=cosx+isinx，將三角函數(shù)與帶有虛數(shù)的指數(shù)函數(shù)關(guān)聯(lián)起來，簡化了三角函數(shù)的計算，并將三角函數(shù)的周期性引入指數(shù)函數(shù)。不過，他對虛數(shù)的態(tài)度仍不置可否，認為：“它們（虛數(shù)）既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么。它們純屬虛幻?！?777年，歐拉最早引入虛單位i。1807年，傅里葉首次提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”。1822年，數(shù)學(xué)應(yīng)用于物理學(xué)的里程碑式著作《熱的分析理論》出版，該書首次描述了傅里葉變換：通過對函數(shù)乘以一個帶有虛數(shù)的指數(shù)，就可以實現(xiàn)函數(shù)在時域和頻域之間的轉(zhuǎn)換。有了虛數(shù)便有了復(fù)數(shù)的概念，1832年，高斯引入復(fù)數(shù)的概念并給出幾何解釋，將復(fù)數(shù)與復(fù)平面一一對應(yīng)起來。實數(shù)是一維數(shù)，只有實數(shù)軸上移動的自由度。復(fù)數(shù)的形式為a+bi，其中a為復(fù)數(shù)的實部，b為復(fù)數(shù)的虛部，相當(dāng)于增加了額外的一個自由度。實數(shù)域拓展到復(fù)數(shù)域，移動自由度由一條線變成了由實數(shù)軸和垂直于實數(shù)軸的虛數(shù)軸構(gòu)成的二維復(fù)平面。

隨著虛數(shù)不斷得到應(yīng)用，學(xué)術(shù)界逐漸接受了虛數(shù)的概念，同時也為它進入物理學(xué)領(lǐng)域打下基礎(chǔ)。由于復(fù)數(shù)可以方便而簡潔地描述物理量的周期、相位、振幅等信息，其在物理學(xué)以及工程領(lǐng)域得到了極其廣泛的應(yīng)用。比如，在處理交變電路時，可以將電壓、電流、阻抗等物理量表示為復(fù)數(shù)形式，然后按照復(fù)數(shù)的運算規(guī)則進行運算，最后取實部或虛部就可得到最終的實數(shù)結(jié)果；傅里葉變換的一個重要應(yīng)用就是信號處理，類似化學(xué)中分析物質(zhì)成分一樣，它有助于處理分解信號，從而確定信號的成分。費曼將歐拉公式稱為“我們的珍寶”“數(shù)學(xué)中最非凡的公式”，肯定虛數(shù)對物理學(xué)發(fā)展的重要性。法國數(shù)學(xué)家阿達馬（J. S. Hadamard）曾說：“在實數(shù)域，連接兩個真理的最短路徑是通過復(fù)數(shù)域?！?h3>量子力學(xué)中的虛數(shù)

楊振寧曾提到，“20世紀(jì)理論物理學(xué)的三個主旋律是：量子化、對稱性和相位因子”，可以說，這三個主旋律的基本架構(gòu)都離不開虛數(shù)。

那么，虛數(shù)到底有怎樣的物理意義？可以從復(fù)數(shù)在方程所蘊含的信息窺探一二。復(fù)數(shù)包含波函數(shù)的振幅和相位信息，二者是量子力學(xué)最為核心的關(guān)鍵因素。薛定諤雖然建立了波函數(shù)，但并沒有參透其真正內(nèi)涵。波函數(shù)所描述的波與常識中的波完全是兩回事，前者并非真實三維空間的函數(shù)，而是希爾伯特空間的函數(shù)，希爾伯特空間最早由馮·諾依曼引入量子力學(xué)，是構(gòu)造空間中的一個復(fù)值空間。玻恩將區(qū)別于經(jīng)典物理學(xué)的非決定性引入量子力學(xué)，賦予波函數(shù)極其特別的概率解釋。波函數(shù)的振幅信息決定了粒子某一時刻在某一位置出現(xiàn)的概率，而相位（差）信息則是量子相干性的來源。量子相干性是量子世界區(qū)別于經(jīng)典世界的關(guān)鍵特征，它的存在會促使量子行為向經(jīng)典行為轉(zhuǎn)變。量子退相干行為是量子計算在實現(xiàn)過程中亟需突破的一個挑戰(zhàn)，量子干涉測量則提供了一種更為精密的測量方式。

規(guī)范理論中的虛數(shù)

物理學(xué)中大多數(shù)方程都涉及某種對稱性，而對稱性是規(guī)范理論的核心。規(guī)范的本意是標(biāo)尺或者標(biāo)度，用以定義標(biāo)準(zhǔn)。生活中最常見的規(guī)范對稱的例子是電壓。對電路產(chǎn)生影響的是電壓差的大小，而不是電壓絕對的大小。電路整體電壓同步增加，不會影響電壓差的大小，因而不會對電路產(chǎn)生影響，這是一種規(guī)范不變性。虛數(shù)在規(guī)范變換中同樣發(fā)揮了舉足輕重的作用。

1905年，法國數(shù)學(xué)家龐加萊發(fā)現(xiàn)，洛倫茲變換可以看作是在由時間的虛坐標(biāo)ict（c為光速）和歐幾里得空間三個實坐標(biāo)構(gòu)成的四維時空中的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換。隨后，德國數(shù)學(xué)家閔可夫斯基（H. Minkowski）基于龐加萊的工作，在構(gòu)建的四維時空中對麥克斯韋方程組和愛因斯坦的狹義相對論進行了進一步研究，更為簡潔地闡釋了二者的洛倫茲不變性。洛倫茲不變性是狹義相對論的基本性質(zhì)，反映了兩個作相對勻速運動的慣性參考系之間坐標(biāo)變換的不變性。ict賦予了時間軸以長度的量綱，時間尺度就等同于是一個虛的空間尺度，“在這種情況下，滿足（狹義）相對論要求的自然定律取這樣的數(shù)學(xué)形式，其中時間坐標(biāo)的作用與三個空間坐標(biāo)的作用完全一樣。在形式上，這四個坐標(biāo)就與歐幾里得幾何學(xué)中三個空間坐標(biāo)完全相當(dāng)”，將過去認為是相互獨立的時間和空間用四維時空統(tǒng)一起來。進一步，1915年，愛因斯坦在普魯士科學(xué)院的發(fā)言中，正式提出廣義相對論，將引力描述為時空的幾何屬性——曲率；提出引力的場方程，將物質(zhì)的能量、動量與時空曲率聯(lián)系到一起，開創(chuàng)了物理的幾何化。

1918年，德國數(shù)學(xué)家外爾（H. Weyl）受愛因斯坦廣義相對論的影響，在《空間，時間，物質(zhì)》一書中開始嘗試統(tǒng)一四大力中的引力和電磁力，并最早引入規(guī)范的概念。為了將引力理論的幾何化推廣到電磁理論，外爾發(fā)展了一種新電磁學(xué)的幾何解釋理論。他的做法是引入一個標(biāo)度因子λ（x）=eθ（x），這樣的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)展現(xiàn)了一種新的對稱性，即規(guī)范不變性。從數(shù)學(xué)的角度看，外爾的理論如此優(yōu)雅和美麗，他在文章中明確表示：“我有足夠的勇氣相信，所有的物理現(xiàn)象都可能源于一個普遍的定律，即數(shù)學(xué)上最簡單的定律?！蓖瑫r，他在給愛因斯坦的信中聲稱：“我相信，在這些日子里，我成功地從同一個來源得到了電和引力?！?/p>

然而，外爾的理論失了物理的真。在廣義相對論中，愛因斯坦始終用完全相同的時鐘和尺子，即相同的標(biāo)準(zhǔn)，而外爾的做法卻使得“標(biāo)準(zhǔn)”可以隨意改變，這在物理學(xué)中是不被接受的。因此，當(dāng)愛因斯坦看到外爾的理論時，立即提出反對意見：“這是一項一流的天才之舉。然而，到目前為止，我還是無法消除我對標(biāo)度的反對意見。”同時，他提出一個假想實驗：兩個時鐘從同一地點出發(fā)，分別沿著兩條不同路徑移動，最后再回到出發(fā)點。如果外爾的理論正確，時鐘在移動的過程中，標(biāo)度會不斷連續(xù)變化，不同的移動歷史會造成兩個時鐘的快慢不一樣，即時鐘的快慢會依賴于移動的歷史。愛因斯坦最后表示：“遺憾的是，這個理論的基本假設(shè)對我來說似乎是不可接受的。”盡管外爾的理論并不成功，但其規(guī)范不變性的思想在統(tǒng)一場論的發(fā)展中扮演了重要的角色，標(biāo)志著現(xiàn)代規(guī)范理論的誕生。

虛數(shù)在量子力學(xué)理論中的應(yīng)用，為解決標(biāo)度變化問題提供了新思路。1922年，薛定諤猜想，在外爾的變換中可以引入虛數(shù)。1927年，蘇聯(lián)物理學(xué)家?？耍╒. Fock）和德國物理學(xué)家倫敦（F. London）分別獨立從量子力學(xué)的角度對帶電粒子與電磁場的相互作用進行研究，對外爾的理論加以改進，將實數(shù)形式標(biāo)度因子嵌入虛單位-i，從而將尺度變換更改為相位變換。如此這般，就能打消愛因斯坦的質(zhì)疑了，時鐘路徑的不同只會影響時鐘相位的變化，卻并不會影響時鐘的快慢。正如倫敦在《外爾理論的量子力學(xué)解釋》中所描述的那樣，“這意味著任何空間間隔都必須被看作是一個復(fù)數(shù)量，而整體間隔測量的外爾變量的結(jié)果是在常數(shù)模相位的變化”。雖然很難理解虛數(shù)的物理意義，但對于虛數(shù)的使用，倫敦是堅定的：“一個更為嚴(yán)重的問題是如何理解路徑連接的復(fù)數(shù)形式。我們不應(yīng)該始終將自己限制在實數(shù)領(lǐng)域。而是應(yīng)該注意到另一個事實，那就是波函數(shù)本質(zhì)上就是復(fù)數(shù)的?！辈贿^，他同時也感到不安：“正是這種波（復(fù)振幅）經(jīng)歷了外爾為他的規(guī)范尺度所假定的影響，作為當(dāng)時物理學(xué)的一個多余元素，不得不賦予它一種形而上學(xué)的存在?！痹诋?dāng)時看來，虛數(shù)始終是實驗上一個不可測量量。

物理學(xué)家把具有相位的復(fù)振幅引入大自然的描述，這不僅成為量子力學(xué)的基本核心內(nèi)容，同時還揭開了建立標(biāo)準(zhǔn)模型的序幕。狄拉克曾這樣描述相位對于建立量子力學(xué)的重要性：“相位這個物理量巧妙地隱藏在大自然中，正由于它隱藏得如此巧妙，人們才沒能更早建立量子力學(xué)。”更進一步闡述，所有的相互作用包括電磁力、強力、弱力、引力等都是某種形式的規(guī)范場，而規(guī)范場論中的對稱性、規(guī)范變換等核心概念無不與相位相關(guān)；同時，規(guī)范場與數(shù)學(xué)概念纖維叢關(guān)系密切，而纖維同樣是復(fù)相位。可以說，將相位放置到任何高的位置都不為過，正如楊振寧描述相位：“規(guī)范場就是把相位這個觀念的重要性提到最高，等于是問這樣的問題：為什么有電磁波？為什么有引力？為什么有強力？為什么有弱力？這些，都是因為相位的對稱的觀念而來的。”他認為，如果現(xiàn)在重新命名，規(guī)范不變性應(yīng)該叫相位不變性，而規(guī)范場應(yīng)該稱為相位場。

尋找實數(shù)量子理論

虛數(shù)在數(shù)學(xué)中是必不可少的，并且為現(xiàn)代物理學(xué)的發(fā)展立下汗馬功勞，但是它一直以來始終是一個在實驗上形而上學(xué)的不可測量量。在量子力學(xué)中，雖然算符是虛數(shù)的形式，但可觀察量的算符一定是厄米算符，因為厄米算符的本征值為實數(shù)，任何可觀測量都是實數(shù)。這是量子力學(xué)建立的五個基本假設(shè)之一。由于虛數(shù)無法用實驗進行測量，那么就產(chǎn)生一個疑問：是否可以用純實數(shù)來建立量子力學(xué)？

不過，2009年轉(zhuǎn)機出現(xiàn)。加拿大滑鐵盧大學(xué)的莫斯卡（M. Mosca）團隊在理論上證明，可以完全脫離虛數(shù)，僅使用具有實系數(shù)的狀態(tài)和算符，通過實數(shù)形式的希爾伯特空間描述量子力學(xué)系統(tǒng)及其演化，包括連續(xù)時間演化和多粒子體系的演化，能重現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)貝爾定理所預(yù)測的統(tǒng)計實驗結(jié)果。該理論提供了對虛數(shù)質(zhì)疑的依據(jù)，但依然缺乏一個真正的實踐檢驗。

實驗驗證

2021年，巴塞羅那科技學(xué)院的雷諾（M. Renou）等人為解決虛數(shù)和實數(shù)之爭，提出了一個在當(dāng)前技術(shù)條件下切實可行的實驗方案[2]——實虛檢驗實驗。該實驗方案對貝爾不等式檢驗實驗進行了擴展，將一個糾纏源和三處測量點改為兩個糾纏源以及三處測量點。研究人員在理論層面分析發(fā)現(xiàn)，標(biāo)準(zhǔn)量子力學(xué)以及實數(shù)量子力學(xué)的實驗結(jié)果不同。若實虛檢驗實驗成功付諸實踐，就可以駁斥實數(shù)量子力學(xué)。

貝爾不等式檢驗實驗中，僅需要多組相互糾纏的粒子分別發(fā)射到相距足夠遠的兩處進行統(tǒng)計測量，就可以獲得實驗結(jié)果。實虛檢驗實驗則需要兩個獨立的糾纏源分別發(fā)送兩組糾纏粒子對到三處測量點。糾纏源S1和S2分別制備糾纏粒子m、n和p、q，n、p發(fā)射到B測量點，m、q分別發(fā)送到A、C測量點，對B處的n、p兩粒子進行一次特殊的測量，就可以實現(xiàn)本來毫無關(guān)聯(lián)的m、q兩粒子的糾纏，這個過程被稱作糾纏交換[1]。將上述過程重復(fù)多次，并加權(quán)各處聯(lián)合測量的概率分布，可獲得關(guān)聯(lián)參數(shù)。理論分析虛數(shù)量子力學(xué)關(guān)聯(lián)參數(shù)上限值Γ為6≈8.49，而實數(shù)量子力學(xué)為7.66，經(jīng)典物理學(xué)則為6.0。如果實驗測量獲得的關(guān)聯(lián)參數(shù)值在7.66和8.49之間，就可以排除實數(shù)量子力學(xué)。

得益于量子調(diào)控技術(shù)的快速發(fā)展以及大量貝爾不等式檢驗實驗的經(jīng)驗積累，潘建偉團隊和范靖云團隊分別利用超導(dǎo)量子比特和和光子的偏振態(tài)完成了實虛檢驗實驗驗證，獲得的實驗結(jié)果均大于實數(shù)量子力學(xué)的上限值而小于虛數(shù)量子力學(xué)的上限值，有力地駁斥了實數(shù)量子力學(xué)。這兩個實驗在某種程度上表明虛數(shù)在量子力學(xué)中發(fā)揮著非?；A(chǔ)性的作用，而這是實數(shù)無法替代的。不過就像貝爾不等式檢驗實驗一樣，上述實驗也存在漏洞[1]，隨后還會有更多更趨于完美的實驗。

除了上述實驗，還有一項實驗也充分證明了虛數(shù)不虛。2011年，加拿大國家計量標(biāo)準(zhǔn)研究所的倫迪恩（J. S. Lundeen）團隊第一次在實驗上實現(xiàn)對波函數(shù)實分量和虛分量的直接測量[3]。這項實驗并不是通過傳統(tǒng)層析方法去間接獲取波函數(shù)的信息，而是直接將波函數(shù)的實部和虛部數(shù)值呈現(xiàn)在測量裝置上?；诓淮_定性原理，一旦精確測量粒子的位置信息，就無法再精確測量其動量信息，這種不確定性由帶有虛數(shù)的對易關(guān)系來描述。一般認為，測量過程被看作是儀器與被測物理系統(tǒng)之間的耦合，會導(dǎo)致儀器指針的偏轉(zhuǎn)，破壞物理系統(tǒng)的原始狀態(tài)，從而影響其他狀態(tài)的測量。隨著技術(shù)的發(fā)展，被稱作“弱測量”的實驗技術(shù)誕生，它可以最大限度降低測量過程對于量子態(tài)的干擾，不會影響其他狀態(tài)的測量：先對位置進行一次“弱測量”，隨后再對動量進行一次標(biāo)準(zhǔn)的測量，進而直接測量了單個光子復(fù)波函數(shù)。隨后，物理學(xué)家進一步直接測量了更加復(fù)雜多粒子體系乃至糾纏量子態(tài)的波函數(shù)。這樣，量子態(tài)測量就有了簡單而直接的定義：對一個變量進行弱測量，然后對不對易變量進行標(biāo)準(zhǔn)測量，最終得到兩次測量的平均結(jié)果。目前，所有的實驗均表明虛數(shù)量子力學(xué)始終是描繪自然界最為成功的理論。

相對論和量子力學(xué)是當(dāng)代物理學(xué)大廈的基石，它們的核心內(nèi)容如波函數(shù)、不確定原理、規(guī)范變換、場方程、量子糾纏、量子干涉乃至相對論性的波函數(shù)方程——狄拉克方程等，均離不開虛數(shù)的使用。從上文可知，盡管虛數(shù)在這些理論中起到最為基礎(chǔ)的作用，卻沒有明確的定義，而是以一種抽象元素的形式被引入。因此，如何用虛數(shù)解釋奇妙的量子世界，或者虛數(shù)蘊含怎樣深刻的物理內(nèi)涵，還需要進一步去探究。

[本文相關(guān)研究受國家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項目（11904217）、國家社會科學(xué)基金重大項目（16ZDA113）、山西省科技戰(zhàn)略研究專項（202204031401039）資助。]

[1]彭鵬， 劉博聞. 貝爾檢驗簡史. 科學(xué). 2023， 75（1）： 36-41.

[2]Renou M O， et al. Quantum theory based on real numbers can be experimentally falsified. Nature， 2021， 600（7890）： 625-629.

[3]Lundeen J S， Sutherland B， Patel A， et al. Direct measurement of the quantum wavefunction， Nature， 2011， 474（7350）： 188-191.

關(guān)鍵詞：虛數(shù) 糾纏交換 貝爾實驗 量子力學(xué) 實虛檢驗實驗 ■