呂志鵬，劉文光，劉 超，張宇航

（南昌航空大學(xué)航空制造工程學(xué)院，南昌 330063）

在航空航天和機(jī)械工程領(lǐng)域，振動(dòng)及振動(dòng)噪聲問題普遍存在[1-3]。這些問題如不加以重視，輕則影響人的健康，重則影響設(shè)備的可靠運(yùn)行。壓電智能材料由于其優(yōu)異的力電轉(zhuǎn)換特性以及對(duì)環(huán)境具備可感知、可響應(yīng)和可控制等特點(diǎn)，為結(jié)構(gòu)減振降噪開辟了新途徑[4]。結(jié)合功能梯度材料（Functionally Graded Materials，簡(jiǎn)稱FGMs）的優(yōu)越性[5-6]，有研究者將目光集中在兩種材料的組合上，以提升壓電材料的工程應(yīng)用價(jià)值。

目前，壓電功能梯度結(jié)構(gòu)力學(xué)問題研究主要分為三大類。第一類主要是利用Maxwell方程或者變分原理直接推導(dǎo)出電學(xué)控制方程，對(duì)壓電功能梯度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問題開展研究。例如，應(yīng)用1 階剪切變形理論并考慮von Kármán 幾何非線性，Arefi 等[7]討論了壓電功能梯度圓柱殼的非線性自由振動(dòng)特性；采用1階剪切變形理論和微分求積法，段鵬飛[8]探究了熱環(huán)境下壓電功能梯度中厚圓板的自由振動(dòng)響應(yīng)；利用等幾何分析法，劉濤等[9]研究了不同機(jī)械邊界條件下壓電功能梯度板的自由振動(dòng)、靜態(tài)彎曲和變形控制等問題。第二類主要是利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)，通過(guò)對(duì)壓電層施加電壓，探討結(jié)構(gòu)的靜力變形、動(dòng)力響應(yīng)和控制問題。例如，應(yīng)用多尺度法，劉志強(qiáng)[10]系統(tǒng)研究了簡(jiǎn)諧力和電壓激勵(lì)下壓電功能梯度板的非線性動(dòng)力響應(yīng)；采用半解析法和考慮幾何非線性的Donnell殼理論，Ninh等[11]探究了含彈性基礎(chǔ)壓電功能梯度碳納米材料增強(qiáng)圓柱殼在熱-力-電荷載作用下的非線性動(dòng)力響應(yīng)。第三類主要是利用壓電材料的正逆壓電效應(yīng)，令壓電材料分別作為壓電功能梯度結(jié)構(gòu)的傳感層和作動(dòng)層，開展結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制問題相關(guān)研究。例如，基于高階剪切變形理論和假設(shè)模態(tài)法，Song 等[12]研究了壓電功能梯度碳納米材料增強(qiáng)板的主動(dòng)振動(dòng)控制；應(yīng)用等幾何分析法和Newmark-β積分，劉濤等[13]研究了壓電功能梯度層合板的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)與主動(dòng)控制。利用恒速反饋控制算法和Donnell 殼理論，Dong 等[14]探究了熱環(huán)境下壓電功能梯度石墨烯增強(qiáng)復(fù)合圓柱殼的主動(dòng)控制。

工程實(shí)際中，壓電結(jié)構(gòu)與其周圍彈性介質(zhì)存在相互作用，陸續(xù)有研究者探討了含彈性基礎(chǔ)壓電功能梯度結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性[15-16]。但是鮮有研究討論多物理場(chǎng)下含彈性基礎(chǔ)壓電功能梯度圓柱殼的動(dòng)力學(xué)問題，以及壓電材料類型對(duì)壓電功能梯度圓柱殼振動(dòng)特性的影響。因此，本工作以含雙參數(shù)彈性基礎(chǔ)壓電功能梯度圓柱殼為對(duì)象，基于一階剪切變形理論和Hamilton 變分原理，推導(dǎo)多場(chǎng)耦合載荷下壓電功能梯度圓柱殼的振動(dòng)方程，討論彈性基礎(chǔ)、壓電材料類型等對(duì)模態(tài)頻率的影響。

1 壓電功能梯度圓柱殼模型

如圖1所示，Pasternak-Winkler彈性基礎(chǔ)壓電功能梯度圓柱殼的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，中面半徑為R。FGM 層厚度為hf，其表面貼有壓電陶瓷，內(nèi)外壓電層厚度分別為hp-I和hp-II。將圓柱殼外層壓電陶瓷沿z軸正方向極化，內(nèi)層壓電陶瓷沿z軸負(fù)方向極化。在壓電功能梯度圓柱殼的中面建立圓柱坐標(biāo)系（x，θ，z），其中，u0、v0和w0分別表示圓柱殼在軸向、環(huán)向及徑向的中面位移?？紤]壓電功能梯度圓柱殼在軸向和徑向分別受均勻分布的靜態(tài)荷載Ax和P的作用。外表面分布Pasternak-Winkler 型彈性基礎(chǔ)，其中，Kp為Pasternak 型彈性基礎(chǔ)模量，K w為Winkler 型彈性基礎(chǔ)模量。

圖1 含彈性基礎(chǔ)壓電功能梯度圓柱殼模型

假設(shè)FGM 層的材料組分由內(nèi)表面陶瓷ZrO2逐漸向外表面金屬Ti-6Al-4V 連續(xù)梯度變化，F(xiàn)GM 層的有效材料參數(shù)可表示為：

式中：Γc和Γm分別表示內(nèi)外表面的材料參數(shù)；N為FGM層的陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)。

考慮溫度場(chǎng)沿殼體厚度方向呈線性分布，溫度場(chǎng)T（z）的表達(dá)式為：

式中：環(huán)境溫度T0=300 K；Tin和Tex分別為圓柱殼內(nèi)外表面的溫度。

2 壓電功能梯度圓柱殼運(yùn)動(dòng)方程

根據(jù)一階剪切變形理論，圓柱殼的位移分量為：

式中：u、v和w分別表示圓柱殼內(nèi)任意一點(diǎn)的位移分量；φx和φθ為中面法線分別繞x軸和θ軸的轉(zhuǎn)角。

FGM層的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為：

式中：ΔT=T（z）-T0；Q為縮減剛度矩陣；σ、ε和α分別為FGM層的應(yīng)力、應(yīng)變和熱膨脹常數(shù)向量。各矩陣和向量的表達(dá)式為：

式中：縮減剛度元素Qijf（i，j=1，2，4，5，6）的表達(dá)式為：

式中：Eeff和veff分別為FGM 層的有效彈性模量和泊松比。

熱、力、電耦合情形下壓電層的本構(gòu)關(guān)系為：

式中：上角標(biāo)k=I、II分別表示內(nèi)外壓電層；σk、αk、Ek、Dk和pk分別為壓電層的應(yīng)力、等效熱膨脹常數(shù)、電場(chǎng)、電位移和等效熱釋電常數(shù)向量；Qk、ek、ξk分別為等效彈性常數(shù)、等效壓電常數(shù)和等效介電常數(shù)矩陣。這些等效常數(shù)可根據(jù)平面應(yīng)力假設(shè)得出，具體表達(dá)式為：

電場(chǎng)強(qiáng)度與電勢(shì)之間的關(guān)系為：

式中：Θk為在外加控制電勢(shì)V（t）作用下壓電層內(nèi)的電勢(shì)分布函數(shù)，定義為：

式中：Ψk（x，θ，t）是壓電陶瓷因正壓電效應(yīng)產(chǎn)生的誘導(dǎo)電勢(shì)在面內(nèi)的分布函數(shù)。

壓電功能梯度圓柱殼的動(dòng)能K為：

式中：ρeff和ρk分別為FGM層和壓電層的材料密度。

壓電功能梯度圓柱殼的應(yīng)變能U為：

式中：

熱、力、電荷載所做總功包括[17-18]：

式中：

式中：NTx和NITx分別為溫度在FGM 層和壓電層的x方向引起的熱載荷；Nkex為電壓在壓電層的x方向引起的電載荷。

根據(jù)Hamilton變分原理：

可得壓電功能梯度圓柱殼的運(yùn)動(dòng)方程：

式中：Nfij和Nkij（i，j=x，θ，z）分別為FGM 層和壓電層的中面內(nèi)力；Mfij和Mkij為相應(yīng)各向力矩；Qfij和Qkij分別為FGM 層和壓電層在z方向的剪力；If1、If2和If3為FGM層的廣義慣性常數(shù)，Ik1、Ik2和Ik3為壓電層的廣義慣性常數(shù)。

3 模態(tài)頻率方程求解

假設(shè)壓電功能梯度圓柱殼兩端簡(jiǎn)支，殼的中面位移和電勢(shì)函數(shù)可表示為：

式中：ηm=mπ/L；m和n分別為軸向和環(huán)向波數(shù)；ω為壓電功能梯度圓柱殼的角頻率。

綜合上述公式得到壓電功能梯度圓柱殼在多場(chǎng)作用下的模態(tài)頻率方程：

式中：M、K分別為廣義質(zhì)量和廣義剛度，a為振型系數(shù)向量。求解模態(tài)方程式（34），可得壓電功能梯度圓柱殼的模態(tài)頻率。

為便于分析，定義以下無(wú)量綱參數(shù)：

數(shù)值計(jì)算時(shí)，材料參數(shù)分別取E=70 GPa，v=0.3，ρ1=2 707 kg/m3，ρ2=30 00 kg/m3，h=0.01 m。為了驗(yàn)證理論推導(dǎo)的合理性，將模型簡(jiǎn)化為與文獻(xiàn)[19]一致的具有單層壓電層的壓電功能梯度圓柱殼。圖2為壓電功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率隨環(huán)向波數(shù)的變化趨勢(shì)。

圖2 壓電功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率隨波數(shù)的變化

表1為壓電功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率與軸向載荷的關(guān)系。結(jié)果表明，本文模型計(jì)算的模態(tài)頻率與文獻(xiàn)[19]結(jié)果比較吻合。

表1 壓電功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率與軸向載荷的關(guān)系

4 分析與討論

如無(wú)特殊說(shuō)明，壓電層選用PZT-4。表2為各種壓電陶瓷材料參數(shù)。功能梯度材料參數(shù)分別?。篍c=168 GPa、Em=105.7 GPa、ρc=3 000 kg/m3、ρm=4 429 kg/m3和υc=υm=0.298；圓柱殼的幾何尺寸取：L=10 m、R=1 m 和hp-I=hp-II=hf=0.001 m；軸向和環(huán)向波數(shù)?。簃=3 和n=3；其他參數(shù)?。篘=1，P1=100，Kw1=Kp1=0.000 1，V=100 V，Ax1=-0.5，Tin=300 K。

表2 各類壓電陶瓷的材料參數(shù)[20-22]

如圖3所示，研究了不同溫度梯度下，無(wú)量綱模態(tài)頻率隨彈性基礎(chǔ)參數(shù)的變化。結(jié)果表明：當(dāng)參數(shù)Kw1或Kp1一定，增大Tin會(huì)減小圓柱殼的模態(tài)頻率。這是因?yàn)闇囟冉档土藞A柱殼的剛度。當(dāng)Tin一定時(shí)，模態(tài)頻率隨著彈性基礎(chǔ)參數(shù)Kw1的增大基本呈線性遞增趨勢(shì)，隨著Kp1的增大呈近似二次函數(shù)的形式，而且增長(zhǎng)率逐漸減小。說(shuō)明彈性基礎(chǔ)會(huì)提高圓柱殼的剛度。對(duì)比圖3（a）和圖3（b），可知彈性基礎(chǔ)參數(shù)Kp1比Kw1提高模態(tài)頻率顯著。

圖3 不同溫度梯度下模態(tài)頻率隨彈性參數(shù)的變化

如圖4 所示，研究了不同壓電材料時(shí)模態(tài)頻率隨彈性參數(shù)的變化。結(jié)果表明：選用不同材料時(shí)，模態(tài)頻率隨彈性參數(shù)Kw1或Kp1的變化趨勢(shì)基本相似。選用PZT-4 和PZT-5A 時(shí)模態(tài)頻率相差不大，選用BaTiO3較其他兩種材料較大程度提高模態(tài)頻率。

圖4 不同壓電材料下模態(tài)頻率隨彈性參數(shù)的變化

如圖5 所示，研究了不同陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)N下溫度梯度對(duì)模態(tài)頻率的影響。分析表明：Tin一定時(shí)，增大FGM 層的陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)，結(jié)構(gòu)剛度因陶瓷含量增多而逐漸增大，導(dǎo)致模態(tài)頻率越來(lái)越大。當(dāng)N增大至5 到10 時(shí)，由于材料組分逐漸趨于純陶瓷，導(dǎo)致模態(tài)頻率增長(zhǎng)率逐漸減小。進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，模態(tài)頻率下降率隨N的增大而逐漸增大。原因在于未考慮FGM 層的材料參數(shù)與溫度之間的依賴性。否則由于N越大，內(nèi)部陶瓷含量越多，耐熱性越強(qiáng)，結(jié)構(gòu)剛度受Tin的影響也越小。結(jié)論表明，當(dāng)壓電功能梯度圓柱殼在較低溫度且忽略溫度對(duì)材料特性的影響時(shí)，選用較大的N有利于提高結(jié)構(gòu)剛度，但模態(tài)頻率下降率卻越來(lái)越大；結(jié)構(gòu)在較高溫度下，不能忽略溫度梯度對(duì)FGM層的材料特性影響，否則會(huì)產(chǎn)生較大誤差。

圖5 不同陶瓷體積分?jǐn)?shù)下模態(tài)頻率隨溫度梯度的變化

如圖6所示，研究了不同壓電材料下，溫度梯度和陶瓷體積分?jǐn)?shù)指數(shù)對(duì)模態(tài)頻率的影響。從圖6（a）可以得到，Tin一定時(shí)，盡管BaTiO3的模態(tài)頻率最大，但是其剛度受Tin的影響卻最大，而PZT-4和PZT-5A對(duì)Tin的敏感性基本一致。壓電材料對(duì)Tin的敏感性由強(qiáng)到弱的順序依次是BaTiO3＞PZT-4=PZT-5A。從圖6（b）可以得到，不同壓電材料下，改變FGM 層的N，結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率變化趨勢(shì)基本一致。且均在N≤2時(shí)，模態(tài)頻率隨著N的增大先快速增大，然后逐漸趨于平穩(wěn)。結(jié)論表明，壓電材料的種類不影響模態(tài)頻率隨N的變化趨勢(shì)；為使FGM層含有一定的剛度和強(qiáng)度，N控制在2左右較好。

圖6 不同材料下模態(tài)頻率隨溫度和陶瓷體積分?jǐn)?shù)的變化

如圖7 所示，研究了不同溫度梯度和壓電材料下模態(tài)頻率隨激勵(lì)電壓V的變化。結(jié)果顯示，不同Tin下，激勵(lì)電壓對(duì)模態(tài)頻率的影響趨勢(shì)基本一致，且隨著激勵(lì)電壓的增大，模態(tài)頻率出現(xiàn)微小降幅。進(jìn)一步分析得到，溫度梯度相對(duì)外激勵(lì)電壓對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響更為顯著。圖7（b）中Ω/ΩV=0表示結(jié)構(gòu)模態(tài)頻率與激勵(lì)電壓V=0 時(shí)模態(tài)頻率的比值。可以看到，激勵(lì)電壓對(duì)選用PZT-5A 時(shí)模態(tài)頻率的影響最大，而選用BaTiO3時(shí)的影響最小。

圖7 不同溫度梯度和壓電材料下模態(tài)頻率隨電壓的變化

5 結(jié)語(yǔ)

基于1階剪切變形理論和Hamilton變分原理推導(dǎo)了多場(chǎng)載荷下含彈性基礎(chǔ)壓電功能梯度圓柱殼的振動(dòng)方程，分析了不同參數(shù)對(duì)模態(tài)頻率的影響。主要結(jié)論如下：

（1）增大溫度梯度會(huì)降低壓電功能梯度圓柱殼的模態(tài)頻率，且高溫下不宜忽略FGMs 屬性的溫度依賴性；增大彈性參數(shù)Kw和Kp會(huì)增大層合圓柱殼的模態(tài)頻率，但Kp提高模態(tài)頻率顯著；隨著FGM 層陶瓷體積分?jǐn)?shù)的增大，模態(tài)頻率也越來(lái)越大。

（2）壓電功能梯度圓柱殼模態(tài)頻率值與壓電材料的關(guān)系為BaTiO3＞PZT-4＞PZT-5A；BaTiO3對(duì)溫度梯度的敏感性最強(qiáng)，其他壓電材料基本相同。

（3）選用PZT-5A 圓柱殼的模態(tài)頻率受外激勵(lì)電壓的影響最大，而選用BaTiO3則相反；與溫度梯度相比，外激勵(lì)電壓對(duì)結(jié)構(gòu)剛度的影響較小。

（4）受條件限制，本文未針對(duì)研究對(duì)象開展實(shí)驗(yàn)測(cè)試以驗(yàn)證理論推導(dǎo)的合理性。為了加速推進(jìn)FGMs 在工程實(shí)踐中的應(yīng)用，下一步將重點(diǎn)開展壓電功能梯度圓柱殼的振動(dòng)實(shí)驗(yàn)研究。