王穎

MPCK（Mathematics Pedagogical Content Knowledge），意為數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)知識(shí)，由數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)（MK）、一般教學(xué)法知識(shí)（PK）、學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)（CK）三者相互融合而成，是衡量數(shù)學(xué)教師專業(yè)發(fā)展的核心指標(biāo)，亦為影響數(shù)學(xué)教與學(xué)的關(guān)鍵因素。幾何直觀主要是指學(xué)生運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意識(shí)和習(xí)慣，它不僅是一種意識(shí)，也是一種技能，更是一種思維方式。本文基于MPCK理論，結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐與思考，探索幾何直觀培養(yǎng)路徑，通過(guò)對(duì)教師專業(yè)素養(yǎng)的提升與教學(xué)過(guò)程的優(yōu)化實(shí)現(xiàn)學(xué)生幾何直觀的發(fā)展。

一、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，激活幾何直觀意識(shí)

MK主要是指教師具備的關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)。為提高M(jìn)K水平，教師要研讀數(shù)學(xué)教材，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容本質(zhì)。具備較強(qiáng)MK水平的教師，在教學(xué)中能主動(dòng)借助幾何直觀把抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)換成形象的具體知識(shí)，讓學(xué)生感受到運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的意義與價(jià)值，愿意動(dòng)手實(shí)踐，有效激活學(xué)生的幾何直觀意識(shí)。

例如，教學(xué)“倍的認(rèn)識(shí)”單元（人教版，下同），由于倍的概念涉及兩個(gè)量之間的比較，十分抽象，學(xué)生不易理解。教學(xué)本單元時(shí)，教師應(yīng)注重幾何直觀的作用，通過(guò)多種直觀形式幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)本質(zhì)。一方面，在本單元倍的概念建立過(guò)程中，教師注重將所比較的事物的數(shù)量關(guān)系直觀化。學(xué)生通過(guò)活動(dòng)情境，把蘿卜每?jī)筛鶠橐唤M圈出來(lái)，并對(duì)蘿卜的圈圖進(jìn)行比較，直觀形象地展示出兩個(gè)數(shù)量之間的倍比關(guān)系，溝通抽象的新知識(shí)“倍”與自己熟悉的“幾個(gè)幾”之間的聯(lián)系，建立起倍的直觀模型，從而深刻理解倍的本質(zhì)，即一個(gè)量里包含了幾個(gè)另一個(gè)量就是它的幾倍。另一方面，在本單元解決問(wèn)題（求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少）教學(xué)中，為了讓學(xué)生明確“求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，就是求幾個(gè)幾是多少”，教師注重啟發(fā)學(xué)生借助圖形分析數(shù)量關(guān)系，可以從畫(huà)形象的實(shí)物圖出發(fā)，再慢慢過(guò)渡到畫(huà)線段圖。當(dāng)然，對(duì)于第一次接觸線段圖的低年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，教師需要加強(qiáng)方法指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生自己學(xué)會(huì)用線段的長(zhǎng)度來(lái)表示數(shù)量，并且能夠表示出兩個(gè)數(shù)量之間的倍數(shù)關(guān)系。學(xué)生在理解基本數(shù)量關(guān)系的同時(shí)，感受幾何直觀的作用，借助圖形分析和思考的意識(shí)得以激活。

從MK角度分析，教師能夠靈活調(diào)用自身儲(chǔ)備的關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)，準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，并借助幾何直觀手段引導(dǎo)學(xué)生探尋數(shù)學(xué)本質(zhì)，引發(fā)學(xué)生自主運(yùn)用圖表分析和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀意識(shí)的養(yǎng)成。

二、構(gòu)建教學(xué)策略，提升幾何直觀技能

PK主要是指教師具備的關(guān)于教學(xué)策略的知識(shí)。擁有不同PK水平的教師在教學(xué)策略方面的知識(shí)儲(chǔ)備量有所不同，面對(duì)同樣的數(shù)學(xué)知識(shí)就會(huì)有不同的教學(xué)設(shè)計(jì)，從而形成不同的教學(xué)效果。教學(xué)中教師要根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)靈活、恰當(dāng)?shù)貥?gòu)建教學(xué)策略，并在運(yùn)用教學(xué)策略的過(guò)程中助力學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用圖表描述和分析問(wèn)題的技能。

例如，教學(xué)“植樹(shù)問(wèn)題”時(shí)，為了讓學(xué)生形成深刻的植樹(shù)問(wèn)題模型，教學(xué)中教師巧妙采用建模、固模、用模、拓模等教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生不斷借助線段圖描述和分析植樹(shù)問(wèn)題，積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，逐步深化對(duì)植樹(shù)問(wèn)題認(rèn)識(shí)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)對(duì)學(xué)生幾何直觀技能的提升。在建模中，對(duì)于相同的總長(zhǎng)、相同的間隔長(zhǎng)、相同的間隔數(shù)，不同的植樹(shù)情況（兩端都栽、兩端不栽、只栽一端）得到不同的植樹(shù)棵數(shù)。通過(guò)觀察線段圖，學(xué)生能夠清晰地看到：植樹(shù)棵數(shù)不同的主要原因在于兩端的植樹(shù)情況不同。教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生自己畫(huà)出線段圖并分析三種植樹(shù)情況中間隔數(shù)與棵數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。線段圖的呈現(xiàn)有效地幫助學(xué)生建立植樹(shù)問(wèn)題模型并積累幾何直觀經(jīng)驗(yàn)。在固模中，教師出示不同情況的植樹(shù)棵數(shù)，學(xué)生根據(jù)植樹(shù)情況和棵數(shù)快速找到所對(duì)應(yīng)的間隔數(shù)。當(dāng)學(xué)生判斷出現(xiàn)混淆時(shí)，自己能借助線段圖重新找尋對(duì)應(yīng)關(guān)系。有些學(xué)生甚至能夠借助線段圖小結(jié)三種植樹(shù)情況的結(jié)構(gòu)化關(guān)系：只栽一端間相等、兩端都栽間減1、兩端不栽間加1，從而實(shí)現(xiàn)鞏固模型的效果。在用模中，學(xué)生運(yùn)用模型尋找生活中各種各樣的“樹(shù)”，包括看得見(jiàn)的“真的樹(shù)”（如路旁植樹(shù)問(wèn)題）、看得見(jiàn)的“假的樹(shù)”（如鋸木頭問(wèn)題）、不容易看見(jiàn)卻能“想象的樹(shù)”（如公交車站點(diǎn)問(wèn)題）、看不見(jiàn)卻能“聽(tīng)得見(jiàn)的樹(shù)”（如鐘聲問(wèn)題）等，每一種生活中形象的“樹(shù)”，學(xué)生都能借助線段圖呈現(xiàn)出數(shù)學(xué)中抽象的“樹(shù)”，層層推進(jìn)，實(shí)現(xiàn)模型的靈活運(yùn)用。在拓模中，教師出示圓形池塘邊植樹(shù)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考封閉曲線上植樹(shù)問(wèn)題的棵數(shù)和間隔數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，學(xué)生通過(guò)化曲為直，再次借助線段圖分析，實(shí)現(xiàn)由直邊植樹(shù)模型向閉環(huán)植樹(shù)模型拓展。

從PK的角度分析，在數(shù)學(xué)教學(xué)中教師選擇適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略實(shí)施教學(xué)，借助教學(xué)策略適時(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性引導(dǎo)，有效地將學(xué)術(shù)形態(tài)的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化成教育形態(tài)的數(shù)學(xué)，促進(jìn)學(xué)生幾何直觀活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累，提升學(xué)生的幾何直觀技能。

三、探明學(xué)習(xí)思路，發(fā)展幾何直觀思維

CK主要是指教師具備的關(guān)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的知識(shí)，包括對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)困難及學(xué)習(xí)思路的認(rèn)識(shí)。擁有較高CK水平的教師能夠準(zhǔn)確辨別學(xué)生感到困難的學(xué)習(xí)內(nèi)容，并借助幾何直觀實(shí)現(xiàn)思維外顯，明晰思維路徑，化解學(xué)習(xí)難點(diǎn)，促使學(xué)生主動(dòng)從直觀層面展開(kāi)思考，進(jìn)而形成良好的幾何直觀思維。

例如，教學(xué)“數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形”一課，在解決1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+…的求和問(wèn)題中，學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)加數(shù)的規(guī)律，即第一個(gè)加數(shù)是1/2，后面每個(gè)加數(shù)是前一個(gè)加數(shù)的1/2，并計(jì)算發(fā)現(xiàn)算式和的規(guī)律，即和為1減去最后一個(gè)加數(shù)，且隨著加數(shù)越來(lái)越多，和越來(lái)越接近于1。但這個(gè)無(wú)限接近于1的數(shù)的具體值是多少？這是一個(gè)極其抽象的極限問(wèn)題，學(xué)生很難理解其結(jié)果就是1。此時(shí)教師出示一個(gè)正方形，學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，用陰影在正方形上有規(guī)律地表示出這些加數(shù)，當(dāng)這個(gè)過(guò)程無(wú)止境地持續(xù)下去時(shí)，陰影部分就會(huì)把整個(gè)正方形占滿。用畫(huà)圖的方式來(lái)表示計(jì)算的過(guò)程和結(jié)果，且正方形易于分割觀察，學(xué)生直觀地看到這些數(shù)相加之和為1。此時(shí)，學(xué)生在理解上可能還存在困難，教師還可以借助圖形進(jìn)行反推，幫助學(xué)生直觀地理解：1=1/2+1/2=1/4+1/4+=1/2+1/4+1/8+1/8=…在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，教師借助圖形為學(xué)生解決問(wèn)題提供探索和思考的路徑，學(xué)生在體會(huì)推理和極限思想的同時(shí)，充分感受到利用圖形探索解決問(wèn)題思路的重要性，助力自身幾何直觀思維的發(fā)展。

從 CK的角度分析，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師只有全面深入地探明學(xué)生的具體學(xué)情，才能關(guān)注到學(xué)生的個(gè)體差異，預(yù)測(cè)學(xué)生可能會(huì)遇到的困難，并根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知盲點(diǎn)巧借圖表來(lái)解決，引發(fā)學(xué)生借助幾何直觀進(jìn)行有理有據(jù)地思考。

（作者單位：福建省廈門(mén)市集美區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校 福建省廈門(mén)市集美區(qū)內(nèi)林小學(xué) ）