杜 盈， 張勁東， 蔣宜林, 尹明月

(南京航空航天大學(xué)電子信息工程學(xué)院， 江蘇南京 211100)

0 引言

欺騙性干擾是指干擾機(jī)將截獲到的信號經(jīng)過部分復(fù)制后轉(zhuǎn)發(fā)給雷達(dá)，使得對方雷達(dá)跟蹤到虛假目標(biāo)，從而保護(hù)真實(shí)目標(biāo)，同時(shí)雷達(dá)系統(tǒng)還可能因?yàn)橐幚淼募倌繕?biāo)太多而無法正常工作?，F(xiàn)代雷達(dá)可通過發(fā)射正交波形來降低各子脈沖之間的互相關(guān)性，同時(shí)利用信號的隨機(jī)性和不確定性使干擾信號脈壓后的輸出盡可能小，從而降低信號的截獲概率，以此來抑制欺騙干擾。此外，多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output, MIMO)雷達(dá)也要求發(fā)射正交波形，因此對正交波形的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有重要意義。

常用的正交波形形式是相位編碼信號。文獻(xiàn)[1-5]以自相關(guān)旁瓣最大值、互相關(guān)最大值、自相關(guān)旁瓣能量和互相關(guān)能量等的加權(quán)和為目標(biāo)函數(shù)，設(shè)計(jì)具有良好正交性能的相位編碼；文獻(xiàn)[6]和[7]則以自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)的峰值旁瓣電平比(Peak Sidelobe Level Ratio, PSLR)以及積分旁瓣電平比(Integrated Sidelobe Level Ratio, ISLR)構(gòu)建代價(jià)函數(shù)優(yōu)化多相正交序列。但隨著現(xiàn)代雷達(dá)技術(shù)的不斷發(fā)展，單一的調(diào)制信號形式已不能滿足現(xiàn)代信息化戰(zhàn)爭的新要求，從脈內(nèi)、脈間多個(gè)維度設(shè)計(jì)復(fù)合調(diào)制波形可以提高信號的隨機(jī)性和復(fù)雜度，從而降低雷達(dá)的截獲概率，提升雷達(dá)的抗干擾能力。FSK-PSK信號就是一種常見的復(fù)合調(diào)制信號形式。唐璐對跳頻信號進(jìn)行相位調(diào)制得到具有良好的隨機(jī)性和低截獲特性的FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號，Chang等設(shè)計(jì)了比傳統(tǒng)離散頻率編碼波形具有更好的正交性和更低的旁瓣的離散頻率/相位編碼波形(Discrete Frequency and Phase Coding Waveform, DFPCW)，張洋通過優(yōu)化信號捷變頻率和脈內(nèi)相位編碼分別改善了信號的多普勒旁瓣水平和距離旁瓣水平，但這些文獻(xiàn)并沒有對欺騙干擾的抑制展開研究。

本文在以上研究的基礎(chǔ)上，以脈內(nèi)切片轉(zhuǎn)發(fā)干擾(Intrapulse Slice Repeater Jamming , ISRJ)為例，設(shè)計(jì)脈內(nèi)相位編碼、脈間跳頻編碼的FSK-PSK正交波形來對抗壓制干擾，以最小化子脈沖的自相關(guān)旁瓣電平和各個(gè)子脈沖之間的互相關(guān)函數(shù)電平加權(quán)和為準(zhǔn)則，用0-1離散變量表示跳頻和相位，將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為0-1整數(shù)規(guī)劃問題，構(gòu)造增廣拉格朗日函數(shù)，對所有0-1變量求導(dǎo)，采用擬牛頓法求解優(yōu)化問題模型，從而對FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號的跳頻和相位進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化。

1 信號形式和優(yōu)化問題模型

1.1 FSK-PSK復(fù)合調(diào)制下的ISRJ

將一個(gè)脈寬為的寬脈沖分為個(gè)彼此相接的子脈沖，每個(gè)子脈沖的脈寬=，采用跳頻編碼序列對子脈沖進(jìn)行調(diào)制。每個(gè)子脈沖中用長度為的相位編碼序列進(jìn)行調(diào)制，每個(gè)碼元的寬度=,為了提高信號的隨機(jī)性和復(fù)雜度，每個(gè)子脈沖的相位編碼序列均不相同。FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號模型如圖1所示。

圖1 FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號模型

那么信號的復(fù)包絡(luò)可寫為如下形式：

(1)

式中，()表示第個(gè)子脈沖信號：

(2)

其中，=,=1,2,…,為頻點(diǎn)，∈[1,2,…,]為第個(gè)子脈沖的跳頻系數(shù)，本文假設(shè)每個(gè)子脈沖的跳頻系數(shù)均不相同；()=ej2π()，=0,1,…,-1表示第個(gè)子脈沖的相位編碼序列，()∈[0,1,…,-1]為相位離散值，表示離散相位個(gè)數(shù)，()為寬度的理想矩形脈沖。

脈內(nèi)切片轉(zhuǎn)發(fā)干擾即部分脈沖轉(zhuǎn)發(fā)干擾，是指干擾機(jī)對截獲到的雷達(dá)發(fā)射信號按照預(yù)先設(shè)定的次數(shù)進(jìn)行采樣并轉(zhuǎn)發(fā)形成的干擾，是一種典型的欺騙干擾形式，采樣周期和采樣時(shí)長的不同決定了不同的干擾形式。脈內(nèi)切片轉(zhuǎn)發(fā)干擾比脈間轉(zhuǎn)發(fā)干擾的功率利用率更高，干擾形式也更加多樣。

假設(shè)干擾機(jī)對所截獲的FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號，在一個(gè)碼元內(nèi)采樣點(diǎn)，即以=為周期進(jìn)行采樣(切片)，隨后將切片信號轉(zhuǎn)發(fā)出去，形成脈內(nèi)切片干擾信號，其信號形式如圖2所示。

圖2 ISRJ信號模型(第m個(gè)子脈沖)

那么整個(gè)脈沖共采樣′=·個(gè)點(diǎn)，采樣后的第個(gè)子脈沖信號可表示為

(3)

1.2 優(yōu)化問題模型

利用式(3)計(jì)算第個(gè)子脈沖和第個(gè)子脈沖的互相關(guān)：

(4)

取=,-(′-1)≤≤′-1有

(5)

將()簡寫為()，并定義：

,=·,··

那么第個(gè)子脈沖和第個(gè)子脈沖的互相關(guān)函數(shù)的離散形式可表示為

(6)

當(dāng)=時(shí)，式(6)表示第個(gè)子脈沖的自相關(guān)函數(shù)的離散形式：

(7)

為對抗ISRJ信號，可設(shè)計(jì)FSK-PSK脈內(nèi)正交波形，以最小化子脈沖的自相關(guān)旁瓣電平和各個(gè)子脈沖之間的互相關(guān)函數(shù)電平加權(quán)和為準(zhǔn)則建立目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號。該問題的目標(biāo)函數(shù)可表示為

(8)

式中，=[|≤||≤′-1]表示自相關(guān)的副瓣范圍，=[|0≤||≤′-1]表示互相關(guān)函數(shù)范圍；∈[0,1]為加權(quán)系數(shù)，當(dāng)=1時(shí)，只抑制自相關(guān)函數(shù)副瓣部分即，而=0時(shí)，只抑制互相關(guān)函數(shù)電平部分即。

考慮跳頻系數(shù)和相位部分離散值()的整數(shù)約束以及各子脈沖跳頻系數(shù)兩兩不同的約束條件，可建立如下優(yōu)化問題模型：

(9)

2 抗ISRJ的FSK-PSK正交波形優(yōu)化方法

2.1 0-1整數(shù)規(guī)劃模型

對于0-1離散變量，需要利用如下光滑處理的NCP(Nonlinear Complementarity Problem)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化成為連續(xù)問題：

(10)

式中為極小的正數(shù)。問題可改寫為如下形式：

(11)

式中第一項(xiàng)約束條件是對跳頻系數(shù)的整數(shù)約束，共個(gè)，第二項(xiàng)約束條件是對相位部分離散值的整數(shù)約束，共個(gè)，第三項(xiàng)約束條件是關(guān)于0-1離散變量的NCP函數(shù)，共(+)個(gè)，第四個(gè)約束條件表示各子脈沖跳頻系數(shù)兩兩不同，共個(gè)。將所有約束條件進(jìn)行如下描述：

()=0,=1,2,…，

=++(+)+

(12)

通過增廣拉格朗日乘子法將該優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題可得

(13)

式中=[,,…,]為拉格朗日乘子組成的向量，=[,,…,]為懲罰因子組成的向量。采用擬牛頓法求解無約束優(yōu)化問題得到：=argmin(,,)。這一方法需要對變量求導(dǎo)。

首先對目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式(8)作如下轉(zhuǎn)換：

(14)

2.2 優(yōu)化跳頻

2.2.1 目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)

對于自相關(guān)函數(shù)()，根據(jù)求導(dǎo)鏈?zhǔn)椒▌t得

(15)

對于互相關(guān)函數(shù)()：

(16)

求式(16)中各項(xiàng)：

(17)

那么函數(shù)()、()分別對跳頻部分變量求導(dǎo)得

(18)

則目標(biāo)函數(shù)對跳頻部分求導(dǎo)得

(19)

2.2.2 約束條件求導(dǎo)

約束條件對變量(1≤≤,=1,2,…,)求導(dǎo)，此時(shí)∈。

(20)

式中=(+1)+(-1)(+)。

2.3 優(yōu)化相位

2.3.1 目標(biāo)函數(shù)求導(dǎo)

自相關(guān)函數(shù)對相位部分求導(dǎo)：

(21)

計(jì)算式(21)中各項(xiàng)：

1,…,-1)]

(22)

將式(22)代入式(21)并化簡可得

(23)

互相關(guān)函數(shù)對相位部分變量求導(dǎo)得

(24)

根據(jù)式(22)可求式(24)并化簡：

(25)

那么函數(shù)()、()分別對相位部分變量求導(dǎo)得

(26)

則目標(biāo)函數(shù)對相位部分變量求導(dǎo)得

(27)

2.3.2 約束條件求導(dǎo)

約束條件對變量(+1≤≤+,=1,2,…,-1)求導(dǎo)，此時(shí)∈。

(28)

式中=(+1)+(-1)(+)。

2.4 抗ISRJ的FSK-PSK正交波形優(yōu)化算法

根據(jù)式(19)和(27)，可得目標(biāo)函數(shù)對第個(gè)子脈沖的所有變量組成的向量的求導(dǎo)公式：

(29)

目標(biāo)函數(shù)和約束條件分別對變量進(jìn)行求導(dǎo)可用如下公式表示：

(30)

那么增廣拉格朗日函數(shù)對變量的求導(dǎo)公式可表示為

(31)

得到增廣拉格朗日函數(shù)對變量的求導(dǎo)公式后，通過增廣拉格朗日乘子法將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)無約束的優(yōu)化問題，可采用擬牛頓法進(jìn)行求解。

基于FSK-PSK復(fù)合調(diào)制的抗ISRJ波形優(yōu)化算法步驟如表1所示。

表1 基于FSK-PSK復(fù)合調(diào)制的抗ISRJ波形優(yōu)化算法步驟

3 仿真結(jié)果與分析

定義脈內(nèi)子脈沖信號的自相關(guān)平均副瓣電平(Auto-correlation Average Sidelobe Level, AASL)、互相關(guān)平均電平(Cross-correlation Average Level, CCAL)如下：

(32)

式中，=[|≤||≤′-1]表示自相關(guān)函數(shù)的副瓣范圍，=[|0≤||≤′-1]表示互相關(guān)函數(shù)范圍。

對于一組子脈沖數(shù)目=4，跳頻系數(shù)={2,1,4,3}，相位編碼碼長=50，離散相位數(shù)分別為=2/4/8的FSK-PSK信號，其相位編碼序列與PSK信號完全相同，兩種信號的AASL和CCAL值如表2所示。

表2 PSK和FSK-PSK信號對比

由表中數(shù)據(jù)可知，F(xiàn)SK-PSK信號相對于PSK信號，其子脈沖的自相關(guān)平均旁瓣電平是相當(dāng)?shù)模渥用}沖互相關(guān)平均電平比PSK信號低了10 dB左右。

設(shè)置一組子脈沖數(shù)目=4，跳頻系數(shù)={1,2,3,4}，相位編碼碼長=50，離散相位數(shù)為=4的FSK-PSK信號，其各子脈沖的自相關(guān)模糊函數(shù)圖如圖3所示，從圖中可以看出， FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號自相關(guān)旁瓣較低，且隨著多普勒頻移增大，其自相關(guān)主峰依然保持較高水平，具有較好的多普勒頻移容忍度。

(a) 子脈沖1自相關(guān)模糊函數(shù)

設(shè)計(jì)FSK-PSK信號的子脈沖數(shù)目=4，子脈沖信號的初始跳頻系數(shù)分別對應(yīng)了={1,2,3,4}，子脈沖信號的相位編碼碼長=50，離散相位數(shù)=4。設(shè)置優(yōu)化模型的加權(quán)系數(shù)分別為={0,01,…,1}，固定跳頻系數(shù)僅優(yōu)化相位的FSK-PSK信號和跳頻相位聯(lián)合優(yōu)化的FSK-PSK信號，其自相關(guān)和互相關(guān)優(yōu)化前后結(jié)果對比如圖4所示, 具體優(yōu)化數(shù)據(jù)結(jié)果如表3所示，其中初始波形=-22.610 8 dB，=-33.353 8 dB。

(a) 自相關(guān)結(jié)果對比

表3 優(yōu)化后的跳頻序列和AASL、CCAL值

從圖4和表3可以看出，隨著加權(quán)系數(shù)的增加，對自相關(guān)部分的優(yōu)化比重增加，而對互相關(guān)部分的優(yōu)化比重相應(yīng)降低，因此優(yōu)化后的AASL值整體呈下降趨勢、CCAL值整體呈上升趨勢，加權(quán)系數(shù)∈[01,06]時(shí)優(yōu)化后的波形相較于初始信號，其自相關(guān)旁瓣和子脈沖互相關(guān)均能得到抑制。

設(shè)置加權(quán)系數(shù)=02，F(xiàn)SK-PSK信號的子脈沖數(shù)目=4，子脈沖信號的相位編碼碼長=50，離散相位數(shù)=4，初始跳頻系數(shù)設(shè)為={1,2,3,4}，優(yōu)化后各子脈沖跳頻系數(shù)和相位編碼信息如表4所示，各個(gè)子脈沖的自相關(guān)和互相關(guān)結(jié)果如圖5所示。從圖5可以看出，優(yōu)化波形的自相關(guān)和互相關(guān)均明顯低于未優(yōu)化波形。

表4 優(yōu)化后的正交FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號

(a) 子脈沖1自相關(guān)

對一組子脈沖數(shù)=4的FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號，設(shè)置加權(quán)系數(shù)=02，子脈沖信號的相位編碼離散相位數(shù)=4，碼長分別為40、60、80，初始跳頻系數(shù)={1,2,3,4}，優(yōu)化后的跳頻系數(shù)以及優(yōu)化前后的AASL和CCAL如表5所示。

表5 不同序列長度波形優(yōu)化前后性能對比

從表中數(shù)據(jù)可知，對不同長度的FSK-PSK信號序列經(jīng)優(yōu)化后其自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)均能被抑制，且子脈沖序列越長，優(yōu)化后的AASL和CCAL值越小，抗脈內(nèi)切片轉(zhuǎn)發(fā)干擾的能力越強(qiáng)。

4 結(jié)束語

FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號比PSK信號的抗干擾性能更好，因此本文采用FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號作為發(fā)射波形，以最小化子脈沖的自相關(guān)旁瓣電平和各個(gè)子脈沖之間的互相關(guān)函數(shù)電平加權(quán)和為準(zhǔn)則，用0-1離散變量表示跳頻和相位，考慮子脈沖跳頻和相位編碼序列的相位離散值的整數(shù)約束以及各子脈沖跳頻兩兩不同的約束條件，構(gòu)建抗脈內(nèi)切片轉(zhuǎn)發(fā)干擾的FSK-PSK正交波形設(shè)計(jì)優(yōu)化問題模型，進(jìn)行0-1整數(shù)規(guī)劃。將約束條件寫入增廣拉格朗日函數(shù)，通過增廣拉格朗日乘子法將原優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題，對變量求導(dǎo)，采用擬牛頓法求解。

本文通過仿真驗(yàn)證了FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號與簡單形式的PSK信號相比，其子脈沖的自相關(guān)平均旁瓣電平是相當(dāng)?shù)?，但其子脈沖互相關(guān)平均電平比PSK信號顯著降低，用FSK-PSK信號設(shè)計(jì)正交波形能夠提升雷達(dá)的抗干擾性能。在選取合適的加權(quán)值時(shí)，本文設(shè)計(jì)的FSK-PSK復(fù)合調(diào)制信號能夠同時(shí)有效抑制子脈沖的自相關(guān)旁瓣和互相關(guān)電平，并且其子脈沖序列長度越長，性能越好。