李昱珩，馬常陽

（1.華東師范大學數(shù)學科學學院，上海 200241；2.河南大學 國家食用菌加工技術(shù)研發(fā)專業(yè)中心，河南 開封 475004）

隨著人們對食品質(zhì)量關(guān)注、產(chǎn)品信息化追求以及監(jiān)控手段的日益發(fā)展，食品的品質(zhì)和貨架期研究已經(jīng)邁向了精準預測階段，品質(zhì)管理也已由原來的大宗管理逐步向零擔化精準管理轉(zhuǎn)變，時間-溫度指示器（time temperature indicator，TTI）是在這個過程中形成并較為突出的技術(shù)。TTI是一種實時指示食品、藥品等產(chǎn)品質(zhì)量或安全性的智能標簽，通過擴散、聚合、酶反應(yīng)、微生物生長或者電子運算等物理、化學、生物反應(yīng)將時間-溫度歷程累積，并通過標簽的感官特性精確顯示。由于TTI與食品相對獨立，具有安全、便捷的特點，可以大量在食品中應(yīng)用，實現(xiàn)食品品質(zhì)和貨架期指示的精細化。目前已有較多商業(yè)化的TTI品牌，例如Oli-Tec、OnVu、checkpoint、eO、Tempix，TRACEO、Monitor Mark、TT Sensor等，并成功在海產(chǎn)品、鮮肉、乳制品、食用菌、果蔬及疫苗等產(chǎn)品中得到初步應(yīng)用。

TTI類型較多，按照作用機理分為擴散型、聚合反應(yīng)型、化學型、酶型、生物型和光敏型等，匹配方法包括反應(yīng)活化能匹配法、模糊數(shù)學法、相關(guān)性評價法、時間溫度容許度（time temperature tolerance，TTT）方法和等量線匹配法等多種方法，但TTI與被監(jiān)測對象的匹配過程大多基于同一數(shù)學模型和參數(shù)的前提進行。根據(jù)文獻分析可知，雖然大多數(shù)與食品質(zhì)量有關(guān)的物理、化學、微生物和感官指標等變化都遵循零級或一級反應(yīng)動力學規(guī)律，但也有研究證實Baranyi & Roberts、Gompertz、Logistic、Monod模型等更適合預測微生物生長過程，其二級方程及對應(yīng)參數(shù)不盡相同，因此建立一種通用型匹配方法實現(xiàn)不同類型TTI與品質(zhì)指標的跨模型匹配是提高TTI匹配精度的有效手段。

鑒于等量線方法的直觀性和兼容性及其在反應(yīng)動力學領(lǐng)域的研究基礎(chǔ)，本研究以等量線方法為出發(fā)點，分析不同模型間的共同規(guī)律，以期為TTI與被監(jiān)測對象的跨模型精準匹配提供理論基礎(chǔ)和應(yīng)用策略。

1 理論方法與假設(shè)

1.1 理論基礎(chǔ)

按照等量線方法，若TTI和被監(jiān)測食品同時服從化學反應(yīng)動力學模型時，可以通過二者等量線的重疊情況評價二者匹配效果，本研究嘗試將微生物模型納入其中，由此實現(xiàn)化學反應(yīng)和微生物生長等模型的跨模型匹配。

1.1.1 恒溫條件下TTI對食品貨架期的指示

圖1中和’分別為在合理溫度范圍內(nèi)任意兩個溫度，Q和Q分別為貨架期內(nèi)任意品質(zhì)變化片段（-th）的初始品質(zhì)值/響應(yīng)值和結(jié)束品質(zhì)值/響應(yīng)值，而為貨架期終點的品質(zhì)值/響應(yīng)值。3 條等量線分別是研究對象從初始品質(zhì)（）分別變化到Q、Q和所對應(yīng)等量線。圖中t、t、和’、’、’分別是研究對象在和’溫度下到達Q、Q和所對應(yīng)的時間點，而Δt和Δ’是在和’溫度下研究對象從Q變化至Q經(jīng)歷的時間。如圖1所示，等量線是由一系列溫度、時間信息的點組成的線，其坐標信息指示了不同恒溫條件下，研究對象從初始狀態(tài)到達某一特定狀態(tài)（尤其是貨架期終點或響應(yīng)終點狀態(tài)）所需的時間。依據(jù)等量線規(guī)則，若TTI與食品品質(zhì)具有吻合的貨架期/響應(yīng)終點等量線，則二者在任一恒溫過程中，TTI的響應(yīng)時間和食品的貨架期均是相同的，因此TTI可以指示恒溫條件下的食品貨架期。

圖1 基于等量線的不同溫度下的等效轉(zhuǎn)換過程示意圖Fig. 1 Contours of different quality values and equivalent transition ratio between two temperatures

1.1.2 非恒溫條件下TTI對食品貨架期指示

在非恒溫條件下，根據(jù)馬常陽和張虎等的方法，采用等效轉(zhuǎn)換的方式進行分析。首先將非恒溫過程分解成足夠多的片段，每個片段接近于恒溫過程。再將非恒溫過程中的每個恒溫片段進行等效轉(zhuǎn)換。例如將所有（t→t，）的反應(yīng)進度按照一定比例（等效轉(zhuǎn)換參數(shù)（equivalent transition ratio，ETR）、→’、Δt→Δ’）等效轉(zhuǎn)換到同一溫度（’）下，累積后即可形成一個等價于原非恒溫過程的恒溫過程（’→’，’）。在此過程中，若食品和TTI的ETR在各個溫度下均相等，那么二者經(jīng)歷的非恒溫過程等效轉(zhuǎn)換成的恒溫過程也相同，TTI便可指示對應(yīng)的食品品質(zhì)。

基于此，在TTI的響應(yīng)終點等量線和食品的貨架期終點等量線吻合前提下，二者在不同溫度下的ETR是否相等，就成為檢驗TTI能否預測和指示食品貨架期的關(guān)鍵。基于等量線的TTI匹配策略如圖2所示。

圖2 基于等量線的食品與TTI匹配策略圖Fig. 2 Strategies of contour lines for the match of food with TTI

本文基于前期研究基礎(chǔ)，推導等量線重合與ETR的關(guān)系，明確恒溫條件的等量線重合與非恒溫條件下ETR的關(guān)系。

1.2 理論假設(shè)

依據(jù)等量線的規(guī)律，不同溫度下品質(zhì)變化過程可以通過等效方式轉(zhuǎn)換（圖1）。ETR計算如式（1）所示，即任意1 個品質(zhì)變化片段在不同溫度下和’的等效轉(zhuǎn)換率。

式中：Δt和Δ’分別是同一品質(zhì)變化片段在不同溫度下的等效時間。

前期研究證明了0～級化學反應(yīng)動力學方程同時滿足針對某一研究對象的關(guān)鍵品質(zhì)，ETR僅與對應(yīng)轉(zhuǎn)換溫度相關(guān)。若2 個研究對象的等量線重合，可證明二者在對應(yīng)溫度下的ETR是相同的，這就保證了二者從非恒溫過程向恒溫過程轉(zhuǎn)換的一致性。如果其他貨架期模型，尤其是微生物模型也能滿足此規(guī)律，則可以使用等量線方法實現(xiàn)TTI和食品品質(zhì)在化學反應(yīng)和微生物生長模型間的匹配。本研究將從線性、Monod（米氏方程）、Gompertz、Logistic模型和Baranyi & Robert模型進行逐一分析。

2 模型推導與驗證

2.1 化學反應(yīng)動力學模型

一般情況下，多數(shù)農(nóng)產(chǎn)品、食品以及TTI的品質(zhì)指標，包括微生物指標在一定程度均可以使用多級化學反應(yīng)動力學進行分析，具體方程如式（2）及表1所示。

表1 不同反應(yīng)動力學級數(shù)對應(yīng)的品質(zhì)方程f（Q0，Qt）n形式Table 1 Forms of f(Q0, Qt)n for different reaction kinetic orders

式中：（，Q）為級化學反應(yīng)動力學的方程形式；為級數(shù)，其數(shù)值僅為0或正整數(shù)；和Q分別是初始時和時刻的狀態(tài)指標值；（）為以絕對溫度為函數(shù)的品質(zhì)變化速率；為時間。

品質(zhì)變化速率函數(shù)（）可以是線性函數(shù)、冪型函數(shù)、雙曲線函數(shù)、指數(shù)函數(shù)或以e為底的指數(shù)函數(shù)等形式，最常見的是Arrhenius方程，具體形式如式（3）所示。

式中：為反應(yīng)活化能；為氣體常數(shù)（8.314 J/（mol·K））；為速率常數(shù)。

由式（3）可推導出第個品質(zhì)變化片段對應(yīng)的時間Δt（式4）和ETR（式5）。根據(jù)式（5）可知，對于化學反應(yīng)動力學模型而言，ETR只與2 個轉(zhuǎn)換溫度相關(guān)，而與反應(yīng)級數(shù)、品質(zhì)變化片段所處的位置無關(guān)。若令Q和Q分別為和，那么可以推導出ETR即為溫度和’恒溫過程下對應(yīng)貨架期的比值，如式（6）所示。

2.2 微生物生長模型

2.2.1 線性模型

線性模型方程如式（7）～（9）所示。

式中：為時間；N、N分別為貨架期內(nèi)任意1 個品質(zhì)變化片段（-th）開始時微生物數(shù)量和結(jié)束時微生物數(shù)量；、N分別為初始微生物數(shù)量和時刻的微生物數(shù)量；和’分別為溫度和’下的微生物增長速率。

由推導結(jié)果式（9）可知，ETR與不同溫度下的微生物生長速率密切相關(guān)，與該研究區(qū)段所處位置和區(qū)段大小無關(guān)。再根據(jù)二級預測生物學模型可確定，在熱動力學方程中，ETR僅與溫度相關(guān)，此處不再贅述。

2.2.2 Monod模型

Monod模型方程如式（10）～（12）所示。

式中：為最大生長速率；為半飽和常數(shù)；為限制性基質(zhì)濃度。

由推導結(jié)果可知，線性模型的微生物增長速率是常數(shù)，等于最大增長速率，所以Monod模型的ETR與線性模型結(jié)果相同，Monod模型中ETR也僅與不同溫度下的微生物生長速率相關(guān)。

同理可得Logistic、Gompertz模型和Baranyi & Roberts模型中ETR對應(yīng)于微生物生長速率的方程，具體推導結(jié)果如2.2.3節(jié)至2.2.5節(jié)所示。

2.2.3 Logistic模型

Logistic模型方程如式（13）～（15）所示。

式中：為該條件下最大微生物數(shù)量；為微生物生長延滯時間。

2.2.4 Gompertz模型

Gompertz模型方程如式（16）～（18）所示。

2.2.5 Baranyi & Roberts模型

Baranyi & Roberts模型方程如式（19）～（22）所示。

由上述公式推導可知，線性、Logistic、Monod、Gompertz、Baranyi & Roberts模型均得到相同結(jié)果，即ETR＝’/，在熱動力學研究框架內(nèi)，只與溫度相關(guān)。若將N設(shè)置為貨架期終點的微生物數(shù)量，N為，那么ETR即為對應(yīng)溫度下（與’）貨架期的比值，不會隨品質(zhì)變化而變化。

結(jié)合1.2節(jié)假設(shè)，若TTI和被監(jiān)測產(chǎn)品的等量線重合，那么二者不僅在各恒溫下的貨架期相同，且可推導出二者在對應(yīng)溫度下的轉(zhuǎn)換比例ETR也相同，即可保證二者從任意非恒溫過程向恒溫過程的轉(zhuǎn)換一致，即在非恒溫過程中TTI同樣可以指示被監(jiān)測產(chǎn)品的貨架期。

3 案例分析

為了驗證本理論的可靠性，本部分采用實例對一級化學反應(yīng)動力學模型和Baranyi & Roberts微生物模型進行闡述。

3.1 一級化學反應(yīng)動力學模型在ETR上的穩(wěn)定性

根據(jù)前期對‘玫瑰香’葡萄硬度的研究，得到對應(yīng)的熱動力學方程參數(shù)：＝63.54 kJ/mol、＝8.314 J/（mol·K）、＝24.14、＝9.21 N、＝2.21 N，由此得到‘玫瑰香’葡萄在-4、0、10 ℃和20 ℃的硬度變化規(guī)律，如圖3所示。

圖3 不同溫度下‘玫瑰香’葡萄硬度變化趨勢Fig. 3 Change in firmness of Muscat grape at different temperatures

將溫度下‘玫瑰香’葡萄硬度從2 N變化到4 N和4 N變化到6 N所需時間分別設(shè)定為Δ和Δ，在4 個對應(yīng)溫度下的Δ和Δ以及貨架期如表2所示。不同溫度下對應(yīng)Δ或Δ的比值ETR如表3所示。

表2 葡萄硬度在不同溫度下經(jīng)歷相同恒溫片段變化所需的時間Table 2 Equivalent duration of each interval at different temperatures of grape hardness

表3 一級化學反應(yīng)動力模型中不同溫度間的ETRTable 3 ETR between different temperatures of chemical kinetic model

盡管表3中各ETR是經(jīng)表2中不同溫度下對應(yīng)Δ或Δ的比值計算得到，但ETR適用于對應(yīng)溫度下任何長度恒溫片段的等效轉(zhuǎn)換，也等于對應(yīng)溫度下貨架期的比值。同理，等量線可以得到任意2 個合理溫度下的ETR，用于對應(yīng)溫度下等效轉(zhuǎn)換。

3.2 Baranyi & Roberts微生物模型在ETR上的穩(wěn)定性

由羅非魚微生物生長動力學模型可知：＝5.12（lg（CFU/g））、＝20.12（lg（CFU/g））、b＝0.008 9 h、＝-0.112 ℃、e＝2.718、＝0.085 9、＝1.71。其中為速率常數(shù)，為微生物狀態(tài)參數(shù)，b和為平方根二級模型中的參數(shù)，貨架期終點根據(jù)國際食品微生物標準委員會的報道定為7（lg（CFU/g））。由此可模擬不同溫度下羅非魚中微生物數(shù)量的增長過程，如圖4所示。

圖4 不同溫度下羅非魚中微生物數(shù)量增長過程Fig. 4 Microbial growth in tilapia at different temperatures

將溫度下羅非魚中微生物數(shù)量變化范圍5～6、6～7（lg（CFU/g））和7～8（lg（CFU/g））所需時間定為Δ、Δ和Δ，其在4 個對應(yīng)溫度下的Δ、Δ和Δ及貨架期如表4所示。根據(jù)表4數(shù)值通過換算得到微生物生長模型中4 個溫度對應(yīng)的ETR，如表5所示。

表4 羅非魚中微生物數(shù)量在不同溫度下經(jīng)歷相同恒溫片段變化所需的時間Table 4 Equivalent duration of each interval at different temperatures of microbial populations in tilapia

表5 Baranyi & Roberts微生物模型中不同溫度間的ETRTable 5 ETR between different temperatures in the Baranyi & Roberts microbial model

盡管表5中各ETR是根據(jù)表4中數(shù)據(jù)計算得到，但ETR適用于任何長度恒溫片段在對應(yīng)溫度下的等效轉(zhuǎn)換，也等于對應(yīng)溫度下貨架期間的比值。同理等量線亦可以得到任意2 個合理溫度下的ETR，由此可用于微生物生長在對應(yīng)溫度下的等效轉(zhuǎn)換。

3.3 不同模型間等量線的相似性

根據(jù)3.1和3.2節(jié)已知的化學反應(yīng)動力學模型和微生物生長模型，可以得到部分品質(zhì)片段在不同溫度下的變化時間以及貨架期終點/響應(yīng)值終點繪制的等量線，二者的品質(zhì)變化與等量線如圖5所示。

圖5 不同溫度下‘玫瑰香’葡萄和羅非魚的品質(zhì)變化過程及對應(yīng)的貨架期終點等量線Fig. 5 Quality changes and corresponding contours of Muscat grape and tilapia at different temperatures

無論是化學反應(yīng)模型還是微生物生長模型，或二者復合模型，都可以依據(jù)貨架期信息形成一個與圖5類似的等量線，即在一般情況下低溫對應(yīng)的貨架期較長而高溫對應(yīng)的貨架期較短。TTI的反應(yīng)機理也大多是依據(jù)酶反應(yīng)、擴散過程、化學反應(yīng)和微生物生長，因此也遵循這一規(guī)律并可以繪制出類似的等量線。每個ETR等于對應(yīng)溫度下的貨架期比值，而不同溫度下的貨架期形成了等量線，因此TTI與被監(jiān)測產(chǎn)品等量線的重合反映二者ETR相等，即可實現(xiàn)二者從任意變溫過程向恒溫過程等效轉(zhuǎn)換的一致性，二者也必然會同時到達反應(yīng)終點。因此，TTI與被監(jiān)測產(chǎn)品的等量線相對位置或其方程的相似性也就成為了二者匹配的關(guān)鍵條件，即二者等量線重合，即可保證TTI對恒溫和變溫條件下被監(jiān)測產(chǎn)品貨架期的準確指示。

4 討 論

反應(yīng)進度概念的引入打破了不同模型間的壁壘，使得任何反應(yīng)過程都可以通過反應(yīng)時間和對應(yīng)條件進行描述。本研究以溫度作為關(guān)鍵條件，不同溫度下反應(yīng)時間的規(guī)律成為了不同模型間匹配的關(guān)鍵所在。目前所研究的大部分研究對象均遵循反應(yīng)動力學模型或微生物生長模型，它們之間具有不同溫度下反應(yīng)時間成比例（即ETR）且穩(wěn)定的特點，使得可以將變溫向恒溫轉(zhuǎn)換，從而以恒溫過程簡單、直觀地分析不同研究對象的品質(zhì)變化。

要實現(xiàn)TTI與被監(jiān)測產(chǎn)品反應(yīng)進度的一致，傳統(tǒng)方法往往使用相同的動力學模型參數(shù)對TTI和被監(jiān)測產(chǎn)品的各自反應(yīng)進行模型擬合，而忽略了模型與反應(yīng)的匹配性。等量線方法從動力學模型出發(fā)，基于多模型的共同規(guī)律實現(xiàn)跨模型的匹配，可降低因模型擬合度不佳而造成的誤差。

如前人研究成果所述，等量線方法雖然是以熱反應(yīng)動力學為基礎(chǔ)而開發(fā)的TTI匹配方法，但該方法可以省略動力學模型的擬合過程，而直接擬合等量線，通過TTI與被監(jiān)測產(chǎn)品等量線的重疊情況判斷匹配效果，相較于傳統(tǒng)方法，過程簡單，降低了技術(shù)成本，可以實現(xiàn)TTI與被監(jiān)測產(chǎn)品之間快速、有效地匹配。

5 結(jié) 論

本研究利用基于等量線的TTI匹配策略，對現(xiàn)有的多級化學反應(yīng)模型和多種微生物生長模型進行驗證，明確了在化學反應(yīng)過程和微生物生長過程中，任一品質(zhì)變化片段在不同溫度下的等效轉(zhuǎn)換時間比例（ETR）是恒定、可計算的，且等于對應(yīng)溫度下貨架期的比值?；诘攘烤€與ETR的關(guān)系，將基于等量線的TTI匹配方法推廣至反應(yīng)動力學模型和微生物生長模型。通過判定TTI與被監(jiān)測食品的等量線重合情況，可以快速實現(xiàn)微生物型、酶型、聚合反應(yīng)型等TTI與基于微生物、感官、理化等關(guān)鍵品質(zhì)指標的匹配。相較于傳統(tǒng)方法，等量線方法更有利于TTI的應(yīng)用和推廣。