陳國良

(江蘇省太倉高級中學(xué) 215411)

深度學(xué)習(xí)是一種基于學(xué)生理解的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者以高階思維的發(fā)展和實際問題的解決為目標(biāo)，以整合的知識為學(xué)習(xí)內(nèi)容，積極主動地、批判性地學(xué)習(xí)新的知識和思想，并將它們?nèi)谌氲揭延械恼J(rèn)知結(jié)構(gòu)中去，并能將已有的知識遷移到新情境解決問題的一種學(xué)習(xí)．課堂提問是師生交流互動的重要方式，也是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的重要手段．正如數(shù)學(xué)家哈爾莫斯所說“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，問題也是數(shù)學(xué)教學(xué)的心臟，從某種程度上講，課堂教學(xué)的成功與否體現(xiàn)在課堂的提問上．但是，當(dāng)前部分教師由于新課程理念的缺失，對學(xué)生的學(xué)情研究不夠以及對教學(xué)內(nèi)容的重難點把握不準(zhǔn)，在教學(xué)中沒有適時提出能促進(jìn)學(xué)生思考的問題，或提出的問題并沒有觸及數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，不能有效地將學(xué)生已有經(jīng)驗與新知識產(chǎn)生聯(lián)結(jié)，加之留給學(xué)生進(jìn)行思考的時間較短，造成學(xué)生對問題的思考往往停留于表層或淺層狀態(tài)，難以達(dá)到深度思考的水平．那么，提出什么樣的問題可以促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)呢？基于深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵特征，筆者認(rèn)為在深度學(xué)習(xí)理念下，能整合關(guān)鍵學(xué)習(xí)內(nèi)容，能激發(fā)學(xué)生深層動機(jī)，能引導(dǎo)學(xué)生自主活動，能推進(jìn)學(xué)生高階思維培育的貫穿整節(jié)課的數(shù)學(xué)任務(wù)或數(shù)學(xué)問題．

1 指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題特征

基于深度學(xué)習(xí)的內(nèi)涵特征，有利于導(dǎo)引深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課堂問題應(yīng)具備以下特征：

(1)本質(zhì)性

指向深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)問題能夠反映數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)通常寓于數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)體系之中，只有從知識體系的整體架構(gòu)上進(jìn)行提問，以結(jié)構(gòu)化的方式引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生在系統(tǒng)思維的指引下解決問題，進(jìn)而感悟數(shù)學(xué)的本質(zhì)．

(2)指向性

強(qiáng)調(diào)問題的指向性，在于深度學(xué)習(xí)的過程需要引導(dǎo)學(xué)生展開方向明確的自主建構(gòu)，尤其是要超越淺層思維的束縛，運(yùn)用指向性明確的問題去培養(yǎng)學(xué)生的反思思維、批判思維、創(chuàng)新思維等高階思維．像“是不是”“對不對”這類問題對學(xué)生的學(xué)習(xí)毫無教學(xué)價值，“大家還記得指數(shù)函數(shù)的定義嗎？”這類問題也只能喚醒學(xué)生大腦中的靜態(tài)知識，無法推進(jìn)學(xué)生自主建構(gòu)，更談不上高階思維的培養(yǎng)了．

(3)層次性

由于一節(jié)課中往往會有一個具有統(tǒng)整性的問題，也就是“大問題”，而大問題往往具有統(tǒng)整性，學(xué)生是很難一步到位進(jìn)行回答的．這就需要教師在教學(xué)中根據(jù)學(xué)情需要，將大問題分解成學(xué)生能夠解決和思考的子問題，子問題間具有一定的層次性，它們之間是遞進(jìn)關(guān)系或平行關(guān)系，當(dāng)學(xué)生解決完這些子問題，大問題就得以解決．

(4)實踐性

學(xué)生學(xué)習(xí)的過程就是進(jìn)行分析、思考與探究等一系列學(xué)科實踐的過程，一個具有實踐性的問題可以引導(dǎo)學(xué)生深度參與、深度思考與深刻反思，整個問題解決的過程就是學(xué)生深度學(xué)習(xí)的過程，就是學(xué)生獲取知識、學(xué)會學(xué)習(xí)并通過反思建構(gòu)自己知識體系的過程．

2 指向深度學(xué)習(xí)的課堂提問策略

當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在知識理解淺層性、思維發(fā)展低階性等問題，如認(rèn)知膚淺，缺少思維支點；知識碎片化，思維不成體系；啟發(fā)泛濫，缺乏思考空間；思考無序，思維水平處于低位．長期以往，學(xué)生將會出現(xiàn)思維固化、懂而不會、會而不精等問題．因此，教師應(yīng)更新教學(xué)理念，改進(jìn)提問方法，從而提高學(xué)生的思維力、學(xué)習(xí)力，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)．

2.1 追本溯源，在知識本質(zhì)處提問

美國數(shù)學(xué)家赫斯說：“問題不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么，如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問題，便永遠(yuǎn)解決不了教學(xué)的爭議．”教師在教學(xué)中應(yīng)注重深度挖掘教材，引導(dǎo)學(xué)生追溯知識的本質(zhì)和內(nèi)核，促進(jìn)學(xué)生由表及里不斷深入理解知識的本質(zhì)．

案例1

點到直線的距離公式．

在幾何中，距離的本質(zhì)是兩個點集中元素之間距離的最小值，這是認(rèn)識所有距離的統(tǒng)一視角，也是揭示距離本質(zhì)的認(rèn)知方向．所以點到直線的距離的本質(zhì)應(yīng)是定點與直線上的任一點之間距離的最小值，由此提出問題：

問題1 點

P

(

x

,

y

)到直線

l

:

Ax

+

By

+

C

=0的距離，實際上是點

P

與直線

l

上的任一動點

Q

之間距離的什么值？學(xué)生受問題啟發(fā)，想到建立函數(shù)研究最小值．根據(jù)兩點間距離公式，可以表示出

PQ

的距離，即接下來，很自然地進(jìn)行消元的操作(消去

y

或

x

)，構(gòu)建出關(guān)于動點>

Q

的橫坐標(biāo)

x

(或縱坐標(biāo)

y

)的函數(shù)

PQ

=或

PQ

=

此時，一些學(xué)生可能會被復(fù)雜的結(jié)構(gòu)“嚇倒”，教師適時地引導(dǎo)學(xué)生思考問題2．

問題2 函數(shù)的最值在圖象左右平移時會發(fā)生改變嗎？

該問題引導(dǎo)學(xué)生從圖象變換的角度來處理函數(shù)的最值，學(xué)生由此問題會想到借助平移變換研究函數(shù)的最小值，從而恰到好處地化解了學(xué)生在處理復(fù)雜結(jié)構(gòu)時的運(yùn)算困難．

記它與函數(shù)的最小值相同．

令

m

=

Ax

+

By

+

C

，則進(jìn)一步有(

A

+

B

)

B

g

(

x

)=[(

A

+

B

)

x

+

Am

]+

B

m

．當(dāng)時，

PQ

取到最小值

上述兩個問題都是引導(dǎo)學(xué)生從知識的本質(zhì)上去進(jìn)行思考，這樣的提問能推動學(xué)生的數(shù)學(xué)思維由低階上升到高階．

2

.

2 前后關(guān)聯(lián)，在最近發(fā)展區(qū)提問

皮亞杰認(rèn)為：隨著學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)的知識越來越多，就應(yīng)該讓他們認(rèn)清所學(xué)知識之間的聯(lián)系，主動構(gòu)建認(rèn)知圖式．深度學(xué)習(xí)意味著聯(lián)系與建構(gòu)，從學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，在最近發(fā)展區(qū)提出新問題，將學(xué)生已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的知識、方法或活動經(jīng)驗作為新知識學(xué)習(xí)的先行組織材料，并能夠通過一些判斷準(zhǔn)則與邏輯依據(jù)將信息組織成一個結(jié)構(gòu)化的體系，形成一種批判性的認(rèn)知建構(gòu)方式與思維方式．教師要認(rèn)真研究教學(xué)內(nèi)容，找到與學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)知識的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生的思維走向縱深．

案例2

平面的方程與研究．問題1 我們知道，平面直角坐標(biāo)系中，方程

x

+

y

=1表示直線．那么，在空間直角坐標(biāo)系中，方程

x

+

y

+

z

=1表示什么圖形呢？已知空間三點

A

(1,0,0),

B

(0,1,0),

C

(0,0,1)，點

P

(

x

,

y

,

z

)是空間任意一點，試探究點

A

,

B

,

C

,

P

共面的充要條件．分析 設(shè)是平面

ABC

的一個法向量，則因為容易驗證=(1,1,1)垂直于和所以是平面

ABC

的一個法向量．由此可得

P

∈平面

ABC

?直線

AP

?平面

ABC

?因此，

x

+

y

+

z

=1是平面

ABC

上的點滿足的條件，即平面

ABC

的方程．(用數(shù)學(xué)的思維方式分析問題)

問題2 請你仿照上面過程：

(1)求過點

A

(

a

,0,0),

B

(0,

b

,0),

C

(0,0,

c

)的平面

ABC

的方程，其中

a

,

b

,

c

均是不等于0的常數(shù)．(2)已知=(

A

,

B

,

C

)是平面

α

的一個法向量，且平面

α

經(jīng)過點

P

(

x

,

y

,

z

)，試求平面

α

的方程．(3)已知平面

α

的方程為

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=0，證明(

A

,

B

,

C

)是平面

α

的法向量．(4)求證：點

P

(

x

,

y

,

z

)到

Ax

+

By

+

Cz

+

D

=0的距離為

整個過程從學(xué)生已有直線的方程出發(fā)逐步伸展到平面、平面的方程、向量研究平面的方程、點到平面的距離公式等維度，學(xué)生從理解、運(yùn)用到分析、探究，經(jīng)歷了深度學(xué)習(xí)，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)思維的深刻性，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程也呈現(xiàn)出生長性．

2

.

3 質(zhì)疑引思，在探究實踐處提問

思維往往從疑問開始的，在教學(xué)中，教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生對情境中的數(shù)學(xué)信息進(jìn)行充分的觀察、提取、概括，并聯(lián)系已有知識經(jīng)驗進(jìn)行聯(lián)想、加工，從而使他們產(chǎn)生疑惑，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)和提出問題．質(zhì)疑可以是生生互相質(zhì)疑，也可以是師生互相質(zhì)疑，關(guān)鍵是要能夠引領(lǐng)學(xué)生深度地思考．

案例3

研究直線族(1-

t

)

x

+2

ty

-2=0(

t

∈

R

)的包絡(luò)線．

為了準(zhǔn)確認(rèn)識直線族的包絡(luò)線，可以提出以下問題：

問題1 直線

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-2=0(

t

∈

R

)有什么與眾不同之處嗎？學(xué)生會帶著這樣的問題去思考，怎么會有不同之處？這個不同之處是怎么產(chǎn)生的呢？必然注意到參數(shù)

t

，通過取一些

t

將這些直線畫出來形成最初的感性認(rèn)識．為了幫助他們形成理性認(rèn)識，進(jìn)一步地提出問題2．問題2 你會求點

P

(1,0)到直線

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-2=0(

t

∈

R

)的距離嗎？學(xué)生根據(jù)點到直線的距離公式可迅速求出點

P

到直線

l

的距離這一問題指向性十分明確，學(xué)生完成起來相對輕松，也會質(zhì)疑——為何要提出這個問題？此時，教師可以繼續(xù)提出指向性很明確的探究型問題．問題3 是否存在定點

P

(

m

,

n

)到直線

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-2

t

-4=0(

t

∈

R

)的距離為定值？同樣地，學(xué)生運(yùn)用點到直線的距離公式可表示出距離

d

關(guān)于

t

的函數(shù)，即進(jìn)一步啟發(fā)：要使

d

為常數(shù)，必須滿足什么條件？引導(dǎo)學(xué)生觀察結(jié)構(gòu)，思考恒等，進(jìn)而得出：當(dāng)且僅當(dāng)

m

=2,

n

=1時，

d

=2．

在上述問題的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上，數(shù)學(xué)直覺思維好的學(xué)生能夠猜出該直線族的包絡(luò)線是圓，此時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生換一個視角去探究．

問題4 曲線

C

是直線族

l

:(1-

t

)

x

+2

ty

-4

t

-6=0(

t

∈

R

)的包絡(luò)線，求曲線

C

的周長．令

t

=tan

θ

，則直線族(1-

t

)

x

+2

ty

-4

t

-6=0(

t

∈

R

)變形為(

x

- 3)cos 2

θ

+(

y

-2)sin 2

θ

=3，易知曲線

C

即為以(3,2)為圓心、3為半徑的圓．

不難看到，在這個問題解決的過程中，通過問題1和問題2讓學(xué)生不斷地質(zhì)疑，在質(zhì)疑中形成最初的感性認(rèn)識，逐步上升至對問題本質(zhì)的理解——恒等式．問題3超越了問題2的靜態(tài)表達(dá)的淺層認(rèn)知，而是引導(dǎo)學(xué)生在已明確的對象中探尋“動中求定”的奧秘，這是一種高階思維，而問題4則是在已有成果基礎(chǔ)上進(jìn)行的深度探究．在課堂上，提出層次鮮明的問題，可以很好地調(diào)動所有學(xué)生主動參與的積極性，有了主動參與就可能發(fā)生深度參與，進(jìn)而發(fā)生深度學(xué)習(xí)．

2

.

4 多維思考，在思維進(jìn)階處提問

深度學(xué)習(xí)意味著遷移與應(yīng)用，發(fā)散思維具有多向性、變異性、獨(dú)特性的特點，即思考問題時注重多途徑、多方案地去思考，解決問題注重舉一反三，觸類旁通．在課堂上，為了讓學(xué)生運(yùn)用不同的知識和方法從不同角度解決同一問題，或?qū)τ诮o出已知條件得出不同結(jié)論而合理創(chuàng)設(shè)問題情境．通過一題多變、一題多問等方式，來引導(dǎo)學(xué)生多維思考，促進(jìn)思維有效進(jìn)階．

案例4

b

g糖水中含糖量為

a

g，現(xiàn)加入

m

g糖，糖水的味道會變得越來越甜．

問題1 能將問題中的不等關(guān)系寫成不等式嗎？

這是學(xué)生比較熟悉的“糖水不等式

如果僅僅這樣就題論題，就大大弱化了它的教學(xué)功能．可進(jìn)一步發(fā)散成問題2．

問題2

b

g糖水中含糖量為

a

g，現(xiàn)加入

m

g水，糖水的味道會變淡，請把此數(shù)量關(guān)系寫成不等式．

一些學(xué)生受前面影響，不自覺地寫成這顯然是不對的，隨即找錯，得出在這一過程中，學(xué)生經(jīng)歷了探索、質(zhì)疑、激疑、釋疑．在學(xué)生思維漸趨平穩(wěn)時，再給出問題3．

問題3

b

g克糖水中含糖量為

a

g，若

m

>0，則不等式表示什么？

這是一個逆向問題，離開了具體情境，它表示什么？這是從抽象到具體的逆向思維，問題沒有固定的答案．在上述問題1～3的過程中，學(xué)生經(jīng)歷了由具體到抽象、由抽象到具體的雙向表征的過程．

問題4 你能根據(jù)上述問題編制一個相關(guān)命題嗎？

問題4的出現(xiàn)給學(xué)生的思維提供了一個廣 闊的空間，其中交織著學(xué)生相互之間的討論、 交流、辨析等思維活動，學(xué)生在問題導(dǎo)向下進(jìn)行 思考與探索，真正實現(xiàn)了主動地思考，促進(jìn)了深度學(xué)習(xí)．

3 結(jié)束語

課堂是教學(xué)的主陣地、主渠道，通過恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)課堂問題設(shè)計，能實現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從知識主線到問題主線、從問題主線到思維主線的轉(zhuǎn)變，把學(xué)生在知識獲得中學(xué)習(xí)知識轉(zhuǎn)變?yōu)樵趩栴}解決中學(xué)習(xí)知識．這既是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)賴以發(fā)生的孵化器，更是數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)得以維持的助推器．教師要研究課標(biāo)、研究教材、研究學(xué)生，深度挖掘教學(xué)內(nèi)容的教育價值，設(shè)計具有思維空間的挑戰(zhàn)性的問題，主要以問題鏈的形式在課堂教學(xué)中適時呈現(xiàn)，提升學(xué)生的高階思維能力和思維品質(zhì)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)在課堂教學(xué)中真實發(fā)生．