陳彥光

(北京大學(xué) 城市與環(huán)境學(xué)院 城市與經(jīng)濟(jì)地理系， 北京 100871)

0 引言

科學(xué)研究始于描述，成于理解。只有采用適當(dāng)?shù)姆椒ㄓ行枋鲆粋€(gè)系統(tǒng)，才能真正理解它的運(yùn)行機(jī)理。城市是復(fù)雜空間系統(tǒng)，如何有效描述城市現(xiàn)象，從而理解其演化規(guī)律，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)城市的規(guī)劃和管理，一直是城市地理學(xué)家關(guān)心的難題。復(fù)雜系統(tǒng)都具有非線性特征，從而具有反直觀性質(zhì)，單純地定性描述不能滿足深入研究的需求，需要采用定量和定性相互結(jié)合的方法進(jìn)行刻畫。然而，并非有了數(shù)學(xué)方法就可以恰如其分地描述城市的一種現(xiàn)象或者行為。實(shí)際上，城市地理現(xiàn)象分為兩大類別：一是有特征尺度，可以采用通常的數(shù)學(xué)方法描述和分析；二是無特征尺度，不能采用通常的數(shù)學(xué)方法建模和分析，需要代之以標(biāo)度分析[1]。地理學(xué)計(jì)量革命之后的理論革命之所以受挫，障礙之一在于，在當(dāng)時(shí)的條件下，無法區(qū)分特征尺度分析和標(biāo)度分析。所有標(biāo)度性質(zhì)的復(fù)雜地理現(xiàn)象都被當(dāng)作有特征尺度的簡(jiǎn)單地理現(xiàn)象處理，從而解釋不準(zhǔn)確，預(yù)測(cè)不可靠。

在沒有特征尺度的情況下，需要代之以標(biāo)度思想。標(biāo)度問題和標(biāo)度分析在城市地理研究中由來已久。著名的距離衰減律、位序-規(guī)模律和異速生長(zhǎng)律都與標(biāo)度有關(guān)。標(biāo)度是當(dāng)今科學(xué)理論研究的熱點(diǎn)之一，近年來各個(gè)領(lǐng)域都在關(guān)注標(biāo)度，地理學(xué)家、物理學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家都在研究城市標(biāo)度問題[2-4]。作者長(zhǎng)期從分形、位序-規(guī)模分布和異速生長(zhǎng)的角度研究城市標(biāo)度問題，對(duì)這一領(lǐng)域的來龍去脈比較熟悉，故撰此文，對(duì)城市標(biāo)度研究的來龍去脈做一個(gè)概略性論述。

1 城市標(biāo)度起源和本質(zhì)

1.1 起源和本質(zhì)

城市標(biāo)度問題起源于地理空間測(cè)量。要想研究一個(gè)現(xiàn)象，首先得描述其基本特征。要進(jìn)行準(zhǔn)確的描述，就得明確一些測(cè)度：長(zhǎng)度、面積、體積、重量、密度，如此等等[5]。TAYLOR[6]在其《地理學(xué)中的定量方法》一書中指出：“測(cè)度是數(shù)學(xué)和經(jīng)驗(yàn)研究聯(lián)系的橋梁。”在各種測(cè)度中，一維測(cè)度——長(zhǎng)度——屬于基本測(cè)度，從而最為重要。然而，地理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，地理系統(tǒng)中的長(zhǎng)度測(cè)量并非輕而易舉。恰恰相反，許多地理線的長(zhǎng)度，包括河流、山脊線、海岸線、國境線、城市邊界線，無法獲得確定的數(shù)值。其中最早引起地理學(xué)家注意的是河流“長(zhǎng)度之謎(conundrum of length)”：不同機(jī)構(gòu)給出的同一條河流的長(zhǎng)度數(shù)據(jù)往往有顯著差別，人們稱之為“Steinhaus佯謬(paradox)”[7]。1960年代，美國密歇根數(shù)量地理學(xué)家校際共同體(Michigan Inter-University Community of Mathematical Geographers,CMG)著手調(diào)研地理空間的長(zhǎng)度之謎以及與此相關(guān)的學(xué)術(shù)問題。調(diào)查工作完成之后，NYSTUEN[8]于1966年撰寫了一篇題為“邊界形狀效應(yīng)和局部凸性概念”的文章，該文指出：對(duì)于地理現(xiàn)象，長(zhǎng)度的測(cè)算依賴于尺度?；诤０毒€的長(zhǎng)度的尺度依賴性，MANDELBROT[9-10]提出了分維概念，進(jìn)而發(fā)展了分形理論。分形是一種典型的標(biāo)度現(xiàn)象，其本質(zhì)是伸縮對(duì)稱性的發(fā)現(xiàn)[10]。

在城市地理研究中，經(jīng)常可見測(cè)量結(jié)果依賴于尺度的現(xiàn)象。城市周長(zhǎng)、城區(qū)建筑面積、城市交通網(wǎng)絡(luò)長(zhǎng)度，諸如此類，都存在尺度依賴性[11-12]。近年來地理學(xué)家的一個(gè)熱門話題是可變地域單元問題(modifiable areal unit problem, MAUP)。所謂MAUP，是指空間計(jì)量的地域單元大小的改變，會(huì)顯著影響統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算結(jié)果，嚴(yán)重時(shí)會(huì)影響統(tǒng)計(jì)推斷結(jié)論的有效性[13-15]。今天看來，MAUP的本質(zhì)在于地理分布的無尺度性，MAUP其實(shí)也就是空間分析的尺度依賴性[16]。

標(biāo)度本質(zhì)上是數(shù)學(xué)中的變換不變性，可以視為一種數(shù)學(xué)方法，這種數(shù)學(xué)方法在城市研究中又表現(xiàn)為一種地理規(guī)律。對(duì)于任何科學(xué)研究，數(shù)學(xué)工具都有兩種功能：一是構(gòu)建假設(shè)、建立模型、發(fā)展理論的工具(數(shù)學(xué)建模)，二是觀測(cè)數(shù)據(jù)的整理手段(統(tǒng)計(jì)分析)。標(biāo)度分析用于城市研究，也有兩種功能：一是構(gòu)建假設(shè)建立理論模型，二是整理實(shí)驗(yàn)與觀測(cè)數(shù)據(jù)，發(fā)展經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?表1)。英國伯明翰大學(xué)地理學(xué)者M(jìn)OSS[17]曾經(jīng)指出，地理學(xué)家過去過于重視數(shù)學(xué)的第二種功能的發(fā)揮(整理觀測(cè)數(shù)據(jù))，而不太重視第一種功能(假設(shè)、建模、發(fā)展理論)[18]，從而地理學(xué)的計(jì)量革命沒有達(dá)到預(yù)期的效果。從目前的研究成果看來，城市研究中大多是標(biāo)度現(xiàn)象的冪律分析，本質(zhì)上屬于數(shù)據(jù)整理。只有在第二個(gè)功能方面打開局面，即基于城市標(biāo)度思想，構(gòu)建假設(shè)、建立模型，才能為發(fā)展城市地理學(xué)理論做出力所能及的貢獻(xiàn)。

表1 城市標(biāo)度分析的兩種功能：理論研究中的數(shù)學(xué)建模和經(jīng)驗(yàn)研究中的觀測(cè)數(shù)據(jù)整理Tab. 1 Two functions of urban scaling analysis: Mathematical modeling in theoretical research and data processing in empirical research

1.2 城市地理學(xué)中的經(jīng)典標(biāo)度律

就城市地理研究而言，特征尺度分析和標(biāo)度分析一直交織在一起，只不過是在標(biāo)度概念和理論產(chǎn)生之前，人們沒有注意二者的聯(lián)系和區(qū)別。城市研究中最顯著的三個(gè)規(guī)律：距離衰減律(誕生于1895年乃至更早)、位序-規(guī)模律(誕生于1913年)和異速生長(zhǎng)律(誕生于1956年)都與標(biāo)度有關(guān)。著名的中心地理論模型則隱含著距離衰減律、位序-規(guī)模律和異速生長(zhǎng)律。TOBLER[19-20]的地理學(xué)第一定律，本質(zhì)上是一個(gè)空間標(biāo)度問題。在各種經(jīng)典地理數(shù)學(xué)模型中，基于標(biāo)度的模型出現(xiàn)的概率大于基于特征尺度的模型出現(xiàn)的概率。如果兩種模型同時(shí)出現(xiàn)，一般基于標(biāo)度的模型影響深遠(yuǎn)，而基于特征尺度的模型則知者不多。出現(xiàn)這種局面的原因如下：第一，地理現(xiàn)象和過程原本包括有特征尺度和無特征尺度兩個(gè)方面[16]；第二，地理過程的有尺度分布和無尺度分布在一定條件下可能相互轉(zhuǎn)化[11, 21]；第三，考察的地理尺度不同，或者發(fā)展階段不同，數(shù)學(xué)規(guī)律不盡一致[11,22]。上述事實(shí)說明，在城市地理學(xué)中，從傳統(tǒng)的經(jīng)典模型，到前沿的復(fù)雜問題，存在一系列基礎(chǔ)問題值得深入探索。

2 城市研究中的標(biāo)度

2.1 地理研究的兩個(gè)環(huán)節(jié)：從描述到理解

描述是分析的基礎(chǔ)，理解是解釋的前提。故所有的科學(xué)研究都包括兩個(gè)環(huán)節(jié)：描述和理解[23-24]。有了適當(dāng)?shù)拿枋?，才能解釋和預(yù)言(表2)。城市系統(tǒng)是復(fù)雜空間系統(tǒng)。復(fù)雜系統(tǒng)的基本性質(zhì)之一是沒有特征尺度，無法采用常規(guī)的數(shù)學(xué)方法描述和分析。要想有效解決無特征尺度系統(tǒng)的問題，必須借助標(biāo)度分析方法。標(biāo)度之所以成為科學(xué)界普遍關(guān)心的熱點(diǎn)問題，是科學(xué)家已經(jīng)認(rèn)識(shí)到，常規(guī)的科學(xué)描述方法對(duì)于復(fù)雜系統(tǒng)效果有限。城市地理學(xué)家之所以重視標(biāo)度，是因?yàn)槌鞘邢到y(tǒng)涉及空間復(fù)雜性[25]。研究城市標(biāo)度問題，至少具有如下學(xué)術(shù)意義：其一，對(duì)城市不同方面的基本屬性進(jìn)行分類，以便于采用適當(dāng)?shù)姆椒?，有針?duì)性地解決城市問題；其二，揭示城市地理系統(tǒng)中的標(biāo)度規(guī)律；其三，基于無特征尺度的思想，發(fā)展城市地理學(xué)的描述和分析方法。

表2 科學(xué)研究的兩個(gè)環(huán)節(jié)：描述和理解Tab. 2 Two links of scientific research: Description and understanding

2.2 常規(guī)描述的前提：特征尺度

對(duì)于常規(guī)的地理數(shù)學(xué)方法而言，描述的前提是找到地理系統(tǒng)的特征尺度。所謂特征尺度(characteristic scale)，就是一個(gè)系統(tǒng)的某種典型尺度。這種典型尺度在幾何和微積分中表現(xiàn)為確定的半徑、邊長(zhǎng)等，在線性代數(shù)中表現(xiàn)為確定的特征值(根)，在概率論與統(tǒng)計(jì)學(xué)表現(xiàn)為確定的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。由于特征尺度通常用1維測(cè)度表示，故 文獻(xiàn)中稱之為特征長(zhǎng)度(characteristic length)[26-29]。有特征尺度的地理系統(tǒng)，基本特征是測(cè)量不依賴于尺度，從而有確定的長(zhǎng)度、面積、體積、密度等測(cè)度，概率分布為中庸型，或者可以轉(zhuǎn)換為中庸型——中間高、兩頭低的單峰曲線；無特征尺度的地理系統(tǒng)，基本特征相反，測(cè)量依賴于尺度，找不到確定的長(zhǎng)度、面積、體積、密度，概率分布為極端型的長(zhǎng)尾分布：一端短高而少，另一端低長(zhǎng)而多[16]。

利用平均值和標(biāo)準(zhǔn)差可以對(duì)有特征尺度的現(xiàn)象進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，然而，平均值和標(biāo)準(zhǔn)差無法預(yù)測(cè)無尺度現(xiàn)象。人類身高服從正態(tài)分布，有特征尺度。95%的人的身高在平均值加、減二倍標(biāo)準(zhǔn)差范圍之內(nèi)；身高大于平均值2倍的人現(xiàn)實(shí)中找不到。但是，城市不然。如果城市規(guī)模分布服從Zipf定律，那么具有標(biāo)度性質(zhì)，規(guī)模大于平均值2倍乃至4倍、8倍、16倍的城市毫不奇怪。根據(jù)基于中國六普數(shù)據(jù)的城市規(guī)模處理結(jié)果，中國654個(gè)城市的平均市人口規(guī)模是61.3萬人，上海市人口是1 764.1萬人，最大城市人口相當(dāng)于平均值的28.8倍左右。實(shí)際上，中國的城市絕對(duì)不止這654個(gè)，否則2010年中國全部城鎮(zhèn)人口占據(jù)總?cè)丝诘谋戎刂挥?5.5%，不可能達(dá)到49.68%?？紤]到許多縣城沒有得到官方認(rèn)證，從而缺乏公開普查數(shù)據(jù)，這個(gè)倍數(shù)就不知道有多大了。這意味，采用統(tǒng)計(jì)學(xué)中基于平均值和標(biāo)準(zhǔn)差的常規(guī)方法，不可能預(yù)見一個(gè)陌生城市的人口規(guī)模。

2.3 復(fù)雜空間系統(tǒng)的描述方法：標(biāo)度

標(biāo)度是描述和理解復(fù)雜系統(tǒng)的有效途徑。城市是復(fù)雜空間系統(tǒng)[1, 30-33]。復(fù)雜系統(tǒng)的基本特性之一是標(biāo)度性質(zhì)，標(biāo)度意味著沒有特征尺度。所謂標(biāo)度，就是對(duì)一個(gè)系統(tǒng)的進(jìn)行尺度縮放，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)不變。換言之，系統(tǒng)的測(cè)度依賴于測(cè)量尺度，但系統(tǒng)的性質(zhì)卻不因尺度改變而發(fā)生變化。地理學(xué)家容易理解標(biāo)度，因?yàn)榘凑找欢ǖ谋壤邔?duì)地圖進(jìn)行縮小和放大的過程，就是一個(gè)標(biāo)度處理過程。這個(gè)比方雖然簡(jiǎn)明易懂，但似乎無助于地理學(xué)家理解標(biāo)度的原理和意義。如果一個(gè)城市地理系統(tǒng)不是標(biāo)度過程，而是有特征尺度，則可以通過改變測(cè)量尺度很快得到收斂的測(cè)量結(jié)果，或者通過反復(fù)測(cè)量，找到有效的測(cè)量均值。但是，如果城市系統(tǒng)是標(biāo)度的，那就無法得到收斂的測(cè)量結(jié)果，或者找到有效的均值。標(biāo)度的數(shù)學(xué)本質(zhì)是尺度伸縮變換的不變性，從數(shù)學(xué)變換的角度理解，才能深入其內(nèi)涵[34]。城市地理學(xué)中有兩個(gè)經(jīng)典的模型，城市人口密度的Clark模型[35]和城市交通網(wǎng)絡(luò)密度分布的Smeed模型[36]，分別作為特征尺度分布和標(biāo)度分布的代表。這兩個(gè)模型有助于我們理解城市地理學(xué)系統(tǒng)的特征尺度和標(biāo)度[37]。

2.4 標(biāo)度與冪律

如果一個(gè)城市地理現(xiàn)象可以建立有效的數(shù)學(xué)模型，則其標(biāo)度性質(zhì)容易鑒別。只要服從標(biāo)度律，就可以判斷該模型具有標(biāo)度性質(zhì)，從而所描述的地理現(xiàn)象具有標(biāo)度過程。經(jīng)驗(yàn)上，科學(xué)家借助冪律識(shí)別標(biāo)度。之所以如此，是因?yàn)閮绾瘮?shù)是反映標(biāo)度關(guān)系的泛函方程式的特解之一[34,37]。標(biāo)度不限于冪律，但在絕大多數(shù)情況下，從標(biāo)度關(guān)系中可以引導(dǎo)出或明或隱的冪律關(guān)系。標(biāo)度起源于測(cè)量的不確定性，表現(xiàn)為測(cè)量結(jié)果的尺度依賴性，數(shù)學(xué)上特征則是測(cè)量過程的尺度不變性，本質(zhì)上則是伸縮對(duì)稱性[38]。改變尺度，測(cè)量結(jié)果不一樣，找不到代表性的測(cè)量結(jié)果，但數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)和反映系統(tǒng)性質(zhì)的標(biāo)度指數(shù)卻是不變的。如果測(cè)量過程隨尺度的變化很快收斂到一個(gè)確定的數(shù)值，則是有特征尺度的，無須標(biāo)度分析。與此對(duì)照，如果測(cè)量過程依賴于尺度，結(jié)果并不收斂，就可以嘗試構(gòu)建測(cè)量尺度與測(cè)量結(jié)果的冪指數(shù)關(guān)系。借助一定的算法，如最小二乘法或者最大似然法，計(jì)算出冪指數(shù)，該指數(shù)代表標(biāo)度指數(shù)。如果要求不太嚴(yán)格，標(biāo)度指數(shù)可以通過尺度和測(cè)度的雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的斜率來估計(jì)。標(biāo)度分析在經(jīng)驗(yàn)上通常就是采用標(biāo)度指數(shù)代替常規(guī)的測(cè)度如長(zhǎng)度、面積、體積、密度等。

3 城市標(biāo)度研究的現(xiàn)狀

3.1 城市標(biāo)度研究的興起

標(biāo)度是目前整個(gè)科學(xué)界普遍關(guān)心的問題，原因在于復(fù)雜性科學(xué)的興起。探索復(fù)雜性，既要應(yīng)用標(biāo)度分析方法，也要解決標(biāo)度本身的問題。復(fù)雜系統(tǒng)之所以復(fù)雜，原因之一在于沒有特征尺度，不能采用常規(guī)的數(shù)學(xué)方法有效描述，從而難以深入理解。標(biāo)度分析提供了描述無尺度現(xiàn)象的新視角，但也引發(fā)一系列的理論和應(yīng)用問題。因此，越來越多的學(xué)者開始基于各自的學(xué)科探索標(biāo)度問題。一方面，揭示各種各樣的標(biāo)度現(xiàn)象，為發(fā)展標(biāo)度分析方法提供根據(jù)；另一方面，通過標(biāo)度方法，的確可以解決許多過去解決不了的現(xiàn)實(shí)問題。

數(shù)學(xué)建模的主線，可以反映科學(xué)重心的轉(zhuǎn)移。有學(xué)者將近現(xiàn)代科學(xué)的理論研究概括為三個(gè)函數(shù)：正態(tài)函數(shù)(Gauss函數(shù))、指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)[39]。前兩個(gè)函數(shù)是特征尺度分析的典型，后一個(gè)則是標(biāo)度描述的標(biāo)志。如前所述，城市是復(fù)雜空間系統(tǒng)，研究城市無法回避空間復(fù)雜性問題[31]。城市地理學(xué)家重視標(biāo)度研究是大勢(shì)所趨。計(jì)量革命時(shí)期，地理學(xué)家發(fā)展了很多城市地理學(xué)模型，但它們的應(yīng)用效果卻令人失望：往往解釋不準(zhǔn)確，預(yù)測(cè)不可靠[40]。究其原因在于，特征尺度與標(biāo)度的混淆。城市理論學(xué)者已經(jīng)認(rèn)識(shí)到：將特征尺度現(xiàn)象與標(biāo)度現(xiàn)象有效區(qū)分，用標(biāo)度思想和方法研究城市中的無特征尺度問題，有特征尺度的現(xiàn)象采用常規(guī)數(shù)學(xué)方法描述，才能避免認(rèn)識(shí)的混亂和研究的誤入歧途。

3.2 城市標(biāo)度研究的主要方向

在城市地理研究中，標(biāo)度研究的文獻(xiàn)越來越多，主要集中在四個(gè)領(lǐng)域：分形現(xiàn)象、位序-規(guī)模分布、異速生長(zhǎng)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。分形、異速生長(zhǎng)和復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的共性在于標(biāo)度律。著名城市理論家BATTY[41]甚至認(rèn)為三者可以集成發(fā)展為解釋城市演化的新理論。位序-規(guī)模分布屬于等級(jí)標(biāo)度，分形研究包括空間標(biāo)度和等級(jí)標(biāo)度，但以空間標(biāo)度為主，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)包括空間標(biāo)度和等級(jí)標(biāo)度，但以等級(jí)標(biāo)度為主；異速標(biāo)度可以從等級(jí)標(biāo)度推導(dǎo)出來。城市分形研究有較多的文獻(xiàn)綜述，下面簡(jiǎn)單論述分形標(biāo)度之外的城市標(biāo)度研究方向。

(1)城市位序-規(guī)模標(biāo)度研究。此類研究源于城市規(guī)模分布的Zipf定律和Pareto分布。城市位序-規(guī)模分布研究可以追溯到1913年的Auerbach模型[42]。Zipf分布是一種長(zhǎng)尾概率分布[43]，屬于功能意義的分形[29, 44]。城市位序-規(guī)模律暗示城市體系具有整潔而又簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)[45]。這個(gè)簡(jiǎn)單的城市規(guī)律，吸引了無數(shù)的城市地理和經(jīng)濟(jì)學(xué)者投入研究[2, 46]。幾乎每年都有相關(guān)的論文發(fā)表。但是，其背后的基本原理依然不夠清楚。21世紀(jì)以來人們從標(biāo)度的角度研究城市位序-規(guī)模分布[3, 41, 47-48]。城市規(guī)模分布可以轉(zhuǎn)換為等級(jí)體系，屬于等級(jí)標(biāo)度問題。

(2)城市異速生長(zhǎng)和異速標(biāo)度關(guān)系研究。此類源于生物器官相對(duì)生長(zhǎng)速度的比例關(guān)系類比，20世紀(jì)50年代由一般系統(tǒng)論創(chuàng)始人BERTALANFFY及其合作者“推送”到城市地理學(xué)[49]。城市地理學(xué)家用異速生長(zhǎng)律研究城市中的各種生長(zhǎng)和分布的比例關(guān)系，包括城市化中的城鄉(xiāng)人口關(guān)系、城市體系中的中心城市與全部城市的關(guān)系、城市人口-城區(qū)面積關(guān)系、城區(qū)面積-城市周長(zhǎng)關(guān)系、城市人口規(guī)模與經(jīng)濟(jì)產(chǎn)出關(guān)系[46,50-55]。雖然異速生長(zhǎng)律在城市應(yīng)用研究中效果較好，但其標(biāo)度指數(shù)無法用歐氏幾何學(xué)的思想解釋，這就引起了理論上的量綱困惑，從而阻礙了它的進(jìn)一步發(fā)展[54]。由于異速標(biāo)度指數(shù)解釋的量綱難題[51]，城市異速生長(zhǎng)研究在地理學(xué)界一度冷落。由于分形和分維概念的引入，異速標(biāo)度指數(shù)的量綱障礙得以解除[4,56]。由于美國圣菲復(fù)雜性研究所(Santa Fe Institute,SFI)當(dāng)年首席科學(xué)家West與城市地理學(xué)家合作[3]，再度復(fù)興了城市問題的異速標(biāo)度研究。如今，在各種城市異速標(biāo)度研究中，最熱門的主題之一是城市規(guī)模與各種投入和產(chǎn)出的關(guān)系。筆者及其合作者很早就著手研究這種關(guān)系[55, 57-59]，但未能引起廣泛關(guān)注。后來，由于西班牙裔學(xué)者BETTENCOURT及其同事將城市規(guī)模-產(chǎn)出異速標(biāo)度模型進(jìn)行精心包裝并在國際頂級(jí)科學(xué)期刊如Science和PNAS發(fā)表論文[60-61]，有關(guān)研究引起地理和城市學(xué)者的廣泛注意。最近常有相關(guān)成果問世[62-66]，但有關(guān)研究也引起新的困惑[67]。科學(xué)發(fā)展就是這樣：既然出現(xiàn)了新問題，自然會(huì)引發(fā)新研究。

(3)城市復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)度研究。網(wǎng)絡(luò)科學(xué)起源于七橋問題的數(shù)學(xué)抽象。最初人們研究簡(jiǎn)單的隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)。小世界概念提出以后，有關(guān)研究開始接近復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)問題。20世紀(jì)末期，由于計(jì)算機(jī)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的發(fā)展、復(fù)雜性科學(xué)的興起以及學(xué)科之間的交叉與滲透，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究涌現(xiàn)出來，形成所謂網(wǎng)絡(luò)新科學(xué)[68]，并且一開始就與標(biāo)度問題產(chǎn)生關(guān)聯(lián)[69-70]。由于地理世界既存在簡(jiǎn)單網(wǎng)絡(luò)又存在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)[71]，地理學(xué)家將網(wǎng)絡(luò)引入城市研究自然而然[72]。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在標(biāo)度問題上與分形和異速生長(zhǎng)產(chǎn)生聯(lián)系。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)包括無尺度網(wǎng)絡(luò)和等級(jí)網(wǎng)絡(luò)，前者是一種具有標(biāo)度性質(zhì)的網(wǎng)絡(luò)，后者則不僅具有標(biāo)度性質(zhì)，而且具有分形結(jié)構(gòu)——等級(jí)網(wǎng)絡(luò)的標(biāo)度指數(shù)等于分維加上1。網(wǎng)絡(luò)新科學(xué)與分形幾何學(xué)、異速生長(zhǎng)理論交叉激發(fā)了城市新科學(xué)探索[41]。英國UCL的高級(jí)空間分析中心的研究團(tuán)隊(duì)研究了倫敦城市內(nèi)部的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和分形性質(zhì)[73]。

(4)城市空間分布和結(jié)構(gòu)的標(biāo)度研究?？臻g維度是數(shù)學(xué)建模的難題之一[74]。但空間是城市地理研究的核心概念，地理學(xué)家最感興趣，也無法回避。標(biāo)度為城市地理空間建模提供了新途徑。然而，早年基于負(fù)冪律距離衰減的經(jīng)典研究，包括空間擴(kuò)散、引力、空間相互作用，都是空間標(biāo)度問題。分形城市研究興起后，標(biāo)度概念便引人注意[1, 11,75-77]。分形城市研究大部分屬于空間標(biāo)度問題，少部分屬于等級(jí)標(biāo)度。分形研究可以劃歸標(biāo)度范疇，但反之未必：標(biāo)度研究不一定屬于分形研究。相對(duì)于分形概念，標(biāo)度概念的內(nèi)涵更小，從而外延更大。人口空間活動(dòng)、技術(shù)擴(kuò)散等等，都發(fā)現(xiàn)標(biāo)度現(xiàn)象[39,78-79]，而類似的規(guī)律在城市研究中屢見不鮮[80]。中心地理論模型中，也發(fā)現(xiàn)新的標(biāo)度現(xiàn)象[81]。

3.3 城市標(biāo)度研究的問題

城市標(biāo)度研究取得了可喜的成績(jī)，但也存在不少問題，主要問題表現(xiàn)在如下方面。其一，標(biāo)度的過度識(shí)別。早年，特別是計(jì)量革命時(shí)期，在地理學(xué)家認(rèn)識(shí)到標(biāo)度律之前，地理學(xué)現(xiàn)象都被當(dāng)作有特征尺度的現(xiàn)象進(jìn)行描述和理解，這就不免引起解釋和預(yù)測(cè)的失誤。新世紀(jì)標(biāo)度分析興起，又導(dǎo)致另一個(gè)極端，那就是冪律的過度識(shí)別：許多不是標(biāo)度的現(xiàn)象也被當(dāng)作標(biāo)度問題了。探索城市標(biāo)度，澄清問題，規(guī)范方法，學(xué)科理論建設(shè)和應(yīng)用研究才能順利發(fā)展。其二，基于標(biāo)度的理論建模研究不夠。標(biāo)度分析涉及基于尺度的數(shù)學(xué)變換。如前所述，如同其他數(shù)學(xué)方法一樣，用于城市研究，具有兩種功能：一是構(gòu)建假設(shè)、建立模型、發(fā)展理論;二是整理觀測(cè)或者模擬實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。對(duì)于地理學(xué)科建設(shè)而言，第一種功能比第二種功能更為重要[17]。但是，從發(fā)表的論文看來，大多數(shù)城市標(biāo)度研究屬于第二類——數(shù)據(jù)整理，而在理論模型建設(shè)方面做得不夠深入。其三，研究方法與參數(shù)估計(jì)困惑。主要的難題在于，采用不同口徑的變量，或者不同范圍的研究區(qū)，計(jì)算的異速標(biāo)度指數(shù)不盡一致：有時(shí)大于1，有時(shí)則小于1，地理意義截然不同[66-67]。這類問題不解決，對(duì)標(biāo)度在城市研究中的應(yīng)用會(huì)有消極影響。其四，不同的研究分支缺乏統(tǒng)一的邏輯框架。城市標(biāo)度研究涉及空間標(biāo)度、等級(jí)標(biāo)度、網(wǎng)絡(luò)標(biāo)度、異速標(biāo)度等等。這些標(biāo)度現(xiàn)象存在內(nèi)在的深刻聯(lián)系。但是，目前揭示出來邏輯關(guān)系的依然有限。

不論怎樣，標(biāo)度代表城市描述的新思維。標(biāo)度分析的有力數(shù)學(xué)工具是分形幾何學(xué)，因?yàn)榉中蔚谋举|(zhì)就是標(biāo)度對(duì)稱性[38]。城市是復(fù)雜空間系統(tǒng)。復(fù)雜系統(tǒng)的基本性質(zhì)之一是基本結(jié)構(gòu)沒有特征尺度，許多問題不能采用通常的數(shù)學(xué)建模和定量分析方法解決。在這種情況下，借助分形幾何學(xué)之類的方法開展城市標(biāo)度分析是必然選擇。城市標(biāo)度研究的實(shí)證困難在于區(qū)分有無特征尺度，然后有針對(duì)性地選擇空間建模和分析工具。城市標(biāo)度的識(shí)別方法正在發(fā)展之中。具有標(biāo)度性質(zhì)的城市地理現(xiàn)象有如下特征：(1)測(cè)量結(jié)果依賴于測(cè)量尺度，尺度與測(cè)量結(jié)果之間形成某種冪律關(guān)系；(2)分布曲線表現(xiàn)為單邊衰減的長(zhǎng)尾曲線，并且不能轉(zhuǎn)換為單峰凸起的分布曲線；(3)數(shù)學(xué)模型為伸縮變換下的本征函數(shù)，特征參數(shù)則是本征值的函數(shù)；(4)自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都具有拖尾特征，不會(huì)出現(xiàn)截尾現(xiàn)象。

4 結(jié)束語

標(biāo)度分析代表城市數(shù)學(xué)建模和定量分析的新方向。如果一種城市現(xiàn)象具有特征尺度，采用常規(guī)數(shù)學(xué)方法即可奏效；否則，需要借助標(biāo)度分析代替特征尺度分析。本文的要點(diǎn)如下：其一，城市標(biāo)度研究的起源在于空間測(cè)量的尺度依賴性。為了理解一種城市過程，首先要描述相應(yīng)的城市現(xiàn)象，而定量描述基于測(cè)量。但是，復(fù)雜城市系統(tǒng)在許多方面沒有確定的測(cè)量結(jié)果，城市邊界線和交通線的長(zhǎng)度、城區(qū)范圍的建筑用地面積、城市規(guī)模分布的平均值、城市空間關(guān)聯(lián)矩陣的特征根，如此等等，都依賴于尺度。在常規(guī)測(cè)度不確定的情況下，可以借助測(cè)量尺度和相應(yīng)的測(cè)度建立冪律關(guān)系，獲得有效的特征參數(shù)——標(biāo)度指數(shù)。其二，城市標(biāo)度的本質(zhì)在于城市結(jié)構(gòu)的伸縮對(duì)稱性。對(duì)一個(gè)城市結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型在尺度放大或者縮小變換下具有不變性，這種變換下的不變性乃是伸縮對(duì)稱性。伸縮對(duì)稱性意味著自相似性：不同尺度的城市部分具有相同的空間信息。其三，城市標(biāo)度研究的主要方向包括五大領(lǐng)域：一是城市分形標(biāo)度研究，二是城市位序-規(guī)模分布標(biāo)度研究，三是城市異速生長(zhǎng)標(biāo)度研究，四是距離衰減標(biāo)度分析，五是城市網(wǎng)絡(luò)標(biāo)度研究。雖然城市標(biāo)度研究取得了顯著測(cè)成績(jī)，但也暴露出一系列問題，例如標(biāo)度關(guān)系的過度識(shí)別、城市標(biāo)度理論建模研究偏少、標(biāo)度指數(shù)測(cè)算的不確定、不同方向的城市標(biāo)度研究缺乏統(tǒng)一邏輯框架。有問題才有研究發(fā)展的空間。在研究方法具備的前提下，一個(gè)領(lǐng)域的問題越多，科學(xué)研究的前景越是廣闊。