/吳麗瑋

具體可視的數(shù)學(xué)

我女兒五歲時(shí)進(jìn)入新西蘭一所小學(xué)讀一年級(jí)。開(kāi)學(xué)一個(gè)月后，她驕傲地向我宣布：“我在學(xué)校每天都只想學(xué)習(xí)，不想玩。”

我被她的說(shuō)法逗笑了，問(wèn)她為什么?！吧险n的時(shí)候有意思，在外面玩有時(shí)會(huì)想不出玩什么?！?/p>

她口中最好玩的課是數(shù)學(xué)。有一天回來(lái)她跟我說(shuō)，偶數(shù)就是能找到朋友的數(shù)。至于什么是“朋友”，她突然瞇起眼齜牙咧嘴地表演：“擠擠擠擠擠……”兩只手分別把指尖攢在一起，像小雞嘴似的往一塊撞，“兩個(gè)好朋友長(zhǎng)得一模一樣，它們擠擠擠擠擠，擠在一起就是偶數(shù)。”表演完她樂(lè)不可支，補(bǔ)充道，“這是多賓斯小姐教我們的動(dòng)作，我們當(dāng)時(shí)都笑得躺地上了。”

對(duì)于五歲的孩子來(lái)說(shuō)，老師教他們“找朋友”顯然比“能被2整除”要容易理解得多。但怎么知道一個(gè)數(shù)能不能找到一個(gè)一模一樣的“好朋友”呢？這對(duì)他們有點(diǎn)難。

這是一年級(jí)的第三個(gè)學(xué)期。經(jīng)過(guò)了從零開(kāi)始的二十多周學(xué)習(xí)，學(xué)生們已經(jīng)開(kāi)始學(xué)習(xí)跳數(shù)計(jì)數(shù)，兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)，或者十個(gè)十個(gè)地?cái)?shù)。為了能讓他們數(shù)得更熟練，老師會(huì)找一些真人唱兒歌的視頻或者動(dòng)畫(huà)，連續(xù)一星期的數(shù)學(xué)課上大家先要唱著數(shù)一遍。老師也會(huì)發(fā)信給家長(zhǎng)說(shuō)：“雖然我們不鼓勵(lì)去背口訣表，但現(xiàn)在希望孩子們可以快速反應(yīng)出2+2、3+3、4+4、5+5、6+6、7+7、8+8、9+9分別等于幾，同時(shí)也能迅速回答4、6、8、10、12、14、16、18可以分成哪兩個(gè)相等的數(shù)?！痹谶@個(gè)基礎(chǔ)上，才有了奇數(shù)與偶數(shù)的概念，以及“好朋友”的說(shuō)法。

找“好朋友”的方法并不總是奏效。送孩子上學(xué)的路上，我經(jīng)常會(huì)隨口說(shuō)一個(gè)數(shù)，讓她報(bào)出奇偶，結(jié)果常常卡殼。“1、3、5、7、9結(jié)尾是奇數(shù)，2、4、6、8、0結(jié)尾是偶數(shù)?！边@個(gè)簡(jiǎn)便方法我重復(fù)說(shuō)了很多遍，但她依然記不住。

老師似乎看上去并不著急，也并不會(huì)使用死記硬背的方法讓孩子掌握奇偶數(shù)這個(gè)概念，他們?cè)趯W(xué)校依然在各種玩。

比如釣魚(yú)游戲，每個(gè)人拿著帶磁鐵的魚(yú)竿把池子里寫(xiě)著數(shù)字的魚(yú)形紙片釣上來(lái)，再把它們分別放在奇偶數(shù)的框里。我看老師發(fā)來(lái)的視頻，我女兒看著3犯難了，經(jīng)過(guò)旁邊一個(gè)同學(xué)的提醒，她跑去一張百數(shù)表上查詢(xún)。每行十個(gè)數(shù)字，一共十列，奇數(shù)列是黑色，偶數(shù)列是紅色。當(dāng)她跑去查看的時(shí)候，老師夸獎(jiǎng)道，“去查表是很棒的”。

還有一個(gè)“賓果”游戲是全班同學(xué)的摯愛(ài)。在白板上寫(xiě)下四個(gè)數(shù)字，如果跟老師報(bào)出的數(shù)字一致就可以畫(huà)去，全部都畫(huà)掉后就高喊“Bingo”，取得勝利。老師會(huì)在學(xué)習(xí)跳數(shù)、“找朋友”和奇偶數(shù)時(shí)相應(yīng)地變化口令，讓孩子做出識(shí)別。

一年級(jí)的一個(gè)重要任務(wù)是認(rèn)識(shí)位值，一組有順序的數(shù)字里，每一位分別代表什么意思。老師會(huì)使用至少六七種方式讓學(xué)生們認(rèn)識(shí)位值，使用的教具也多極了。比如樂(lè)高塊，一個(gè)兩位數(shù)的數(shù)字，可以用幾個(gè)十個(gè)一組的樂(lè)高塊和幾個(gè)單獨(dú)的樂(lè)高塊來(lái)表示？還可以使用叫“十框”的表格，每排五個(gè)格，把彩色圓片和方片以此填到格子里等等。

在使用教具認(rèn)識(shí)位值的基礎(chǔ)上，加減法的算法更是門(mén)類(lèi)繁多?？梢允褂贸咦有螤畹臄?shù)值軸、樂(lè)高塊、“十框”、百數(shù)表，還可以使用現(xiàn)在時(shí)髦的湊十法，當(dāng)然，扳指頭老師也不會(huì)干涉。

再比如認(rèn)識(shí)平面和立體圖形。老師在教室的各個(gè)區(qū)域分別擺上橡皮泥、透明塑料的圖形、白板和iPad，同學(xué)們分組輪番嘗試不同區(qū)域的活動(dòng)，逐步建立起一些判斷來(lái)，平面圖形是立不起來(lái)的，立體圖形各個(gè)方向可能會(huì)長(zhǎng)什么樣。

可視化學(xué)習(xí)是新西蘭數(shù)學(xué)教學(xué)的常用方法。美國(guó)斯坦福大學(xué)教育學(xué)知名教授喬·博勒對(duì)視覺(jué)化思維在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用曾做過(guò)分析，大腦中的背視覺(jué)神經(jīng)通路是數(shù)量運(yùn)算的核心工作區(qū)域，孩子在進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)，大腦中會(huì)展現(xiàn)出一幅視覺(jué)圖景，用形象的方式來(lái)解決抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

我當(dāng)然承認(rèn)老師廣泛提供可感可觸材料的好處，可當(dāng)一年級(jí)結(jié)束時(shí)，我看到依然有小朋友在扳著指頭算一位數(shù)加減法，我還是覺(jué)得不太對(duì)勁。老師為什么不鼓勵(lì)小朋友使用更有效率的方法？在這次采訪時(shí)，我把這個(gè)問(wèn)題提給了新西蘭教育大綱數(shù)學(xué)部分的編寫(xiě)者文斯·萊特。

“從教育心理學(xué)上講，聯(lián)系已知內(nèi)容進(jìn)行理解是最容易的，所以在數(shù)學(xué)教學(xué)中聯(lián)系實(shí)際會(huì)讓孩子對(duì)學(xué)習(xí)更感興趣。”萊特說(shuō)道，但和其他科目相比，數(shù)學(xué)的獨(dú)特性是最顯著的，“在科學(xué)課里講‘下落’的概念時(shí)，孩子可以明明白白地在現(xiàn)實(shí)生活中看到東西從上而下掉落。但數(shù)學(xué)不是這樣，數(shù)學(xué)概念全部是人為創(chuàng)造出來(lái)的。現(xiàn)實(shí)中并不能直接找到‘三角形’，你只能是看到房頂?shù)拿總€(gè)頂點(diǎn)在不同的位置，根據(jù)邊角的位置關(guān)系來(lái)推測(cè)出它是一個(gè)‘三角形’。天氣預(yù)報(bào)說(shuō)今天有40%的概率會(huì)下雨，但你不能從現(xiàn)實(shí)中直接感受到40%是什么。我認(rèn)為，從現(xiàn)實(shí)引入概念，只是理解數(shù)學(xué)的第一步，幫助學(xué)生在此基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)概念才是數(shù)學(xué)老師面臨的最大挑戰(zhàn)?！?/p>

沒(méi)有課本，沒(méi)有考試和排名

新西蘭的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育，可以用“毀譽(yù)參半”來(lái)形容。

一方面，它代表著新西蘭教育大綱中最獨(dú)特的部分。新西蘭大綱的獨(dú)特之處在于，只有教學(xué)目標(biāo)和教師配套的指導(dǎo)用書(shū)，沒(méi)有指定課本。按照大綱前言中的敘述，這是充分考慮未來(lái)社會(huì)對(duì)人提出的新要求所進(jìn)行的設(shè)計(jì)，它的目標(biāo)是使學(xué)生成為自信、連接、積極參與的終身學(xué)習(xí)者。每一個(gè)學(xué)生都是獨(dú)特的，教學(xué)方法當(dāng)然不一而足，老師不應(yīng)局限在某一課本之上。新西蘭因這一大綱面向未來(lái)的前瞻性，在一些國(guó)際機(jī)構(gòu)評(píng)選的未來(lái)教育排名中始終名列前茅。與亞洲在數(shù)學(xué)教育上強(qiáng)調(diào)扎實(shí)的基本功和刻苦的練習(xí)相比，新西蘭在數(shù)學(xué)上最能體現(xiàn)教育手段的差異性。

喬·帕特里克是奧克蘭長(zhǎng)灣小學(xué)副校長(zhǎng)，她既是該校數(shù)學(xué)教研組組長(zhǎng)，也是奧克蘭大學(xué)教育學(xué)院計(jì)算能力教學(xué)培訓(xùn)師。作為一個(gè)有近40年教齡的資深教師，她親身經(jīng)歷了新西蘭在數(shù)學(xué)教育改革上的不斷演進(jìn)。帕特里克告訴我，雖然新西蘭現(xiàn)有的教學(xué)大綱誕生于2006年，但在上世紀(jì)80年代中期，新西蘭的學(xué)校已經(jīng)在嘗試使用一套名為“小學(xué)低年級(jí)數(shù)學(xué)”的新教育模式，“雖然那時(shí)候還有指定的課本，但所用的教材變得更寬泛了，這套模式也強(qiáng)調(diào)低年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要圍繞著活動(dòng)的方式進(jìn)行”。

1999年，奧克蘭教育學(xué)院教授彼得·休斯在考察美國(guó)和澳大利亞的教育變革后，強(qiáng)烈建議新西蘭教育部對(duì)本國(guó)的數(shù)學(xué)教育進(jìn)行改革。帕特里克回憶說(shuō)：“休斯博士根據(jù)國(guó)外的研究成果提出了很多建議，比如如何正確理解孩子在認(rèn)識(shí)數(shù)字時(shí)的階段性。”她說(shuō)道，同樣算出5+3的結(jié)果是8，但孩子們實(shí)際的計(jì)算能力卻并不一定相同?！坝械暮⒆訜o(wú)法把兩組數(shù)連在一起，需要用兩只手分別比出5和3，再?gòu)?開(kāi)始，一個(gè)個(gè)地?cái)?shù)下去，一直數(shù)到8。有的孩子已經(jīng)有了集數(shù)的概念，他們知道兩個(gè)數(shù)相加時(shí)，5是不變的，所以在5后面接著數(shù)出6、7、8。顯然，會(huì)第二種方法比使用第一種的能力要強(qiáng)，那么接下來(lái)在學(xué)習(xí)9+6時(shí)，有集數(shù)概念的孩子更容易明白如何將數(shù)字重新組合，把9湊成10，再加上5。我在當(dāng)時(shí)是不懂這二者的區(qū)別的，那時(shí)對(duì)教學(xué)有很多困惑，不明白為什么有的孩子總是計(jì)算上有困難?！迸撂乩锟苏f(shuō)，正是在這種新思想的推動(dòng)之下，建構(gòu)主義教育理論在新西蘭流行起來(lái)，“比如蘇聯(lián)心理學(xué)家維果斯基的‘最近發(fā)展區(qū)’理論，老師們開(kāi)始討論如何識(shí)別孩子現(xiàn)在處在哪個(gè)發(fā)展區(qū)內(nèi)，從而要給予他們與其能力最接近的教學(xué)資料，顯然只使用一本固定的教材是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠用的”。

2018年，我在新西蘭采訪一個(gè)優(yōu)秀的初中科技課老師，他的一番話(huà)給我留下了深刻的印象?！拔矣X(jué)得新西蘭的教學(xué)大綱是世界上最好的，因?yàn)樗o了老師極大的自由空間?！边@位老師來(lái)自英國(guó)，以前曾是一名足球俱樂(lè)部的技術(shù)教練，在新西蘭讀了教育學(xué)位后成為中學(xué)教師。在成為專(zhuān)職的科技課老師之前，他當(dāng)過(guò)七年級(jí)一個(gè)班的班主任，在沒(méi)有課本的束縛之下，盡情發(fā)揮著自己的才智，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)。他給我舉了一個(gè)例子，大綱中要求七年級(jí)某學(xué)期有三周的數(shù)學(xué)課學(xué)習(xí)測(cè)量，他組織全班同學(xué)分組把校園各個(gè)角落量了個(gè)遍，回到教室后大家把數(shù)據(jù)匯總起來(lái)，使用電腦軟件把校園進(jìn)行了復(fù)原。最終，他的班級(jí)在學(xué)期末的測(cè)評(píng)中，整體成績(jī)?cè)龇叱隽送昙?jí)其他班一倍之多。

而另一方面，新西蘭數(shù)學(xué)教育的有效性也飽受各方質(zhì)疑。

新西蘭教學(xué)大綱涵蓋一年級(jí)到十三年級(jí)的基礎(chǔ)教育全學(xué)段教學(xué)內(nèi)容。它將教學(xué)階段共分為八個(gè)級(jí)別，每個(gè)級(jí)別對(duì)英語(yǔ)、數(shù)學(xué)、藝術(shù)、自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、體育等科目的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行逐個(gè)描述。考慮到學(xué)生的個(gè)體差異，這八個(gè)級(jí)別分別跨越不同年級(jí)，比如級(jí)別一覆蓋到一至三年級(jí)、級(jí)別二覆蓋到二至六年級(jí)、級(jí)別三覆蓋四至八年級(jí)等等。

新西蘭教學(xué)大綱中數(shù)學(xué)部分從第一級(jí)別開(kāi)始，就分為了數(shù)字與代數(shù)、幾何與測(cè)量、統(tǒng)計(jì)學(xué)三個(gè)門(mén)類(lèi)。即便是面向一年級(jí)小學(xué)生，它也明顯地體現(xiàn)出對(duì)于過(guò)程的重視，比如會(huì)用到“交流與解釋”“翻譯描述”“調(diào)查情況”等詞匯，這也大大弱化了新西蘭對(duì)于統(tǒng)一考試的重視程度。

新西蘭小學(xué)低年級(jí)沒(méi)有任何結(jié)構(gòu)化的考試形式，每個(gè)學(xué)校三年級(jí)以上會(huì)有選擇性地參加一些統(tǒng)一考試，但也不會(huì)作為評(píng)判的主要標(biāo)準(zhǔn)，因此也不會(huì)有排名，再加上沒(méi)有課本，家長(zhǎng)和社會(huì)公眾想了解學(xué)校整體的教學(xué)進(jìn)度和質(zhì)量并不容易。

很多人把經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織每三年組織一次的PISA（Programfor International Student Assessment）國(guó)際考試作為評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)，在這個(gè)面向各國(guó)15歲學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)化考試中，新西蘭近幾年表現(xiàn)不佳。2018年，新西蘭學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績(jī)排在37個(gè)國(guó)家中的第22位，引起了國(guó)內(nèi)輿論強(qiáng)烈的批評(píng)。在那次考試中，數(shù)學(xué)排在第一位的是中國(guó)，但是僅有北京、上海、江蘇和浙江四個(gè)省市作為代表參加。

作為大綱的編寫(xiě)者和數(shù)學(xué)教育專(zhuān)家，萊特對(duì)PISA考試的結(jié)果持有一分為二的態(tài)度：“它說(shuō)明我們?cè)诮虒W(xué)中存在一些問(wèn)題，比如對(duì)于運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，這跟我們?cè)O(shè)立大綱的初衷是背道而馳的。大綱的靈活性讓教師們都非常重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用能力，會(huì)設(shè)置很多場(chǎng)景來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，但對(duì)于基本概念的要求，我認(rèn)為是缺失的。這也是為什么今年我們要重新修訂大綱，我們希望能將學(xué)習(xí)的目標(biāo)更明確化，更有目標(biāo)性。”

但萊特并不認(rèn)為PISA的結(jié)果意味著新西蘭數(shù)學(xué)教育的失敗。“首先，新西蘭提供的是全國(guó)普遍性的樣本。而且新西蘭一向不重視考試，所以不會(huì)對(duì)此做針對(duì)性的準(zhǔn)備。很多能力是無(wú)法在統(tǒng)一的筆試過(guò)程中檢驗(yàn)出來(lái)的，比如我們認(rèn)為團(tuán)隊(duì)合作解決問(wèn)題的能力很重要?！?/p>

雖然新西蘭少有公開(kāi)的考試，但老師對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的評(píng)估卻時(shí)時(shí)刻刻以察覺(jué)不到的方式進(jìn)行著。

我曾經(jīng)參觀過(guò)惠靈頓一所名叫埃姆斯伯里的創(chuàng)新型學(xué)校，它們教學(xué)樓里班級(jí)之間不設(shè)圍墻的教學(xué)環(huán)境非常有特色。在各個(gè)角落里，總是有很多孩子或者圍著老師，或者自己進(jìn)行著各種討論和小組項(xiàng)目。

五年級(jí)的一個(gè)班級(jí)正在數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法。老師提出了一個(gè)問(wèn)題：2/3+3/4的結(jié)果是多少？有的學(xué)生脫口而出：5/7。老師不動(dòng)聲色，接著問(wèn)道：“你怎么向我證明這個(gè)答案是正確的？”接著，她安排學(xué)生們組成各個(gè)小組，進(jìn)行分組討論，“5/7到底對(duì)不對(duì)？如果不對(duì)的話(huà)，你認(rèn)為答案應(yīng)該是什么？”

分?jǐn)?shù)是新西蘭小學(xué)階段數(shù)學(xué)的一大難題。在起步階段，老師經(jīng)常使用比薩教具來(lái)幫助學(xué)生理解抽象的分?jǐn)?shù)，于是有的小組迅速開(kāi)始在白板上畫(huà)起了比薩圖。2/3個(gè)比薩，加上3/4個(gè)比薩，兩部分都超過(guò)了一個(gè)比薩的一半，加起來(lái)肯定大于1，所以5/7是錯(cuò)的。

但2/3+3/4究竟該怎么算呢？老師沒(méi)有教學(xué)生使用最小公倍數(shù)對(duì)分母進(jìn)行通分的方法，想得出結(jié)果全憑自己摸索。有的小組開(kāi)始抓耳撓腮起來(lái)，有的小組陷入激烈的互相否定之中。老師在各個(gè)小組中間穿行，多數(shù)時(shí)候只是在一旁默默地聽(tīng)，一堂課就在沒(méi)有主導(dǎo)的討論中過(guò)去了大半。

針對(duì)這樣的課堂教學(xué)模式，該校副校長(zhǎng)德梅拉扎·托普告訴我，老師正在觀察每一個(gè)小組是否在進(jìn)行“富有產(chǎn)出的掙扎”過(guò)程?！案挥挟a(chǎn)出的掙扎”指的是有助于解決問(wèn)題的嘗試和犯錯(cuò)的過(guò)程。“孩子們?nèi)绻菄L試著這樣或那樣做，發(fā)現(xiàn)都不對(duì)；或者小組里有個(gè)人說(shuō)，我們應(yīng)該這么做，但另一個(gè)人反駁說(shuō)，不對(duì)，然后講出理由，這些情況都說(shuō)明他們沒(méi)有迷失方向，即便他們還沒(méi)有找出正確的路線，但至少他們辨別出什么是錯(cuò)的，而且在進(jìn)行著改變?！蓖衅照f(shuō)，這是一種皮亞杰所說(shuō)的“非平衡狀態(tài)”，適度的挑戰(zhàn)性會(huì)在一開(kāi)始為學(xué)生帶來(lái)焦慮感，但他們通過(guò)正確道路上的探索，很快就會(huì)期待通過(guò)問(wèn)題的解決來(lái)獲得成就感。在這種情況下，老師不會(huì)介入，避免對(duì)他們的思路進(jìn)行干擾。

但老師如果看到小組進(jìn)行的“無(wú)產(chǎn)出的掙扎”，它無(wú)助于問(wèn)題的解決，老師應(yīng)該迅速地加入討論，“提問(wèn)、啟發(fā)，甚至是直接告訴他們，讓他們回到正確的軌道上，能轉(zhuǎn)換成‘產(chǎn)出掙扎’模式”。比如老師看到某個(gè)小組無(wú)從下手，提出了一個(gè)較為簡(jiǎn)單的問(wèn)題，如何計(jì)算1/3+1/2？當(dāng)在一塊比薩上將需要計(jì)算的面積都涂上陰影之后，孩子們想到，可以用1減去最后那塊沒(méi)有陰影的部分。

一堂課下來(lái)，老師講授知識(shí)點(diǎn)的時(shí)間非常有限，但托普卻認(rèn)為這是更高效的學(xué)習(xí)模式。“我們特別看重?cái)?shù)學(xué)的小組討論和互相學(xué)習(xí)?！彼f(shuō)道，“如果老師全程參與進(jìn)去，就會(huì)變成專(zhuān)家式的‘你說(shuō)我聽(tīng)’的過(guò)程。聽(tīng)的效率是很低的，因?yàn)橥钦f(shuō)話(huà)的那個(gè)人最聚精會(huì)神。而當(dāng)孩子們自主討論時(shí)，他們的參與感會(huì)非常強(qiáng)，形成的也是一個(gè)平等的會(huì)話(huà)模式，從別人那學(xué)習(xí)，相互幫助理解新的問(wèn)題，并且會(huì)在合作中獲得新的發(fā)現(xiàn)?！?/p>

而組織好小組討論，也是一個(gè)成功數(shù)學(xué)老師的必備技能?！罢n講得深入、善于啟發(fā)等等，這都不能代表全部，傾聽(tīng)和觀察同樣也非常重要。老師觀察著每個(gè)小組的討論，記錄下來(lái)每個(gè)孩子究竟理解了什么，在理解哪些概念上有困難，哪個(gè)孩子是需要在小組討論時(shí)專(zhuān)門(mén)進(jìn)行單獨(dú)談話(huà)的，‘我發(fā)現(xiàn)你在這個(gè)問(wèn)題上有困難，不如我們?cè)囋囅茸鲞@個(gè)練習(xí)，它對(duì)你有幫助’。”

“做好記錄，追蹤每一個(gè)孩子的學(xué)習(xí)進(jìn)展是老師在教數(shù)學(xué)時(shí)特別重要的一項(xiàng)工作。”托普說(shuō)，“這意味著老師并不需要總是給孩子做測(cè)驗(yàn)，通過(guò)每天的傾聽(tīng)和觀察來(lái)了解孩子會(huì)了什么、不會(huì)什么。”

全科教師教數(shù)學(xué)

新西蘭數(shù)學(xué)教育與中國(guó)的另一個(gè)顯著的不同，是一般沒(méi)有專(zhuān)職的數(shù)學(xué)老師，小學(xué)和初中往往都采用一個(gè)班主任教全部科目的形式。

取得教師資質(zhì)的全科老師，往往學(xué)的是綜合的教育學(xué)學(xué)科，而非數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)背景，但全科老師模式依然被西方很多國(guó)家認(rèn)為是更科學(xué)的。

王井健是奧克蘭花園小學(xué)高年級(jí)班主任。他的本科就讀于中山大學(xué)歷史系，但這并不妨礙他順利執(zhí)教五、六年級(jí)的數(shù)學(xué)?！靶挛魈m的教育大綱非常適合全科老師的教學(xué)?！蓖蹙「嬖V我，“全科老師有兩個(gè)最明顯的優(yōu)勢(shì)。一是熟悉每一個(gè)學(xué)生的個(gè)性和學(xué)習(xí)特征，比數(shù)學(xué)單科老師更能安排適合每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)任務(wù)；二是更容易進(jìn)行整體性教學(xué)，數(shù)學(xué)不一定只在數(shù)學(xué)課上，學(xué)習(xí)的方法會(huì)有很多。”

王井健說(shuō)道，在他的班級(jí)里，每星期純粹學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)間可能只有60～90分鐘，“其余都是綜合性的學(xué)習(xí)”。比如學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)，藝術(shù)課、音樂(lè)課、英語(yǔ)課都可以做出相應(yīng)的安排。除此之外，學(xué)校每個(gè)學(xué)期都會(huì)制定一個(gè)主題，各個(gè)班級(jí)會(huì)依照這個(gè)主題制定小組項(xiàng)目，將學(xué)生本學(xué)期各科目的收獲都有所囊括。比如，上學(xué)期學(xué)校的主題是“文化”，班上會(huì)圍繞著什么是文化、不同民族有哪些文化、文化有怎樣的表現(xiàn)等等展開(kāi)活動(dòng)?！拔覀兊捻?xiàng)目是要制作一種能夠代表年級(jí)文化的食物，這個(gè)就涉及很多方面了?！蓖蹙≌f(shuō)，選擇食物就要調(diào)查每個(gè)人的口味，會(huì)用到上學(xué)期所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)概念，“高年級(jí)使用百分比，低年級(jí)會(huì)計(jì)算人數(shù)。在制作食物時(shí)會(huì)學(xué)習(xí)怎樣通過(guò)食譜配比來(lái)調(diào)整具體的食材用量?！?/p>

但對(duì)一名新手全科老師來(lái)說(shuō)，剛步入課堂一定會(huì)經(jīng)歷非常懵懂的狀態(tài)。一位學(xué)校的數(shù)學(xué)教研負(fù)責(zé)人告訴我，她剛剛?cè)肼毜那皟赡辏瑤缀醵疾恢雷约涸诮绦┦裁??！皶?huì)有一個(gè)有經(jīng)驗(yàn)的老師來(lái)當(dāng)我的導(dǎo)師，但沒(méi)有課本確實(shí)挺難掌握方向的。”兩年之后，她選擇去倫敦進(jìn)修，經(jīng)過(guò)了多個(gè)學(xué)校的歷練，才終于獲得了教學(xué)的自信。

長(zhǎng)灣小學(xué)副校長(zhǎng)帕特里克每周都會(huì)在學(xué)校里為老師組織數(shù)學(xué)工作坊?！拔覀兊墓ぷ鞣皇紫仁侵v教學(xué)框架的，接著是關(guān)于各科目的具體指導(dǎo)。對(duì)于新老師來(lái)說(shuō)，我的建議是不妨使用一些教材作為參考。學(xué)校在老師入職培訓(xùn)中發(fā)揮著非常重要的作用，但光靠一個(gè)學(xué)校的力量還是不夠的?！?/p>

美國(guó)數(shù)學(xué)教育研究教授保羅·科布在研究系統(tǒng)如何促進(jìn)數(shù)學(xué)教育質(zhì)量時(shí)曾指出，很多國(guó)家的數(shù)學(xué)教學(xué)大綱大約都會(huì)以每十年更新一次的頻率往前推進(jìn)，“編寫(xiě)完，發(fā)現(xiàn)失敗了，于是重新書(shū)寫(xiě)，結(jié)果又失敗了，循環(huán)往復(fù)。問(wèn)題其實(shí)并不出現(xiàn)在大綱制定上，而是國(guó)家的教學(xué)研究機(jī)構(gòu)，它們沒(méi)有花足夠的力氣把大綱向一線教師做出解釋?zhuān)瑥亩尨缶V成為有實(shí)踐意義的參照”。

科布在對(duì)美國(guó)小學(xué)教師進(jìn)行實(shí)證研究后指出，一個(gè)成功的大綱，應(yīng)該讓教師在課堂實(shí)踐中能夠向?qū)W生清晰地陳述出學(xué)習(xí)目標(biāo)，具備讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)這些目標(biāo)的指導(dǎo)性實(shí)踐能力，同時(shí)擁有足夠的資源，用持續(xù)性、有針對(duì)性的專(zhuān)業(yè)技術(shù)來(lái)指導(dǎo)課堂教學(xué)。同時(shí)，教師應(yīng)該成長(zhǎng)在以學(xué)校為單位的學(xué)習(xí)環(huán)境中，具有有效的測(cè)評(píng)手段獲知哪些學(xué)生存在學(xué)習(xí)困難，并能夠使用針對(duì)性的教育資源來(lái)幫助這些學(xué)生。

澳大利亞數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)專(zhuān)家羅賓·懷特現(xiàn)在是新西蘭一家教育機(jī)構(gòu)的負(fù)責(zé)人。三年前，他受新西蘭教育部之邀，來(lái)新西蘭幫助教師提高數(shù)學(xué)教學(xué)能力，他以保羅·科布的實(shí)證研究為參考，以每年12次的工作坊形式為參與培訓(xùn)的數(shù)學(xué)老師們提供教學(xué)指導(dǎo)?！拔覀兊呐嘤?xùn)有三個(gè)目標(biāo)：讓老師具備連貫的教學(xué)能力，形成集體合作的教研網(wǎng)絡(luò)，同時(shí)幫助學(xué)校創(chuàng)建一個(gè)數(shù)學(xué)教研領(lǐng)導(dǎo)團(tuán)隊(duì)，每個(gè)學(xué)校的校長(zhǎng)是幫助老師提高教學(xué)能力的最核心要素。”

“我的首要任務(wù)是讓老師充分理解大綱?！睉烟卣f(shuō)，“即便是有15年或者20年教齡的老師，都可能存在不夠了解大綱的問(wèn)題。當(dāng)我讓他們?nèi)グ汛缶V里的每個(gè)字都說(shuō)出來(lái)時(shí)，他們會(huì)拍著腦門(mén)說(shuō)：‘天哪，我竟然沒(méi)有看到大綱中在這里寫(xiě)著要提高推斷能力！’這是非常常見(jiàn)的問(wèn)題，因?yàn)榇缶V可能在書(shū)寫(xiě)的時(shí)候不夠清晰直白?！眹@著大綱，12次的工作坊培訓(xùn)每期都會(huì)有一個(gè)非常實(shí)用的主題，包括如何在不同的語(yǔ)境和語(yǔ)言能力下提高學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知能力、如何評(píng)估學(xué)生在每個(gè)學(xué)習(xí)階段的能力水平、如何在鼓勵(lì)學(xué)生自主探索時(shí)擁有課堂進(jìn)度的控制能力、如何掌握提問(wèn)的技術(shù)從而激活學(xué)生的思考和潛能的發(fā)揮、如何結(jié)合日常生活提高學(xué)生的計(jì)算能力等等。

2001年，美國(guó)數(shù)學(xué)專(zhuān)家基爾帕克里特和斯瓦福特等人出版了《加起來(lái)：幫助孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)》一書(shū)，書(shū)中提出了體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的五種技能，包括流利度、理解、解決問(wèn)題、推理和富有成效的處置能力，它們成為世界很多國(guó)家進(jìn)行課程設(shè)置時(shí)的重要參考?！斑@五個(gè)能力是相互聯(lián)系、相互纏繞的。亞洲國(guó)家強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)運(yùn)算能力，澳大利亞大綱把‘有成效的處置問(wèn)題能力’放在突出重要的位置，這些都是不正確的?！睉烟卣f(shuō)道，“我希望新西蘭課程大綱的更新，能將數(shù)學(xué)能力的這幾個(gè)方面做出清晰的表達(dá)，這樣老師們才能在日常教學(xué)中把培養(yǎng)應(yīng)用、建模等能力設(shè)計(jì)進(jìn)去?！?/p>

該如何衡量新加坡的數(shù)學(xué)教學(xué)水平呢？教學(xué)百花齊放，并且沒(méi)有看得見(jiàn)摸得著的能力測(cè)試，很難評(píng)說(shuō)。但我想至少有一點(diǎn)能窺見(jiàn)新西蘭數(shù)學(xué)教育的一個(gè)側(cè)面。我在新西蘭一個(gè)教育論壇搜索信息時(shí)，看到一篇文章被推薦閱讀，推薦者說(shuō)，作者使用的統(tǒng)計(jì)學(xué)方法非常有創(chuàng)見(jiàn)。我打開(kāi)一看，有點(diǎn)吃驚。這是一篇醫(yī)護(hù)工作者寫(xiě)的護(hù)理學(xué)主題的論文，用數(shù)學(xué)方法統(tǒng)計(jì)患者接受治療的頻次和強(qiáng)度與康復(fù)情況的關(guān)系。能夠把數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到并不直接相關(guān)的自然科學(xué)主題之下，或許這就是萊特期待的新西蘭學(xué)生該具備的數(shù)學(xué)能力。