□張平 潘禹辰 徐文彬

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“學(xué)生應(yīng)通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來(lái)社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需的核心素養(yǎng)。”該課程理念不僅明確了學(xué)科育人的方向，還涉及新的知識(shí)特性以及由此產(chǎn)生的新的教學(xué)方式。核心素養(yǎng)的培育離不開(kāi)知識(shí)教學(xué)，但是以應(yīng)試為目的的知識(shí)教學(xué)給予學(xué)生的只是靜態(tài)的內(nèi)容堆積、分裂的線性結(jié)構(gòu)、表層的解題工具。為了培養(yǎng)具有數(shù)學(xué)素養(yǎng)的公民，必須重構(gòu)課堂，以使數(shù)學(xué)真正被理解，而對(duì)知識(shí)特性的理解與教學(xué)方式改變是課堂重構(gòu)及后續(xù)變革的關(guān)鍵。［1］

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》要求“進(jìn)一步精選學(xué)科內(nèi)容，重視以大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，以主題為引領(lǐng)，使課程內(nèi)容情境化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí)”。其中，源于布魯納的學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)［2］的“大概念（big idea）”為義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的教與學(xué)提供了可能的方向。大概念是被抽象、概括出來(lái)的具有聯(lián)系、整合作用并能被廣泛遷移的核心知識(shí)。［3］正因其強(qiáng)調(diào)概念與概念之間的關(guān)系，重視各種概念與理解的連貫性和整體性，所以才能促進(jìn)有意義學(xué)習(xí)以及學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，大概念將引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)、理解數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)、提高知識(shí)遷移和應(yīng)用能力，從而有效地促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。

基于此，本研究試以“度量”這一大概念來(lái)統(tǒng)領(lǐng)“數(shù)的認(rèn)識(shí)”與“數(shù)的運(yùn)算”，以形成“數(shù)與運(yùn)算”的知識(shí)結(jié)構(gòu)為目的，具體探討相應(yīng)的知識(shí)的理解與教學(xué)的改進(jìn)。

一、度量及其特性

度量是人們認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，繼而認(rèn)識(shí)世界的基本工具。作為小學(xué)數(shù)學(xué)的大概念之一，度量是一種基本的數(shù)學(xué)思想，是用數(shù)學(xué)把握客觀世界的基本方式，也是貫穿于整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高位概念，其方法具有可遷移性。度量問(wèn)題極大地推動(dòng)著數(shù)學(xué)的發(fā)展，而人類感知數(shù)量多少和距離遠(yuǎn)近的先天本能為其提供了思維基礎(chǔ)。［4］度量是對(duì)事物的某些屬性的量化過(guò)程，指使用所選的度量單位去度量對(duì)象，然后累積度量單位的總數(shù)并得到結(jié)果。其間，度量對(duì)象、度量標(biāo)準(zhǔn)（計(jì)量單位）、度量方法和度量的準(zhǔn)確度缺一不可。

度量的本質(zhì)是比較，該過(guò)程蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理及數(shù)學(xué)建模等思想方法。度量單位的確立就是思維抽象的結(jié)果，至于推理，如自然數(shù)“滿十進(jìn)一”的計(jì)數(shù)方法，十個(gè)一為一個(gè)十，十個(gè)十為一個(gè)百，以此類推；又如通過(guò)度量并結(jié)合公式來(lái)得到圖形面積。度量教學(xué)除了要滲透上述數(shù)學(xué)思想和方法之外，還需強(qiáng)調(diào)測(cè)量特性，以便學(xué)生更好地把握度量的科學(xué)性、合理性和目的性等原則。

首先，度量單位的統(tǒng)一性是國(guó)家與地區(qū)交流和發(fā)展的趨勢(shì)使然（如貨幣系統(tǒng)），并且統(tǒng)一的過(guò)程也將朝著更加精細(xì)的方向改進(jìn)。其次，度量方法的一致性體現(xiàn)了度量對(duì)象與度量單位的比較和數(shù)數(shù)過(guò)程。比如度量面積就是基于平方米、平方分米等單位一個(gè)一個(gè)累積的；分?jǐn)?shù)可以看作是6個(gè)“”的累加，其中的“”則是所謂的“度量單位”。最后，度量結(jié)果具有守恒性。盡管一個(gè)度量單位系統(tǒng)內(nèi)可能包含多個(gè)度量單位（如度量長(zhǎng)度的米、分米、厘米等），但是針對(duì)同一個(gè)對(duì)象，度量結(jié)果守恒。比如小王身高用米做單位是1.78米，而用厘米度量是178厘米，其實(shí)結(jié)果“不變”，因?yàn)樵陂L(zhǎng)度（或高度，其實(shí)就是一維度量）單位系統(tǒng)中，178厘米就是1.78米（反之亦然）。

二、度量視角下“數(shù)與運(yùn)算”的理解

明確了度量這一大概念在小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要性，下面將在該視角下來(lái)理解數(shù)與運(yùn)算，以便為教學(xué)改進(jìn)提供啟示。

（一）度量視角下數(shù)的理解

從度量的角度來(lái)看，數(shù)是大小的刻畫，然而量的多少抽象成數(shù)就是數(shù)的大小。下面將從度量的視角來(lái)探討小學(xué)數(shù)學(xué)中的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，以及數(shù)的比較和等值的理解。

首先，數(shù)源于數(shù)，就是基于度量單位從0開(kāi)始一個(gè)一個(gè)累加起來(lái)（自然數(shù)的基本單位是1）?！笆M(jìn)制”的發(fā)明催生了各級(jí)計(jì)數(shù)單位，用0～9這10個(gè)數(shù)字符號(hào)和相應(yīng)的數(shù)位就可以表示無(wú)數(shù)個(gè)整數(shù)。比如10000這個(gè)數(shù)，按我國(guó)的計(jì)數(shù)方法可以用“萬(wàn)”來(lái)度量，即表示1個(gè)萬(wàn)，西方通常把這個(gè)數(shù)用千來(lái)度量，表示10個(gè)千，這也體現(xiàn)了度量的守恒性。

其次，小數(shù)是在實(shí)際測(cè)量和整數(shù)運(yùn)算（如除法、開(kāi)方）的需要中產(chǎn)生和發(fā)展起來(lái)的。隨著社會(huì)生產(chǎn)力的發(fā)展，對(duì)測(cè)量精度要求提高，反映在數(shù)學(xué)上是對(duì)數(shù)量的精確程度的要求提升。當(dāng)需要用數(shù)來(lái)比較精確結(jié)果時(shí)，就出現(xiàn)了兩種表示方法：一是用分?jǐn)?shù)來(lái)表示不足整數(shù)的剩余部分；二是發(fā)展度量衡系統(tǒng)，采用更小的度量單位來(lái)表示有關(guān)的量。這個(gè)更小的度量單位就是把自然數(shù)的基本度量單位1不斷地10等分。比如0.53，就是由5個(gè)0.1（1的十分之一）和3個(gè)0.01（0.1的十分之一）所組成。分?jǐn)?shù)與小數(shù)一樣起源于度量和均分。用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)度量單位（自然數(shù)的基本單位1）去度量一個(gè)對(duì)象，如果正好量完，結(jié)果便可用整數(shù)表示；如果不能量完，就把原來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)等分后用更小的單位去度量，如果能量完，結(jié)果就是分?jǐn)?shù)；如果無(wú)論把原來(lái)的標(biāo)準(zhǔn)等分多少份，都不能正好量完，結(jié)果就是無(wú)理數(shù)。比如就可以看作把“1”等分成5份，用去量了3次正好量完。但如果用圓的直徑（作為單位）去量圓的周長(zhǎng)，則無(wú)論怎么等分，都不能正好量完，所以，結(jié)果π便是無(wú)理數(shù)。

在度量視角下整體認(rèn)知整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)，可以發(fā)現(xiàn)計(jì)數(shù)單位是它們共同的核心概念，其基本計(jì)數(shù)單位都是“1”。比如30表示30個(gè)1，0.32表示同時(shí)，整數(shù)、小數(shù)及分?jǐn)?shù)還有各自相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位系統(tǒng)（如表1），比如30用10去度量，即3個(gè)10，0.32用0.01去度量，即32個(gè)

表1 自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位

整數(shù)和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位都是十進(jìn)制，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位則不局限于十進(jìn)制，是基本度量單位1的任意等分之1份。在認(rèn)數(shù)的過(guò)程中對(duì)不同的度量單位（進(jìn)制）的認(rèn)識(shí)，可以加深對(duì)數(shù)的理解，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感。

最后，數(shù)的大小比較是看各自包含了多少個(gè)相同計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。若計(jì)數(shù)單位相同，可以直接進(jìn)行比較，比如若計(jì)數(shù)單位不同，則需要變成相同的計(jì)數(shù)單位再進(jìn)行比較。比如作為它們（共同的）計(jì)數(shù)單位，再進(jìn)行比較。數(shù)的等值是指兩個(gè)數(shù)計(jì)數(shù)單位不同，但大小相等。在自然數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)中都有兩個(gè)數(shù)等值的情況。比如5萬(wàn)=50000，表示5個(gè)“萬(wàn)”等于50000個(gè)“一”。類似的，一個(gè)數(shù)可以用不同的計(jì)數(shù)單位去度量，它的計(jì)數(shù)單位擴(kuò)大多少倍，相應(yīng)的個(gè)數(shù)就要縮小多少倍，反之同理。因此一個(gè)數(shù)有無(wú)限個(gè)等值數(shù)，這也是度量結(jié)果的守恒性（如圖1）。由此來(lái)解釋分?jǐn)?shù)、小數(shù)的基本性質(zhì)及商不變的性質(zhì)就非常簡(jiǎn)單了。比如1.5=1.50，表示15個(gè)0.1等于150個(gè)0.01，小數(shù)末尾每添上（減少）一個(gè)零，表示相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位縮?。〝U(kuò)大）10倍。分?jǐn)?shù)也是如此。分?jǐn)?shù)中分母表示計(jì)數(shù)單位（等分的份數(shù)），分子表示計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，分母擴(kuò)大表示計(jì)數(shù)單位變小，因此分子要擴(kuò)大相應(yīng)的倍數(shù)，反之亦然（如圖2）。

圖1 數(shù)的等值

圖2 分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

（二）度量視角下運(yùn)算的理解

運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)中占據(jù)極其重要的地位，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。對(duì)于一些學(xué)生來(lái)說(shuō)存在著困難，計(jì)算教學(xué)中算理的紛繁復(fù)雜可能是造成學(xué)生對(duì)算理不理解的重要原因之一。

度量視角下如何理解四則運(yùn)算？概括地說(shuō)，就是著眼于運(yùn)算算理的一致性，促進(jìn)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)運(yùn)算算理的有效遷移，加深學(xué)生對(duì)運(yùn)算意義及其本質(zhì)的理解。

首先，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的加減法的算理有自然的一致性，即相同計(jì)數(shù)單位的相加和相減。比如125+38=100+（20+30）+（5+8）。如果是異分母分?jǐn)?shù)相加減，則要轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)再加減。比如，因計(jì)數(shù)單位不同，不能直接相加，需先轉(zhuǎn)化為，便可以得出結(jié)論。

其次，是對(duì)乘法運(yùn)算的理解。歐幾里得曾指出，整數(shù)是一個(gè)長(zhǎng)度，整數(shù)的乘積是一個(gè)矩形。其實(shí)，乘法可以從多個(gè)角度去理解。比如乘法是“求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算”，像每小時(shí)行駛30千米，5小時(shí)行駛多少千米，表示5個(gè)30是多少，本質(zhì)上還是加法。度量視角下的理解，就是把一個(gè)乘數(shù)看作一條邊，是一維線段，兩個(gè)一維的量，在相互作用下，就轉(zhuǎn)化為二維空間。從哲學(xué)上說(shuō)，就是從量變到質(zhì)變的過(guò)程。乘法計(jì)算類似于面積的度量，面積是用面積單位去度量面的大小，乘法是單位積去度量乘的結(jié)果（如表2）。從乘法的意義來(lái)說(shuō)，如果只關(guān)注計(jì)算結(jié)果而不考慮結(jié)果的單位，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算算理就會(huì)被人為割裂成三種不同的運(yùn)算：整數(shù)乘法回歸加法的意義來(lái)理解；小數(shù)乘法的算理是借助積與因數(shù)的變化規(guī)律；分?jǐn)?shù)乘法是分子相乘的積做分子，分母相乘的積做分母。從度量的視角來(lái)看，三種運(yùn)算都是單位積度量的結(jié)果。如整數(shù)乘法就是用1×1（單位積）度量，小數(shù)就是用小數(shù)單位相乘（單位積）度量，分?jǐn)?shù)乘法就是分?jǐn)?shù)單位相乘（單位積）度量。

表2 整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的乘法算理的一致性

最后，在現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材中整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的除法各自為政，其中整數(shù)除法是利用等分和包含的意義，小數(shù)除法則轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法計(jì)算，分?jǐn)?shù)除法則轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法來(lái)計(jì)算，三種除法的算理沒(méi)有一致性，不僅造成教學(xué)困難，也不易于學(xué)生理解除法的本質(zhì)。而度量視角下的除法運(yùn)算算理，則可統(tǒng)一為“包含”的意義（如表3），其實(shí)質(zhì)是將兩個(gè)量變成相同計(jì)數(shù)單位的計(jì)量，然后用一個(gè)量為標(biāo)準(zhǔn)（除數(shù)）去度量另一個(gè)量。如此，不僅使整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)除法的算理完全一致，還把除法的意義、比的意義及分?jǐn)?shù)的相關(guān)意義統(tǒng)一起來(lái)，打通了三者之間的聯(lián)系。此外，分?jǐn)?shù)除法用包含的算理進(jìn)行運(yùn)算，通過(guò)推理，最終也能得到除以一個(gè)數(shù)等于乘它的倒數(shù)這一結(jié)論：

表3 整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的除法算理的一致性

三、度量視角下“數(shù)與運(yùn)算”的教學(xué)改進(jìn)

基于上述分析，度量這一大概念具有很強(qiáng)的概括性和包容性，能為學(xué)生提供一個(gè)整合了各種知識(shí)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)和認(rèn)知框架，而其對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)也需要教學(xué)的幫助。

（一）重視度量教學(xué)，充分發(fā)揮度量的育人價(jià)值

重視度量教學(xué)，首先要讓學(xué)生把握度量單位的本質(zhì)。度量源于比較，關(guān)鍵是表征事物某些屬性的順序，標(biāo)準(zhǔn)的確定是得到統(tǒng)一表達(dá)的基礎(chǔ)。其次要讓學(xué)生經(jīng)歷度量的過(guò)程。比如在度量長(zhǎng)度的教學(xué)中，要讓學(xué)生充分利用各種工具對(duì)物體長(zhǎng)度進(jìn)行度量，要讓其先產(chǎn)生對(duì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)的需求，再進(jìn)一步判斷最合適的度量標(biāo)準(zhǔn)，從而逐步建立度量單位系統(tǒng)。最后，要讓學(xué)生感悟度量的思想方法。比如開(kāi)展從直觀到抽象的長(zhǎng)度單位學(xué)習(xí)，通過(guò)建模來(lái)度量某些不可直接比較的量等，由此讓學(xué)生意識(shí)到用數(shù)學(xué)量化世界的價(jià)值。

（二）基于度量的認(rèn)數(shù)教學(xué)改進(jìn)

度量單位是整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)意義一致性的橋梁。當(dāng)人們舍去事物的具體屬性，將物體個(gè)數(shù)抽象為“1”這個(gè)基本單位就有了自然數(shù)。再將“1”這個(gè)基本單位10等分或者任意等分做單位，就產(chǎn)生了小數(shù)和分?jǐn)?shù)。計(jì)數(shù)單位在數(shù)的認(rèn)識(shí)中很重要。比如認(rèn)識(shí)自然數(shù)的關(guān)鍵是十進(jìn)制，此外還有二進(jìn)制、六十進(jìn)制等，因此在認(rèn)識(shí)整數(shù)時(shí)，可以先讓學(xué)生嘗試不同的計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)，如認(rèn)識(shí)10以內(nèi)的數(shù)時(shí)，讓學(xué)生嘗試把小棒2根一捆、3根一捆……體會(huì)計(jì)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)的多樣性，為以后10根一捆做好鋪墊。小數(shù)的認(rèn)識(shí)既要聯(lián)系分?jǐn)?shù)的意義，又要注重與整數(shù)的關(guān)聯(lián)，十進(jìn)制的計(jì)數(shù)單位將整數(shù)與小數(shù)聯(lián)系在一起，從某種意義上說(shuō)，小數(shù)是整數(shù)的延續(xù)。至于分?jǐn)?shù)，可以讓學(xué)生從度量意義上了解分?jǐn)?shù)是怎么產(chǎn)生的，通過(guò)分?jǐn)?shù)單位深刻理解真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的意義，理解分?jǐn)?shù)與除法、分?jǐn)?shù)與比的聯(lián)系，并通過(guò)度量的守恒性深入理解分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)及等值分?jǐn)?shù)的意義。

（三）基于度量的運(yùn)算教學(xué)改進(jìn)

現(xiàn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教材在計(jì)算教學(xué)的四則運(yùn)算部分，會(huì)增加各種算理理解難度和記憶負(fù)擔(dān)，會(huì)阻礙學(xué)習(xí)遷移的發(fā)生。然而，基于度量，可以高位統(tǒng)攝四則運(yùn)算算理，使它們具有完全的一致性。從某種意義上說(shuō)，計(jì)算也具有度量的意義：加減法的實(shí)質(zhì)是相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的累加或遞減；乘法運(yùn)算類似于面積測(cè)量，用單位積去度量計(jì)算結(jié)果；除法運(yùn)算就是把除數(shù)作為1個(gè)度量單位去度量被除數(shù)，其意義相當(dāng)于比。因此，從整數(shù)四則運(yùn)算開(kāi)始就要在運(yùn)算中滲透度量的思想，特別要重視計(jì)數(shù)單位的概念。與此同時(shí)，整數(shù)、小數(shù)及分?jǐn)?shù)的運(yùn)算教學(xué)要整體設(shè)計(jì)，分步實(shí)施，環(huán)環(huán)相扣，一脈相承。

總之，基于大概念的數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化，以知識(shí)間的緊密聯(lián)系促進(jìn)學(xué)生的有意義學(xué)習(xí)，并且關(guān)注認(rèn)知的整體性和理解的深刻性，在知識(shí)的深層凝練中直指學(xué)科本質(zhì)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想和方法，是所謂“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的真諦所在。