□蘇明強

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法在更高層次上的抽象與概括，是數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的根本，是探索、研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的人應(yīng)當(dāng)具備的基本思維特征。數(shù)學(xué)基本思想蘊含在數(shù)學(xué)知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用的過程中，在數(shù)學(xué)知識的形成過程中主要蘊含數(shù)學(xué)的抽象思想，在數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程中主要蘊含數(shù)學(xué)的推理思想，在數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用過程中主要蘊含數(shù)學(xué)的建模思想。因此，數(shù)學(xué)“四基”中的基本思想包括抽象思想、推理思想和建模思想，我們簡稱為“三思”。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：數(shù)學(xué)課程要培養(yǎng)的學(xué)生核心素養(yǎng)，主要包括“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界；會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界；會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界”三個方面（簡稱“三會”）。在小學(xué)階段，核心素養(yǎng)主要表現(xiàn)為：數(shù)感、量感、符號意識、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理意識、數(shù)據(jù)意識、模型意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識。核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)是對“四基”“四能”課程目標(biāo)的繼承與發(fā)展，“四基”“四能”是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體，核心素養(yǎng)對“四基”“四能”提出了更高的要求。

基本思想與核心素養(yǎng)有何關(guān)聯(lián)？如何通過感悟數(shù)學(xué)基本思想發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？筆者結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計與概率”三個學(xué)習(xí)領(lǐng)域的具體例子，闡述“三思”與“三會”的關(guān)聯(lián)以及發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基本途徑，為大家落實《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的基本理念，提供一些教學(xué)參考。

一、感悟抽象思想——讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界

抽象是舍棄事物物理屬性得到本質(zhì)屬性的思維過程，它是形成數(shù)學(xué)概念、得到研究對象的必要手段。抽象思想是第一個數(shù)學(xué)基本思想，通常蘊含在數(shù)學(xué)知識的形成過程中。數(shù)是代數(shù)學(xué)的研究對象，數(shù)的認(rèn)識是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的基礎(chǔ)，主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)和規(guī)律。圖形是幾何學(xué)的研究對象，圖形的認(rèn)識是“圖形與幾何”領(lǐng)域的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，一維圖形主要有線段、射線和直線，二維不封閉圖形主要是角（直角、銳角、鈍角、平角和周角），二維封閉圖形主要有三角形、長方形、正方形、平行四邊形、梯形和圓，三維立體圖形主要有長方體、正方體、圓柱、圓錐、球。因此，圖形的認(rèn)識主要是指對以上平面圖形和立體圖形特征的認(rèn)識。

在“數(shù)的認(rèn)識”和“圖形的認(rèn)識”等知識的形成過程中，蘊含的數(shù)學(xué)基本思想是抽象思想，具體包括分類思想、集合思想、符號表示思想、對應(yīng)思想、數(shù)形結(jié)合思想、“變中有不變”思想等。因此，在“數(shù)的認(rèn)識”和“圖形的認(rèn)識”兩個模塊知識的學(xué)習(xí)中，通過感悟抽象思想，可以讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界，發(fā)展數(shù)感、量感、幾何直觀、空間觀念、符號意識和創(chuàng)新意識，進(jìn)而形成核心素養(yǎng)。

（一）在“數(shù)的認(rèn)識”學(xué)習(xí)中感悟“抽象”

數(shù)的認(rèn)識主要包括數(shù)的初步認(rèn)識和數(shù)的再認(rèn)識兩個階段。數(shù)的初步認(rèn)識主要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念、組成、各部分名稱以及讀法、寫法等。在這些知識的學(xué)習(xí)過程中，我們可以讓學(xué)生感悟分類思想、集合思想、符號表示思想和對應(yīng)思想。通過“數(shù)一數(shù)”，用數(shù)數(shù)的方式發(fā)展學(xué)生的數(shù)感；通過“畫一畫”，用直觀圖式描述數(shù)量問題的方式發(fā)展學(xué)生的幾何直觀；通過“試一試”，用符號表示數(shù)量的方式發(fā)展學(xué)生的符號意識。數(shù)的再認(rèn)識主要學(xué)習(xí)整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)。我們可以利用“數(shù)線”讓學(xué)生直觀認(rèn)識數(shù)的大小和相對位置，感悟數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)現(xiàn)并提出新的數(shù)學(xué)問題，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識。我們還可以從“數(shù)的大小”和“數(shù)線上對應(yīng)位置”的角度，引導(dǎo)學(xué)生觀察，直觀感知，如分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的分子和分母都在“變”，而分?jǐn)?shù)的大小和數(shù)線上對應(yīng)的位置“不變”，感悟“變中不變”的思想，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)感。在數(shù)的認(rèn)識學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生學(xué)會用“數(shù)的眼光”觀察現(xiàn)實世界，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

（二）在“圖形的認(rèn)識”學(xué)習(xí)中感悟“抽象”

圖形的認(rèn)識主要包括圖形的初步認(rèn)識和圖形的再認(rèn)識兩個階段。圖形的初步認(rèn)識主要學(xué)習(xí)長方體、正方體、圓柱、圓錐、球以及長方形、正方形、三角形、平行四邊形、梯形和圓等。在這些知識的學(xué)習(xí)過程中，我們可以讓學(xué)生感悟分類思想、集合思想和對應(yīng)思想。通過“看一看”，觀察圖形的形狀；“摸一摸”，感受圖形的特點；“說一說”，描述圖形的特點；“想一想”，建立圖形的表象，由此讓學(xué)生認(rèn)識空間物體或圖形的形狀，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。圖形的再認(rèn)識主要學(xué)習(xí)圖形的特征，主要包括三個方面。一是從幾何要素：點（頂點）、線（邊或棱）、面（平面）三個維度，通過量化的方式歸納得出圖形的特點，有幾個頂點、幾條邊（棱）和幾個面。二是從幾何要素之間的位置關(guān)系：平行與垂直的角度，抽象概括出平面圖形邊的特征，如對邊互相平行、鄰邊互相垂直。三是從幾何要素之間的大小關(guān)系——相等或不相等的角度，抽象概括出平面圖形邊的特征，如對邊相等、鄰邊相等。在圖形再認(rèn)識的過程中，學(xué)生進(jìn)一步加深對圖形的認(rèn)識，感受同一種圖形，大小“變”了，特征卻“不變”，這就是圖形的本質(zhì)。這樣，學(xué)生不僅感悟了“變中不變”的思想，而且進(jìn)一步發(fā)展了空間觀念。在圖形的認(rèn)識學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生學(xué)會用“形的眼光”觀察現(xiàn)實世界，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

二、感悟推理思想——讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界

推理是數(shù)學(xué)思維的主要方式，包括合情推理和演繹推理。合情推理是從已有的事實出發(fā)，憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納或類比的方式推斷結(jié)果的一種思維方式，主要有歸納推理和類比推理。演繹推理是從已有的事實和確定的規(guī)則出發(fā)，通過邏輯推理的法則推斷結(jié)果的一種思維方式。推理思想是第二個數(shù)學(xué)基本思想，通常蘊含在數(shù)學(xué)知識的發(fā)展過程中。數(shù)的運算是代數(shù)學(xué)研究對象進(jìn)一步量化的結(jié)果，是“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域在數(shù)的認(rèn)識基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)展，主要包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運算。圖形的測量是幾何學(xué)研究對象進(jìn)一步量化的結(jié)果，是“圖形與幾何”領(lǐng)域在圖形認(rèn)識基礎(chǔ)上的進(jìn)一步發(fā)展，主要包括圖形的周長公式、面積公式和體積公式等。平面圖形一維量化的結(jié)果是線段的長度和圖形的周長，平面圖形二維量化的結(jié)果是圖形的面積，立體圖形三維量化的結(jié)果是圖形的體積。

在“數(shù)的運算”和“圖形的測量”知識的發(fā)展過程中，蘊含的數(shù)學(xué)基本思想是推理思想，具體包括轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比思想和演繹思想等。因此，在“數(shù)的運算”和“圖形的測量”兩個知識模塊的學(xué)習(xí)中，通過感悟推理思想，可以讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，發(fā)展運算能力和推理意識，進(jìn)而形成核心素養(yǎng)。

（一）在“數(shù)的運算”學(xué)習(xí)中感悟“推理”

數(shù)的運算主要包括整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加、減、乘、除四則運算，整數(shù)的四則運算是小數(shù)四則運算的基礎(chǔ)，分?jǐn)?shù)的四則運算進(jìn)一步豐富了加法、減法、乘法和除法的內(nèi)涵，進(jìn)一步拓展了四則運算的法則。在數(shù)的運算學(xué)習(xí)過程中，我們可以讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比思想和演繹思想。如在整數(shù)四則運算學(xué)習(xí)中，發(fā)展學(xué)生的運算能力，關(guān)鍵在于理解算理和掌握算法。在這里，敘說算理的過程，本質(zhì)上是一個演繹推理的過程，因此，我們應(yīng)該從推理的角度認(rèn)識算理的重要性和必要性。在學(xué)習(xí)小數(shù)四則運算時，我們可以通過類比（整數(shù)與小數(shù)）的方式學(xué)習(xí)小數(shù)的加減法，這里蘊含著類比推理，我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式，把小數(shù)乘除法問題轉(zhuǎn)化為整數(shù)乘除法問題，這里蘊含著演繹推理。在分?jǐn)?shù)四則運算學(xué)習(xí)過程中，我們可以通過類比（整數(shù)與分?jǐn)?shù)）的方式學(xué)習(xí)同分母分?jǐn)?shù)加減法，這里蘊含著類比推理。學(xué)習(xí)異分母分?jǐn)?shù)加減法時，我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式，把異分母分?jǐn)?shù)加減法問題轉(zhuǎn)化為同分母分?jǐn)?shù)加減法問題，這里蘊含著演繹推理。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法時，通過歸納的方式概括出分?jǐn)?shù)乘法法則，這里蘊含著歸納推理。學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)除法時，可以通過轉(zhuǎn)化的方式，把分?jǐn)?shù)除法問題轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)乘法問題，這里蘊含著演繹推理。這樣，在數(shù)的運算學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅理解了算理，掌握了算法，而且感悟了運算的一致性，感悟了轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比思想和演繹思想。這不僅培養(yǎng)了學(xué)生的運算能力，還發(fā)展了推理意識，這讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

（二）在“圖形的測量”學(xué)習(xí)中感悟“推理”

圖形的測量，在線段長度度量的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)圖形的周長、面積和體積。在長方形周長公式的學(xué)習(xí)中，我們可以通過歸納（從特殊到一般）的方式，概括出長方形的周長公式，這里蘊含著歸納推理。在正方形周長公式的學(xué)習(xí)中，我們可以通過演繹（從一般到特殊）的方式，推導(dǎo)出正方形的周長公式，這里蘊含著演繹推理。在長方形面積公式的學(xué)習(xí)中，我們可以通過歸納（從特殊到一般）的方式，概括出長方形的面積公式，這里蘊含著歸納推理。在平行四邊形面積公式的學(xué)習(xí)中，我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為長方形，推導(dǎo)出平行四邊形的面積公式，這里蘊含著演繹推理。在三角形、梯形面積公式學(xué)習(xí)中，我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式，把三角形、梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，推導(dǎo)出三角形和梯形的面積公式，這里蘊含著演繹推理。在圓的面積公式學(xué)習(xí)中，我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式，把圓無窮分割拼接轉(zhuǎn)化為長方形，推導(dǎo)出圓的面積公式，這里蘊含著演繹推理。在長方體體積的學(xué)習(xí)中，我們可以通過歸納（從特殊到一般）的方式，概括出長方體的體積公式，這里蘊含著歸納推理。在圓柱體積的學(xué)習(xí)中，我們可以通過轉(zhuǎn)化的方式，把圓柱無窮分割拼接轉(zhuǎn)化為長方體，推導(dǎo)出圓柱的體積公式，這里蘊含著演繹推理。這樣，在圖形的測量學(xué)習(xí)中，學(xué)生不僅理解了公式的推導(dǎo)過程，掌握度量公式，而且感悟了轉(zhuǎn)化思想、歸納思想、類比思想和演繹思想。這不僅培養(yǎng)了學(xué)生推理意識，還讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

三、感悟建模思想——讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界

數(shù)學(xué)模型是根據(jù)特定的研究目的，采用形式化的數(shù)學(xué)語言表征研究對象特征或關(guān)系的一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界聯(lián)系的重要載體，用數(shù)字、字母和其他數(shù)學(xué)符號建立起來的算式、代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)等都是數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用，包括數(shù)與代數(shù)知識的應(yīng)用、圖形與幾何知識的應(yīng)用、統(tǒng)計與概率知識的應(yīng)用，它們本質(zhì)上都是建立數(shù)學(xué)模型的過程。建立和求解數(shù)學(xué)模型的過程，主要包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號建立算式、代數(shù)式、關(guān)系式、方程、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義，在這個過程中，通常蘊含著建模思想。建模思想是第三個數(shù)學(xué)基本思想，主要包括簡化思想、量化思想、優(yōu)化思想、方程思想、函數(shù)思想、隨機思想、統(tǒng)計思想。因此，在數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率等知識的應(yīng)用過程中，通過感悟建模思想，可以讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)據(jù)意識、模型意識和應(yīng)用意識，進(jìn)而形成核心素養(yǎng)。

（一）在“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域相關(guān)知識的應(yīng)用中感悟“建?！?/h3>

數(shù)是代數(shù)學(xué)的研究對象，是現(xiàn)實世界中事物“量”的一種抽象，是具體事物量化的一種結(jié)果，數(shù)（包括字母）的運算（算式、代數(shù)式）是數(shù)量關(guān)系的一種抽象，方程是代數(shù)式等量關(guān)系的一種抽象，函數(shù)是變量對應(yīng)關(guān)系的一種抽象。因此，“數(shù)與代數(shù)”知識的應(yīng)用過程，本質(zhì)上是建立數(shù)的模型、算式模型、代數(shù)式模型、方程模型和函數(shù)模型的過程。學(xué)生在建立和求解這些數(shù)學(xué)模型的過程中，可以感悟量化思想、簡化思想、優(yōu)化思想、方程思想和函數(shù)思想，發(fā)展模型意識和應(yīng)用意識，學(xué)會用“數(shù)與代數(shù)”的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

（二）在“圖形與幾何”領(lǐng)域相關(guān)知識的應(yīng)用中感悟“建?！?/h3>

圖形是幾何學(xué)的研究對象，是現(xiàn)實世界中物體“形”的一種抽象。長度是線段“量化”的結(jié)果，周長是圖形一維“量化”的結(jié)果，面積是圖形二維“量化”的結(jié)果，體積是圖形三維“量化”的結(jié)果。周長公式、面積公式、體積公式是變量之間對應(yīng)關(guān)系的一種抽象，本質(zhì)上是一種函數(shù)關(guān)系。如長方形的周長公式C=(ɑ+b)×2和面積公式S=ɑ×b本質(zhì)上都是二元函數(shù)，長方體的體積V=ɑbc本質(zhì)上是三元函數(shù)等。因此，“圖形與幾何”知識的應(yīng)用過程，本質(zhì)上是建立周長模型、面積模型、體積模型的過程，在建立和求解這些數(shù)學(xué)模型的過程中，可以感悟量化思想、簡化思想、優(yōu)化思想和函數(shù)思想，發(fā)展模型意識和應(yīng)用意識，促進(jìn)學(xué)生學(xué)會用“圖形與幾何”的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

（三）在“統(tǒng)計與概率”領(lǐng)域相關(guān)知識的應(yīng)用中感悟“建?！?/h3>

數(shù)據(jù)是統(tǒng)計學(xué)的研究對象，統(tǒng)計是數(shù)據(jù)蘊含規(guī)律的一種刻畫，統(tǒng)計表是直觀整理數(shù)據(jù)的一種方式，統(tǒng)計圖（條形統(tǒng)計圖、折線統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖）是直觀描述數(shù)據(jù)的一種方式，統(tǒng)計量（平均數(shù)、百分?jǐn)?shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差）是理性分析數(shù)據(jù)的一種方式。隨機事件是概率的研究對象，概率是體現(xiàn)隨機事件規(guī)律的一種表達(dá)，用“可能、一定、不可能”是定性描述隨機事件發(fā)生可能性大小的一種方式，用分?jǐn)?shù)是定量描述隨機事件發(fā)生可能性大小的一種方法。因此，統(tǒng)計與概率知識的應(yīng)用過程，本質(zhì)上是建立統(tǒng)計模型和概率模型的過程。在建立和求解這些數(shù)學(xué)模型的過程中，學(xué)生可以感悟量化思想、簡化思想、優(yōu)化思想、統(tǒng)計思想和隨機思想，發(fā)展數(shù)據(jù)意識、模型意識和應(yīng)用意識，學(xué)會用“統(tǒng)計與概率”的語言表達(dá)現(xiàn)實世界，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)。

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