合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 (230601) 李亞文 張新全

“變式教學(xué)”是我國(guó)數(shù)學(xué)教育的特色之一.由于“變式教學(xué)”的有效運(yùn)用，使得我國(guó)學(xué)生在“雙基”方面的培養(yǎng)質(zhì)量得到很大的提升.筆者研究了人教版和滬科版教材中的例、習(xí)題，對(duì)課本中的一道例題進(jìn)行了變式教學(xué)的探討.

1.原題再現(xiàn)

圖1

已知如圖1，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°, 點(diǎn)D,E是底邊上兩點(diǎn)，且BD=AD,CE=AE.求∠DAE的度數(shù).

在人教版和滬科版教材中，該題均是“等腰三角形”這一節(jié)的例題，文[1]和文[2]對(duì)這道例題做了深入的研究，在此不作贅述，本文將變換視角，對(duì)該題進(jìn)行再變式.

2.變式探究

本題涉及等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系，沿著這樣的思路，可以得到下面的變式.

圖2

變式1 如圖2，點(diǎn)D,E在△ABC的邊BC上，AB=AC,AD=AE.求證：BD=CE.

這是人教版教材八年級(jí)上冊(cè)第82頁(yè)復(fù)習(xí)鞏固第6題，可以證明兩個(gè)三角形全等得到BD=CE,也可以作BC上的高，利用“三線合一”證明.

圖3

變式2 如圖3，P,Q是△ABC的邊BC上的兩點(diǎn)，并且BP=PQ=QC=AP=AQ，求∠BAC的度數(shù).

這是人教版教材八年級(jí)上冊(cè)第83頁(yè)拓廣探索第14題，利用等腰三角形的性質(zhì)可以求出相應(yīng)角度的度數(shù)，是例題的逆向思考.

圖4

變式3 如圖4,在△ABC中，∠ABC=50°,∠ACB=80°,延長(zhǎng)CB至D,使DB=BA,延長(zhǎng)BC至E,使CE=CA,連接AD,AE.求∠D,∠E,∠DAE的度數(shù).

這是人教版教材八年級(jí)下冊(cè)第91頁(yè)復(fù)習(xí)題13 復(fù)習(xí)鞏固第5題，是例題的簡(jiǎn)單綜合.這里的三個(gè)變式，都是教材上的習(xí)題，起到鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提升思維能力的作用，所有這些問(wèn)題仍然是比較簡(jiǎn)單的，我們還可以繼續(xù)進(jìn)行變式.

變式4 在Rt△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D、E在BC上，且BD=BA，CE=CA，求∠DAE的角度.

對(duì)例題中相等的線段改變位置，利用等腰三角形的性質(zhì)，可以得到∠DAE=45°.

變式5 在ABC中，設(shè)∠BAC=α,點(diǎn)D、E在BC上，且BD=BA，CE=CA，求∠DAE的角度.

圖5

3.引申探究

引申1 如圖5，在△ABC,AB=AC=2,∠BAC=120°,點(diǎn)D,E是底邊上的兩點(diǎn)，且AB=BD,AC=CE,則線段AD的長(zhǎng)等于( ).

解析：本題易構(gòu)造出含30°角的直角三角形，此構(gòu)造一旦達(dá)成就便于三角形中各線段長(zhǎng)度的求解，又由全等三角形及相似三角形的性質(zhì)和判定，利用方程思想，可以將求AD的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化成一元二次方程的解.

圖6

點(diǎn)評(píng)：此題解法靈活多變，讀者有興趣可以自行探究其他解法.本題解法涉及到分母有理化和開方，在中考中屬于較高要求，故不能作為中考題，但是可以作為課后探究題，讓學(xué)生課后探究.該題的呈現(xiàn)形式可以多變，既可以作為選擇題，又可以作為填空題和解答題，且該題的所求結(jié)果類型也可以為求角的大小和線段的長(zhǎng)度.

圖7

引申2 如圖7，在菱形ABCD中，AB=2,∠BAD=120°,點(diǎn)E,F,G,H分別在AB,BC,CD,DA上，則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為( ).

解析：學(xué)生利用幾何直觀，連接對(duì)角線，構(gòu)造出含30°角的直角三角形，利用其性質(zhì)設(shè)未知數(shù)，并用未知數(shù)表示各邊的長(zhǎng)，再利用正方形的邊長(zhǎng)相等，相等的量用不同的表示得到一元方式一次方程，求解即可得到結(jié)果.

圖8

點(diǎn)評(píng)：該題根據(jù)對(duì)稱性將三角形構(gòu)造成特殊的菱形，雖然初中生可以解出正確答案，但是解法還不夠嚴(yán)謹(jǐn),比如(1)正方形EFGH是唯一存在的么?(2)正方形的邊EH、FG,EF、HG是否分別平行于菱形的對(duì)角線BD,AC呢?(3) 正方形EFGH的中心與菱形ABCD的中心重合么？因?yàn)槌踔袑W(xué)生是根據(jù)幾何直觀解題，并且已經(jīng)默認(rèn)了(1)(2)(3)成立，所以大大降低了該題的難度.

圖9

引申3 如圖9，在菱形ABCD中，AB=2,正方形EFGH的頂點(diǎn)分別在菱形ABCD的四條邊上.若△BEF是等邊三角形，則EFGH的長(zhǎng)為( ).

解析：本題較引申2中，題目條件發(fā)生變化，但是難度降低了，具體方法見(jiàn)引申2，這里不再贅述.

點(diǎn)評(píng)：引申3是根據(jù)引申2中“正方形的邊EH、FG,EF、HG是否分別平行于菱形的對(duì)角線BD,AC呢”這一條件進(jìn)行變式，由于四邊形ABCD為菱形，且△BEF是等邊三角形，這樣就直接避免了論證引申2中(1)和(2)、(3).感興趣的讀者還可以將△BEF是等邊三角形改變成△BEF是等腰三角形去求解.

以上的三個(gè)引申都涉及到分母有理化，對(duì)初中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)有較高要求，但是考察的都是學(xué)生幾何解題的基本功——添加輔助線構(gòu)造出含有30°角的特殊直角三角形，從而求出線段的長(zhǎng)度.

圖10

引申4 (2021年安徽省中考數(shù)學(xué)第8題)如圖10，在菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，過(guò)菱形ABCD的對(duì)稱中心O分別作邊AB,BC的垂線，交各邊于點(diǎn)E、F、G、H，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為( ).

解析:菱形內(nèi)接特殊矩形的周長(zhǎng)計(jì)算，過(guò)程中考查模型的選擇與應(yīng)用.能力要求等級(jí)B+C，依次求出OE=OF=OG=OH,利用勾股定理得出EF和OE的長(zhǎng)，即可求出該四邊形的周長(zhǎng).

圖11

圖12

解法2：如圖12,連接AC、BD,交于O點(diǎn)，

圖13

點(diǎn)評(píng)：本題圖形簡(jiǎn)明，構(gòu)造簡(jiǎn)單，解題方向多樣，層次分明.求解時(shí)可以利用EH∥BD(或(EH∥AC))得到相似，構(gòu)建等式方程求解，也可以連接OA,OB構(gòu)造含30°的特殊直角三角形，先計(jì)算OE,再結(jié)合三角函數(shù)的定義求解各邊來(lái)實(shí)現(xiàn)；還可以直接運(yùn)用面積法求解矩形對(duì)角線的長(zhǎng)，再運(yùn)用三角函數(shù)求解；也可以將EG(或FH)平移至與△ABC(△ACD或)的高重合來(lái)求解.題目比較基礎(chǔ)，但圖形內(nèi)涵豐富，解法多樣，為不同的考生提供了不同的解題路徑，具有較高的效度和信度.

4.教學(xué)思考與總結(jié)

《教育大辭典》對(duì)“教學(xué)變式”的解釋為“在教學(xué)中使學(xué)生確切掌握概念的重要方式之一，即在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事例說(shuō)明事物的本質(zhì)屬性，或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征.目的在于使學(xué)生了解哪些是事物的本質(zhì)特征，哪些是事物的非本質(zhì)特征，從而對(duì)一事物形成科學(xué)概念.”數(shù)學(xué)變式教學(xué)的理論基礎(chǔ)主要有兩個(gè)來(lái)源，一是學(xué)習(xí)論基礎(chǔ)：建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論強(qiáng)調(diào)通過(guò)積極自覺(jué)的認(rèn)識(shí)活動(dòng)來(lái)同化原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)；奧蘇泊爾的有意義學(xué)習(xí)理論則強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者必須要理解符號(hào)所代表的新知識(shí)與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立起非人為的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系.這兩種學(xué)習(xí)理論的思想都是要求教學(xué)的變式來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此變式也是這兩種理論所提倡的.另一個(gè)教學(xué)理論基礎(chǔ)：隨機(jī)通達(dá)教學(xué)理論和腳手架教學(xué)理論也都對(duì)變式教學(xué)提出了要求，因?yàn)橹挥刑峁┳銐虻淖兪讲拍茏龅诫S機(jī)通達(dá)，才能為學(xué)生搭起有效的腳手架.

大量的實(shí)踐證明變式教學(xué)是行之有效的，變式的對(duì)象有很多,如概念教學(xué)中的變式，定理、公式教學(xué)中的變式等.在課堂教學(xué)過(guò)程中，變式教學(xué)有助于讓學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)方法的本質(zhì)，有助于學(xué)生克服感性經(jīng)驗(yàn)帶來(lái)的消極影響，也有助于掌握一般方法,觸類旁通,舉一反三；變式教學(xué)有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,有利于數(shù)學(xué)技能的掌握,有利于數(shù)學(xué)思想方法的掌握,有利于把握知識(shí)的本質(zhì),有利于形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu),有利于問(wèn)題的解決.