陳光輝,曾孝平,焦 爽
(1.重慶大學(xué)微電子與通信工程學(xué)院,重慶 400044;2.中國大唐集團科學(xué)技術(shù)研究院有限公司中南電力試驗研究院,河南鄭州 450000)
信源定位是陣列信號處理領(lǐng)域中的一個關(guān)鍵技術(shù),其在雷達(dá)、聲納、電子對抗、醫(yī)療電子等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用[1~3].根據(jù)信源與接收陣列之間的距離,信源定位可以分為遠(yuǎn)場和近場信源定位[4,5].對于遠(yuǎn)場信源定位,信源的傳輸模型被假設(shè)為平面波,僅用到達(dá)方向(Direction Of Arrival,DOA)就可以完成信源定位的任務(wù).在過去的幾十年中,學(xué)者們提出了很多針對遠(yuǎn)場DOA估計的經(jīng)典算法.例如最大似然法[6],多重信號分類(Multiple Signal Classification,MUSIC)算法[7,8],旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique,ESPRIT)方法[9,10].對于近場信源定位,信源的傳輸模型被假設(shè)為球面波,需要估計信源的DOA和距離才可以完成信源定位的任務(wù).針對近場DOA估計,學(xué)者們提出了二維 近 場MUSIC算 法[11,12],ESPRIT高 階 近 場 估 計 算法[13,14],以及一些在MUSIC和ESPRIT算法基礎(chǔ)上改進的算法[15~19].但這些算法在低信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)下,因測量數(shù)據(jù)的微小變化,將出現(xiàn)DOA估計的精度和分辨率嚴(yán)重下降的問題.針對這一問題,本文提出了一種基于陣列劃分的近場DOA估計算法.
該算法首先利用四階累積量和陣列劃分構(gòu)造只包含DOA信息的托普利茲矩陣,并利用一維MUSIC算法對托普利茲矩陣進行特征值分解和構(gòu)造空間譜.然后,由于MUSIC算法的空間譜在譜峰處是一個斷點、且趨近較大值.因此,為提高DOA估計分辨率,該算法求解空間譜的一階導(dǎo)數(shù)來構(gòu)造一個新“空間譜”.最后,利用協(xié)方差矩陣建立二維近場MUSIC空間譜,并將第二步得到的DOA估計值代入二維近場MUSIC空間譜,然后利用本文構(gòu)造的新“空間譜”逐個估計近場信源的距離.此外,本文理論分析了算法的計算復(fù)雜度,并利用仿真實驗驗證了該算法在低信噪比下有效的提高了DOA的估計精度.
近場模型如圖1所示.其中,2M+1表示接收陣列的總天線個數(shù),N表示接收陣列劃分的第一個子陣列的天線個數(shù),信源的數(shù)量為K,噪聲為高斯噪聲.第m個天線的輸出表示為:
圖1 近場模型的接收陣列
其中,sk(t)表示第k個近場窄帶信號源,nm(t)表示加性高斯噪聲,τmk表示第m個接收天線與第0個接收天線之間的傳輸延遲.定義rm表示信源到第m個接收天線的距離.由余弦定理可知:
由圖1的近場模型可知,信源傳輸模型是球面波,因此,τmk被表示如下:
rm被帶入到τmk,可得:
其中,λ、d、θk、rk分別表示信源的波長、天線間距、DOA和距離.為簡化式(4),f(d/rk)被定義為:
式(5)在變量為0的點被麥克勞林展開,f(d/rk)被重寫為:
其中,f1(0)、f2(0)、f3(0)分別表示f(d/rk)在零點處的一階、二階、三階導(dǎo)數(shù).通常d/rk的值比較小,故可以被忽略[20].因此,τmk被重寫為:
其中,wk和φk分別表示為:
由式(8)和式(9)可知,wk僅與近場信源的DOA有關(guān),而φk既與近場信源的DOA有關(guān),也與近場信源的距離有關(guān).
對于近場信源的DOA估計,本文提出的算法主要包括:陣元選擇、構(gòu)造托普利茲矩陣和新“空間譜”.陣元選擇消除四階累積量中與距離有關(guān)的信息,避免近場信源估計中的二維譜峰搜索,降低算法的計算量;構(gòu)造托普利茲矩陣可以使矩陣經(jīng)過特征值分解之后其特征向量相互正交.在這種情況下,特征向量組成的矩陣僅包含一個方向向量相關(guān)的信息;構(gòu)造新“空間譜”的目的是利用MUSIC算法的空間譜在譜峰處是一個斷點、且趨近較大值的性質(zhì)來提高信源估計的分辨率.
3.1.1 陣元選擇
其次,近場模型的接收陣列被劃分為三個子陣列:[-N,N]、[N+1,M]、[-M,-N-1],且三個子陣列互不重疊.此外,m,n,p,q的取值是為了使四階累積量中φk的系數(shù)為0,這樣四階累積量只與近場信源的DOA有關(guān),可以有效的避免近場信源估計中的二維譜峰搜索,降低算法的計算量.具體的陣元選擇方法如下:
令m∈[-M,-N-1],n∈[N+1,M],p∈[-N,0],q∈[0,N],且m=-n,p=-q,可以得到一個具有(MN)(N+1)個元素的向量c1.其中,c1的第(M-m)(N+1)+N+1-p個元素表示為:
令m∈[N+1,M],n∈[-M,-N-1],p∈[0,N],q∈[-N,0],且m=-n,p=-q,可以得到一個具有(MN)(N+1)個元素的向量c2.其中,c2的第(m-N-1)(N+1)+p+1個元素表示為:
令p∈[-N,N],q∈[N,-N],m=n=0,p=-q,可以得到一個具有2N+1個元素的向量c3,其中c3的第p個元素表示為:
令p=-N-1,q=N+1,m=-M,n=-N,可以得到一個標(biāo)量c4,其被表示為:
令p=N+1,q=-N-1,m=M,n=N,可以得到一個標(biāo)量c5,其被表示為:
由式(12)和(13)可知,c1與c2的倒序共軛對稱.由式(14)可知,c3的2N+1個元素共軛對稱.由式(15)和(16)可知,c4和c5也共軛.c1,c2,c3,c4,c5的共軛對稱關(guān)系是構(gòu)造托普利茲矩陣的基礎(chǔ).
3.1.2 托普利茲矩陣構(gòu)造
構(gòu)造c1,c2,c3,c4,c5之后,需要構(gòu)造一個托普利茲矩陣.因為托普利茲矩陣經(jīng)過特征值分解之后其特征向量相互正交.在這種情況下,特征向量組成的矩陣僅包含一個與方向向量相關(guān)的信息.具體的托普利茲矩陣構(gòu)造過程見下文.
首先,一個(2(M-N+1)(N+1)+1)維的向量c被定義為:
其中,T表示矩陣轉(zhuǎn)置.
其次,定義一個矩陣CH,把向量c中第((M-N+1)(N+1)+2-m)到(2(M-N+1)(N+1)+2-m)的元素組成CH的第m列.其中,CH的具體表達(dá)式如下所示:
由c1,c2,c3,c4,c5的共軛對稱關(guān)系知,托普利茲矩陣CH的 維 度 是((M-N+1)(N+1)+1)×((M-N+1)(N+1)+1).為簡化式(18),定義Q=(M-N)(N+1).此外,式(18)可以被表示為矩陣形式,如下所示:
其中,H表示矩陣共軛轉(zhuǎn)置.A(θ)和CS公式如下所示:
基于式(19)~(21),A(θ)可以看作是K個遠(yuǎn)場信源的虛擬方向矩陣,且其對應(yīng)(M-N+1)(N+1)+1天線(虛擬天線).另外,因為sk(t)統(tǒng)計獨立,且CS和A(θ)均為滿秩矩陣,因此CH也是滿秩矩陣.所以,可以采用一維遠(yuǎn)場MUSIC算法估計近場信源的DOA.其中,基于一維遠(yuǎn)場MUSIC算法,a(θ)與Un之間的關(guān)系可以描述為[8]:
其中,Un表示由CH矩陣特征值分解之后得到的噪聲空間.因此,MUSIC算法的空間譜函數(shù)定義為:
3.1.3 構(gòu)造新“空間譜”
MUSIC算法空間譜的物理意義表示為:P(θ)不是真實的譜,可以理解為掃描向量a(θ)到噪聲子空間Un的歐幾里德距離的倒數(shù).由MUSIC算法空間譜的物理意義和aH(θ)Un=0可知,P(θ)函數(shù)在信源的DOA處存在尖峰(也可以認(rèn)為是斷點).利用此性質(zhì),對P(θ)求一階導(dǎo)數(shù),銳化譜峰,可以提高DOA估計的分辨率.因此,P(θ)的一階導(dǎo)數(shù)d(θ)定義為:
為方便計算,選擇合適的步長h可以用一階差分函數(shù)y(θ)代替一階導(dǎo)數(shù)d(θ),其中一階差分函數(shù)y(θ)被定義為:
其中,式(25)即是本文算法定義的新“空間譜”的表達(dá)式.
為了估計近場信源的距離,本文算法又構(gòu)造一個協(xié)方差矩陣R=E{y(t)y*(t)},對其特征值分解可以構(gòu)造一個二維空間譜,具體的表達(dá)式如下:
其中,U0表示協(xié)方差矩陣R=E{y(t)y*(t)}經(jīng)過特征值分解之后的噪聲子空間.在3.1節(jié)中獲得的DOA估計值{θk,k=1,…,K}被代入式(26)中,近場信源的距離可以被一一估計.因此,式(26)可以被重寫為:
在估計近場信源的距離時,同樣利用本文構(gòu)造的新“空間譜”估計近場信源的距離,公式如下:
本文算法的步驟如表1所示:
表1 本文算法的步驟
本節(jié)首先分析本文算法定義的新“空間譜”如何確定近場信源的DOA,然后分析本文算法的DOA估計分辨率.假設(shè)θ0是近場信源的DOA,由式(22),(23)和MUSIC算法的空間譜的物理意義可知,P(θ0)是一個較 大 的 正 值,P(θ0-h),P(θ0+h),P(θ0+2h)遠(yuǎn) 小 于P(θ0).因此,可以計算出y(θ0-h)是一個較大的正值,y(θ0+h)是一個較大的負(fù)值.所以,根據(jù)式(25)中y(θ)函數(shù)是否先有一個較大的正值,后有一個較大的負(fù)值來確定近場信源的DOA.此外,本文算法通過對空間譜函數(shù)求一階導(dǎo)數(shù),一定會先產(chǎn)生一個極大值,然后產(chǎn)生一個極小值.這反映到譜峰上是先產(chǎn)生一個正的譜峰,后又產(chǎn)生一個負(fù)的譜峰.由于本文算法在求空間譜一階導(dǎo)數(shù)的過程中,采用從-90°到90°的遞增順序,所以在譜峰搜索時會舍棄搜索到的負(fù)譜峰,這樣即不會對DOA估計結(jié)果造成影響,也不會造成DOA估計分辨率下降.當(dāng)θ1和θ2是兩個近場信源的DOA時,MUSIC算法的DOA估計分辨率定義為[7]:
其中,
基于式(29),本文算法的DOA估計分辨率為:
由式(31)可知,本文算法DOA估計分辨率近似等于MUSIC算法的一階導(dǎo)數(shù).由MUSIC算法的空間譜函數(shù)的物理意義可知,空間譜函數(shù)在DOA處是斷點,且其在DOA處的值遠(yuǎn)大于相鄰角度的值.因此,本文算法DOA估 計 分 辨 率φ(θ)高 于MUSIC的 估 計 分 辨 率φmusic(θ).此外,本文又通過實驗驗證了上述分析,實驗結(jié)果如圖2和圖3所示.
由圖2(a)可知,在DOA=(10°,13°),SNR=0 dB條件下,傳統(tǒng)的MUSIC方法未估計出兩個DOA,僅僅在角度等于10°處估計出一個譜峰,且不明顯.通過對5°~20°范圍的空間譜放大處理,顯示在圖2(a)的子圖中,發(fā)現(xiàn)在角度等于13°處的空間譜的譜峰也不明顯.但由圖2(b)可知,在DOA=(10°,13°),SNR=0 dB條件下,本文算法可以在角度等于10°和13°處估計出兩個DOA,且空間譜的譜峰明顯.因此,本文算法在SNR=0 dB條件下,可以有效的提高DOA的估計分辨率.
由圖3(a)可知,在DOA=(10°,13°),SNR=20 dB條件下,傳統(tǒng)的MUSIC方法估計出兩個DOA,且空間譜的譜峰較明顯.由圖3(b)可知,在DOA=(10°,13°),SNR=20 dB條件下,本文算法也可估計出兩個DOA,且空間譜的譜峰更明顯.但由于MUSIC算法在高SNR條件下,DOA估計分辨率已經(jīng)較高,所以本文算法在SNR=20 dB條件下,DOA估計分辨率和MUSIC算法是相似的.最終,由圖2和圖3可知,本文算法提高了低信噪比下的DOA估計分辨率.
圖2 DOA=(10°,13°),信噪比SNR=0 dB的對比圖
圖3 DOA=(10°,13°),信噪比SNR=20 dB的對比圖
仿真參數(shù)如表2所示,噪聲為高斯白噪聲,分別利用3個不同的近場信源對比了本文算法和文獻[19]中的算法.其中,3個近場信源分別由K1、K2、K3表示,K1是([0°,3λ],[1°,4λ]),K2是([10°,3λ],[13°,4λ]),K3是([20°,3λ],[25°,4λ]),DOA角度差Δθ分別為1°、3°、5°.DOA和距離估計結(jié)果如圖4~6所示.
②Stufflebeam,D.L.,“The CIPP Model for Evaluation”,International Handbook of Educational Evaluation,Springer Netherlands,2003.
表2 仿真參數(shù)表
在圖4中,當(dāng)Δθ為1°和3°時,文獻[19]的算法只估計出一個DOA.當(dāng)Δθ為5°時,文獻[19]算法估計兩個DOA.在圖5中,當(dāng)Δθ為1°時,本文算法估計出一個DOA,當(dāng)Δθ為3°和5°時,本文算法估計兩個DOA,且空間譜的譜峰較明顯.原因是當(dāng)信源的DOA相近時,信源之間的空間相關(guān)性較強.但本文算法利用空間譜函數(shù)在DOA處是斷點并具有較大值的物理特性和空間譜函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個新“空間譜”來減少DOA處的空間相關(guān)性,因此提高了DOA估計分辨率.
圖4 文獻[19]中DOA估計結(jié)果圖
圖5 本文算法的DOA估計結(jié)果圖
圖6(a)~(c)是文獻[19]的距離仿真結(jié)果,圖6(d)~(f)是本文算法的距離仿真結(jié)果圖.圖6(a)、圖6(b)、圖6(d)中僅有一個空間譜,而圖6(c)、圖6(e)、圖6(f)中有兩個空間譜.原因是文獻[19]對K1和K2近場信源只估計出一個DOA,對K3近場信源估計出兩個DOA,而本文算法對K1近場信源也只估計出一個DOA,而對K2和K3近場信源估計出兩個DOA.
圖6 文獻[19]和本文算法的距離估計結(jié)果圖
統(tǒng)計意義的均方根誤差被定義為DOA的估計精度.其中,近場信源的均方根誤差被定義為:
其中,T是蒙特卡洛實驗的次數(shù)(T=500),K是近場信源的個數(shù),βi,j是第j次蒙特卡洛實驗中αi,j的估計值.本文的算法和文獻[13,16,19]中的方法進行了比較.同時為了更好的驗證本文算法的性能,文獻[21]中CRB方法也被比較,結(jié)果如圖7~10所示.
在圖7和圖8中,隨著信噪比的增加,均方根誤差逐漸減少,近場信源的DOA和距離估計精度被逐漸提高.對于DOA估計,文獻[16,19]和本文算法的均方根誤差低于文獻[13]中的ESPRIT-Like算法,但都高于文獻[21]中CRB方法.當(dāng)信噪比低于10 dB時,本文算法的均方根誤差低于文獻[16,19]和ESPRIT-Like算法.當(dāng)信噪比高于10 dB時,本文算法和文獻[16,19]的均方根誤差是相似的.因為在低信噪比時,接收陣列的統(tǒng)計矩陣的托普利茲結(jié)構(gòu)被破壞.但本文算法首先利用陣列劃分和四階累積量構(gòu)造一個新的托普利茲矩陣,同時又利用空間譜函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)構(gòu)造一個新“空間譜”來減小DOA處的空間相關(guān)性.因此,低信噪比下,本文算法提高了近場信源的DOA的估計精度.
圖7 DOA的均方根誤差與信噪比關(guān)系圖
對于距離估計,當(dāng)信噪比低于10 dB時,本文算法的均方根誤差低于文獻[13,19],相似于文獻[16],當(dāng)信噪比高于10 dB時,文獻[16]的均方根誤差低于本文算法和文獻[13,19].因為對于距離估計,文獻[19]和本文算法的接收陣列的統(tǒng)計矩陣由協(xié)方差矩陣構(gòu)造的,而文獻[16]的接收陣列的統(tǒng)計矩陣由四階累積量構(gòu)造的.眾所周知,四階累積量矩陣可以有效的抵抗高斯噪聲,而協(xié)方差矩陣不具有此特性.所以,文獻[16]在高信噪比下的均方根誤差低于本文算法和文獻[13,19].此外,本文算法同樣采用新“空間譜”估計近場信源的距離,這可以提高低信噪比下距離的估計精度.因此,在低信噪比下,本文算法的均方根誤差相似于文獻[16],低于文獻[13,19].
在圖9和圖10中,隨著采樣快拍數(shù)的增加,均方根誤差逐漸減少,近場信源的DOA和距離估計精度被逐漸提高.對于DOA估計,本文算法的均方根誤差低于文獻[13,16,19],但均高于文獻[21]CRB方法.對于距離估計,本文算法的均方根誤差低于文獻[13,19],相似于文獻[16],但均高于文獻[21]中CRB方法.原因是圖9和10的仿真結(jié)果是在信噪比SNR=0 dB條件下得到的,由圖7可知,低信噪比下本文算法的DOA估計的均方根誤差低于文獻[13,16,19],由圖8可知,低信噪比下本文算法的距離估計的均方根誤差相似于文獻[16],低于文獻[13,19].因此,隨著采樣快拍數(shù)的增加,在低信噪比下,本文算法的DOA估計精度高于文獻[13,16,19],本文算法的距離估計精度相似于文獻[16],高于文獻[13,19].
圖9 DOA的均方根誤差與采樣快拍數(shù)關(guān)系圖
圖10 距離的均方根誤差與采樣快拍數(shù)關(guān)系圖
在計算復(fù)雜度分析中,考慮了幾個主要步驟:統(tǒng)計矩陣的構(gòu)建,特征值分解和譜峰搜索.為了更好的比較本文算法的計算復(fù)雜度,對比了本文算法和文獻[11,13,15,16,19]中算法,具體的計算復(fù)雜度結(jié)果如表3所示.
在表3中,M、K、L分別表示接收陣列的天線個數(shù),信源個數(shù)和采樣快拍數(shù).ng表示在DOA空間搜索的次數(shù),ng=180/Δ,其中Δ是搜索步長,Δ=0.01,nl表示在距離空間搜索的次數(shù)其中D是陣列中天線的孔徑,λ為波長.
表3 計算復(fù)雜度
本文算法的計算復(fù)雜度高于文獻[13]的ESPRITLike方法,相近于文獻[16]中的方法,低于文獻[11]中的2D-MUSIC算法和文獻[15,19]中的算法.原因是文獻[13]中的ESPRIT-Like算法不需要譜峰搜索,所以計算量是低于其他算法的,但從圖7和圖8可知,ESPRITLike算法的DOA和距離估計精度是遠(yuǎn)低于其它算法的;文獻[16]中算法只構(gòu)造了一個四階累積量,但增加了K次施密特正交化,所以計算量和本文相似,但從圖7可知,文獻[16]的DOA估計精度在低信噪比下低于本文算法;文獻[11]需要二維譜峰搜索,文獻[15,19]構(gòu)造的四階累計量的維度高于本文算法,而本文算法不需要二維譜峰搜索,只需要K+1次一維譜峰搜索(其中,一次譜峰搜索是對DOA估計,K次譜峰搜索是對距離估計).
本文基于四階累積量、協(xié)方差矩陣以及空間譜的物理性質(zhì)提出一種基于陣列劃分的近場DOA估計算法.通過理論分析驗證了該算法可以有效的提高DOA估計分辨率.仿真結(jié)果表明:該算法在低信噪比下提高了DOA的估計精度,且不需要二維譜峰搜索,只需K+1次一維譜峰搜索.