聶良益 丁華鋒 王君 畢樹生

(1. 湖北理工學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院, 黃石 435003; 2. 中國地質(zhì)大學(xué)(武漢) 機(jī)械與電子信息學(xué)院, 武漢 430074;3. 湖北工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院, 武漢 430068; 4. 北京航空航天大學(xué) 機(jī)械工程及自動(dòng)化學(xué)院, 北京 100083)

連桿機(jī)構(gòu)的曲柄指的是能夠作整周轉(zhuǎn)動(dòng)的連架桿,其被廣泛應(yīng)用于航空航天領(lǐng)域中,如動(dòng)力引擎中做往復(fù)運(yùn)動(dòng)的曲軸活塞機(jī)構(gòu)、勘探小車的行走裝置等。 對(duì)連桿機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)來說,判斷在桿件參數(shù)已知的連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)是否存在曲柄,可以設(shè)計(jì)出滿足功能和運(yùn)動(dòng)需求,且運(yùn)動(dòng)學(xué)性能優(yōu)良、無運(yùn)動(dòng)缺陷的機(jī)構(gòu)骨架,對(duì)機(jī)械設(shè)備的研制工作具有一定的指導(dǎo)意義。

連桿機(jī)構(gòu)的曲柄研究工作最早起源于對(duì)平面4R 連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的探討,提出了著名的Grashof 定理[1]。 曲柄存在條件的核心是鉸鏈轉(zhuǎn)角范圍的判定與機(jī)架的選擇,然而Grashof 定理僅僅對(duì)平面4R 連桿機(jī)構(gòu)適用,對(duì)于其他連桿機(jī)構(gòu)曲柄判定無法適用,這引起了廣大學(xué)者的研究興趣。張全明等[2]根據(jù)原動(dòng)件與機(jī)架組的極端條件和桿組適應(yīng)性條件提出2-DOF 平面五桿的雙曲柄存在的充要條件。 田漢民等[3]在Grashof 定理的基礎(chǔ)上研究了2-DOF 五桿機(jī)構(gòu)的曲柄存在情況。廖漢元等[4]應(yīng)用機(jī)架變換法導(dǎo)出了2-DOF 鉸鏈五桿機(jī)構(gòu)的全部類型,判斷了機(jī)構(gòu)的類型。 Tsai和Ting[5]依靠傳動(dòng)角的概念針對(duì)兩輸入相鄰情況下的平面五桿機(jī)構(gòu)提出了相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)準(zhǔn)則,用于連桿機(jī)構(gòu)的完全旋轉(zhuǎn)特性判別。 Ting[6]拓展了Grashof 定理,得到了關(guān)于單閉環(huán)N桿的曲柄存在條件,在重新定義機(jī)構(gòu)長(zhǎng)短桿的基礎(chǔ)上,提出3 條關(guān)于曲柄存在的準(zhǔn)則。 王君等[7-8]建立了連桿機(jī)構(gòu)的環(huán)路方程,通過判別式求解得到Stephenson 六桿、Watt 六桿、齒輪五桿機(jī)構(gòu)的死點(diǎn)情況,從而判斷其相應(yīng)機(jī)構(gòu)的完全旋轉(zhuǎn)特性。 郭曉寧和褚金奎[9]提出了距離曲線-限制線回路分析法,給出Stephenson II 型六桿機(jī)構(gòu)的曲柄存在條件。 宋杰等[10]提出了虛桿概念,將六桿機(jī)構(gòu)等效為四桿桿鏈,分析了平面3-DOF PRR-RRP 型六桿機(jī)構(gòu)的曲柄存在條件。 戴建生和Shah[11]提出了一種通過工作區(qū)間分解,將連桿機(jī)構(gòu)的可旋轉(zhuǎn)性特性用于分析串聯(lián)機(jī)械臂的定向能力的方法。

根據(jù)上述文獻(xiàn)可知,N 桿旋轉(zhuǎn)定理很好地解決了單閉環(huán)連桿機(jī)構(gòu)的曲柄判定問題,但針對(duì)僅含有轉(zhuǎn)動(dòng)副的多環(huán)路連桿機(jī)構(gòu)的曲柄存在問題,雖然已有不少研究方法,但其大多僅針對(duì)特定機(jī)構(gòu),適用范圍小,通用性較差。 因此,本文提出了分支圖識(shí)別法。 該方法通過利用連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分支識(shí)別圖與桿件的關(guān)系不等式對(duì)只含有轉(zhuǎn)動(dòng)副的單閉環(huán)、復(fù)雜多環(huán)路連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)的曲柄進(jìn)行判定,通用性好,適用范圍廣。

1 桿件關(guān)系不等式

1.1 Grashof 定理

以圖1 中所示平面4R 連桿機(jī)構(gòu)舉例說明,l1、l2、l3、l4分別表示桿1、桿2、桿3、桿4 的桿長(zhǎng)參數(shù),由Grashof 定理,即最短桿與最長(zhǎng)桿桿長(zhǎng)之和小于或等于中間桿的桿長(zhǎng)長(zhǎng)度之和(式(1)),可確定該平面4R 連桿機(jī)構(gòu)的曲柄存在情況。

圖1 平面4R 連桿機(jī)構(gòu)Fig.1 Planar four-bar linkage

最短桿的間隔桿為固定機(jī)架時(shí),為雙搖桿機(jī)構(gòu)(見圖2(a));最短桿相鄰的連桿為固定機(jī)架時(shí),為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)(見圖2(b));最短桿為固定機(jī)架時(shí),為雙曲柄機(jī)構(gòu)(見圖2(c))。

對(duì)于最短桿與最長(zhǎng)桿之和大于中間桿的長(zhǎng)度和,則無論連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)任何連桿被作為固定機(jī)架,該連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)均不存在曲柄,為雙搖桿機(jī)構(gòu);最短桿與最長(zhǎng)桿之和等于中間桿的長(zhǎng)度和,連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)存在運(yùn)動(dòng)失控的死點(diǎn)位置。 因此,上述2 種情況均不作討論。

圖2 中虛線為平面4R 連桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的極限位置,且各個(gè)機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)參數(shù)如表1 ～表3 所示。

圖2 平面4R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄存在情況Fig.2 Cranks of planar four-bar linkages

表1 圖2(a)雙搖桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)Table 1 Parameters of double rocker linkage in Fig.2(a)

表2 圖2(b)曲柄搖桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)Table 2 Parameters of crank-rocker linkage in Fig.2(b)

表3 圖2(c)雙曲柄機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)Table 3 Parameters of double crank linkage in Fig.2(c)

1.2 N 桿旋轉(zhuǎn)定理

Grashof 定理應(yīng)用對(duì)象單一,為解決這一缺陷,N 桿旋轉(zhuǎn)定理重新定義了長(zhǎng)短桿,并給出了僅含轉(zhuǎn)動(dòng)副的單閉環(huán)連桿機(jī)構(gòu)的曲柄判定準(zhǔn)則[6],以圖3 所示的2-DOF 5R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄判斷說明。

圖3 平面5R 連桿機(jī)構(gòu)Fig.3 Planar five-bar linkage

1.2.1N桿機(jī)構(gòu)桿件關(guān)系

1) 條件設(shè)定。 假定在閉環(huán)單鏈N桿機(jī)構(gòu)中,所有鉸接關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)副,規(guī)定所有桿全是簡(jiǎn)單二力桿,用li(i=1,2,…,n)表示連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)桿件的桿長(zhǎng),其大小為兩旋轉(zhuǎn)副中心的距離,且令連桿機(jī)構(gòu)中各桿件間桿長(zhǎng)關(guān)系滿足l1≤l2≤…≤ln-1≤ln。

2) 機(jī)構(gòu)裝配的充要條件。 在任意N(N≥3)連桿機(jī)構(gòu)中,桿長(zhǎng)間關(guān)系必須滿足非最長(zhǎng)桿的所有桿件桿長(zhǎng)之和大于或等于最長(zhǎng)桿桿長(zhǎng)時(shí),連桿機(jī)構(gòu)才能被成功裝配,即滿足如下不等式:

3) 定義連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)長(zhǎng)短桿。

①短桿。 在N桿機(jī)構(gòu)中,桿長(zhǎng)與最長(zhǎng)桿桿長(zhǎng)之和小于或等于其他桿件桿長(zhǎng)之和的連桿,也就是滿足如下不等式,即為短桿。

②長(zhǎng)桿。 在N桿機(jī)構(gòu)中,桿長(zhǎng)與最長(zhǎng)桿桿長(zhǎng)之和大于其他桿件桿長(zhǎng)之和的連桿,也就是滿足如下不等式,即為長(zhǎng)桿。

值得注意的一點(diǎn)是,當(dāng)n=3,則連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)每個(gè)桿均可作為長(zhǎng)桿。

1.2.2N桿機(jī)構(gòu)曲柄判斷定理

定理1 在閉環(huán)單鏈N桿機(jī)構(gòu)中有且僅有兩相鄰桿旋轉(zhuǎn)角度能達(dá)到0°與180°時(shí),兩桿之間才可能存在曲柄。

定理2 在閉環(huán)單鏈N桿機(jī)構(gòu)中短桿與N桿中其他任意連桿存在整轉(zhuǎn)副,即可能形成曲柄,若該連桿為連架桿,則其確定為該機(jī)構(gòu)的曲柄,長(zhǎng)桿不能與N桿中其他任意長(zhǎng)桿存在整轉(zhuǎn)副,即不能形成曲柄。

1.2.3 連桿機(jī)構(gòu)的3 種分類

由連桿機(jī)構(gòu)桿件滿足不同的桿長(zhǎng)關(guān)系,可以將閉環(huán)單鏈N桿機(jī)構(gòu)分成3 類:

1) 當(dāng)連桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)關(guān)系滿足不等式(5),為第Ⅰ類連桿。

由不等式(2)、(5)可推導(dǎo)出,對(duì)于屬于第Ⅰ類連桿機(jī)構(gòu)的桿件,也滿足l1+l2+ … +ln-3≤ln-2≤ln-1≤ln。 也就是說,第Ⅰ類連桿中有3 個(gè)長(zhǎng)桿,而任意兩長(zhǎng)桿之間的旋轉(zhuǎn)角度都不能達(dá)到0°與180°,即不存在桿件間共線與折疊的情況,依據(jù)定理1,若輸入在三長(zhǎng)桿兩端,則連桿機(jī)構(gòu)中無曲柄存在,換句話說,要想機(jī)構(gòu)可能存在曲柄,則至少有一個(gè)輸入在短桿上,如圖2(b)所示平面4R 曲柄搖桿機(jī)構(gòu)即為這種情況。

2) 當(dāng)連桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)件關(guān)系滿足不等式(6),為第Ⅱ類連桿。

由不等式(6)可得,在第Ⅱ類連桿機(jī)構(gòu)中,任意兩長(zhǎng)桿可能能達(dá)到共線或折疊的情況(180°或者0°),但是關(guān)節(jié)的旋轉(zhuǎn)角度范圍不能同時(shí)包含0°與180°,依據(jù)定理1,滿足該類條件的連桿機(jī)構(gòu)中無曲柄存在。

3) 當(dāng)連桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)件關(guān)系滿足等式(7),為第Ⅲ類連桿。

與第Ⅰ類連桿機(jī)構(gòu)對(duì)比,在第Ⅲ類連桿機(jī)構(gòu)中,由等式(7)可得,連桿機(jī)構(gòu)可能存在曲柄,但也可能存在使機(jī)構(gòu)失去控制的死點(diǎn)位置,因此一般不作討論。

1.2.4 2-DOF 5R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄判別

為了分析方便與裝配要求,2-DOF 5R 連桿機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)間關(guān)系需滿足如下條件:

圖4 為平面5R 連桿機(jī)構(gòu)相鄰桿滿足桿件間關(guān)系存在曲柄的可能情況。 依據(jù)定理1 和定理2,當(dāng)l5+l1≤l2+l3+l4時(shí),桿1 與任何桿相鄰都能形成整轉(zhuǎn)副(可能曲柄,進(jìn)一步確定,取決桿1是否為機(jī)構(gòu)的連架桿,下同);當(dāng)l5+l1＞l2+l3+l4時(shí),機(jī)構(gòu)內(nèi)部桿件間均無法形成曲柄;當(dāng)l5+l2≤l1+l3+l4時(shí),桿2 與任何桿相鄰都能形成整轉(zhuǎn)副;當(dāng)l5+l2＞l1+l3+l4時(shí),桿2 不能和其他長(zhǎng)桿形成曲柄;當(dāng)l5+l3≤l1+l2+l4時(shí),桿3 與任何桿相鄰都能形成整轉(zhuǎn)副;當(dāng)l5+l3＞l1+l2+l4時(shí),桿3 不能和其他長(zhǎng)桿形成曲柄;當(dāng)l5+l4≤l1+l2+l3時(shí),桿4 與任何桿相鄰都能形成整轉(zhuǎn)副;當(dāng)l5+l4＞l1+l2+l3時(shí),桿4 與桿5 不能形成曲柄。

圖4 平面5R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄判定流程Fig.4 Flowchart of crank judgement of planar five-bar linkage

圖5 為4 種平面5R 連桿機(jī)構(gòu)裝配實(shí)例,其尺寸參數(shù)如表4 ～表7 所示。 在圖5(a)、(b)中,桿長(zhǎng)間關(guān)系滿足l5+l2＜l1+l3+l4與l5+l3＜l1+l2+l4,因此,圖5 (a)中連桿機(jī)構(gòu)存在2 個(gè)曲柄與1 個(gè)整轉(zhuǎn)副,分別在關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)副A、E、B處。 圖5(b)中連桿機(jī)構(gòu)存在2 個(gè)曲柄與2 個(gè)整轉(zhuǎn)副,分別在關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)副A、E、B、D處。 圖5(c)中桿長(zhǎng)間關(guān)系滿足l5+l1＞l2+l3+l4,圖5 (c)中連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)無曲柄存在。 圖5(d)中桿長(zhǎng)關(guān)系滿足l5+l3＜l1+l2+l4與l5+l4＞l1+l2+l3,因此,圖5 (d)中連桿機(jī)構(gòu)存在1 個(gè)曲柄與3 個(gè)整轉(zhuǎn)副,分別在關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)副A、B、C、D。

圖5 平面5R 連桿機(jī)構(gòu)的曲柄Fig.5 Cranks of planar five-bar linkages

表4 圖5(a)平面5R 連桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)Table 4 Parameters of five-bar linkage in Fig.5(a)

表5 圖5(b)平面5R 連桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)Table 5 Parameters of five-bar linkage in Fig.5(b)

表6 圖5(c)平面5R 連桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)Table 6 Parameters of five-bar linkage in Fig.5(c)

表7 圖5(d)平面5R 連桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)參數(shù)Table 7 Parameters of five-bar linkage in Fig.5(d)

2 曲柄判定分支圖

分支識(shí)別圖由機(jī)構(gòu)的環(huán)路方程形成,包含連桿機(jī)構(gòu)所有的運(yùn)動(dòng)信息,一般用來解決機(jī)構(gòu)的分支與子分支識(shí)別問題[7-8,12-15],但本文中其被用于解決連桿機(jī)構(gòu)曲柄判定問題,因?yàn)闄C(jī)構(gòu)的分支識(shí)別圖只與機(jī)構(gòu)的桿長(zhǎng)參數(shù)有關(guān),與機(jī)構(gòu)輸入位置的選擇無關(guān),也就是使用曲柄判定分支圖識(shí)別法無需指定機(jī)構(gòu)的輸入關(guān)節(jié)。

圖6(a)、(b)為圖2(a)平面4R 連桿機(jī)構(gòu)關(guān)于關(guān)節(jié)角度θ2與關(guān)節(jié)角度θ3、θ4的分支識(shí)別圖。在圖6(a)中,關(guān)節(jié)角度θ2在[0°,A],[A,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),關(guān)節(jié)角度θ3可以在[0°,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),即整轉(zhuǎn)副存在旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)B處。 在圖6(b)中,關(guān)節(jié)角度θ2在[0°,C],[E,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),關(guān)節(jié)角度θ4分別對(duì)應(yīng)在[0°,D],[F,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),即不存在曲柄。 由以上分析可證實(shí)該連桿機(jī)構(gòu)為雙搖桿機(jī)構(gòu)。

圖6 平面4R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄分支識(shí)別圖Fig.6 Crank judgement of planar four-bar linkage with branch graph

圖6(c)、(d)為圖2(b)平面4R 連桿機(jī)構(gòu)關(guān)于關(guān)節(jié)角度θ2與關(guān)節(jié)角度θ3、θ4的分支識(shí)別圖。在圖6(c)中,關(guān)節(jié)角度θ2可以在[0°,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),關(guān)節(jié)角度θ3可以在[0°,G],[H,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),即曲柄存在旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)A處。 在圖6(d)中,關(guān)節(jié)角度θ2可以在[0°,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),關(guān)節(jié)角度θ4分別對(duì)應(yīng)在[0°,K],[J,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),也就是僅關(guān)節(jié)角度θ2能做整轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 綜上,該機(jī)構(gòu)為曲柄搖桿機(jī)構(gòu)。

圖6(c)、(d)為圖2(c)平面4R 連桿機(jī)構(gòu)關(guān)于關(guān)節(jié)角度θ2與關(guān)節(jié)角度θ3、θ4的分支識(shí)別圖。在圖6(e)中,關(guān)節(jié)角度θ2可以在[0°,U],[V,W],[X,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),關(guān)節(jié)角度θ3分別在[M,N],[0°,O]/[P,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)(均不能形成整轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng))。 在圖6(f)中,關(guān)節(jié)角度θ2可以在[0°,T],[T,360°]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),關(guān)節(jié)角度θ4分別對(duì)應(yīng)在[Z,360°],[0°,Z]范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng),即關(guān)節(jié)角度θ2、θ4能做整轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。 綜上,該機(jī)構(gòu)是雙曲柄機(jī)構(gòu)。

3 平面5R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄判定

圖7(對(duì)應(yīng)圖5(a)平面5R 連桿機(jī)構(gòu))為關(guān)節(jié)角度θ2與關(guān)節(jié)角度θ3、θ41、θ4、θ5的分支識(shí)別圖。 通過分 析 可 得,關(guān) 節(jié) 角 度θ2、θ3、θ41可 以 做整轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),而關(guān)節(jié)角度θ4、θ5只能做一定角度內(nèi)的往復(fù)運(yùn)動(dòng),因此該機(jī)構(gòu)的曲柄存在于關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)副E處。

圖7 平面5R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄分支識(shí)別圖(對(duì)應(yīng)圖5(a)平面5R 連桿機(jī)構(gòu))Fig.7 Crank judgement of planar five-bar linkage with branch graph (Fig.5(a))

圖8(對(duì)應(yīng)圖5(b)平面5R 連桿機(jī)構(gòu))為關(guān)節(jié)角度θ2與關(guān)節(jié)角度θ3、θ41、θ4、θ5的分支識(shí)別圖。通過分析可得,關(guān)節(jié)角度θ2、θ3、θ4、θ5可以做整周運(yùn)動(dòng),而關(guān)節(jié)角度θ41只能做[45°,320°]的往復(fù)運(yùn)動(dòng),因此該機(jī)構(gòu)的曲柄存在于關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)副E、A處。

圖8 平面5R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄分支識(shí)別圖(對(duì)應(yīng)圖5(b)平面5R 連桿機(jī)構(gòu))Fig.8 Crank judgement of planar five-bar linkage with branch graph (Fig.5(b))

圖9(對(duì)應(yīng)圖5(c)平面5R 連桿機(jī)構(gòu))為關(guān)節(jié)角度θ2與關(guān)節(jié)角度θ3、θ41、θ4、θ5的分支識(shí)別圖。通過分析可得,關(guān)節(jié)角度θ2、θ3、θ4、θ41、θ5均只能在一定角度范圍的往復(fù)運(yùn)動(dòng),因此該機(jī)構(gòu)內(nèi)曲柄不存在。

圖9 平面5R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄分支識(shí)別圖(對(duì)應(yīng)圖5(c)平面5R 連桿機(jī)構(gòu))Fig.9 Crank judgement of planar five-bar linkage with branch graph (Fig.5(c))

圖10(對(duì)應(yīng)圖5(d)平面5R 連桿機(jī)構(gòu))為關(guān)節(jié)角度θ2與關(guān)節(jié)角度θ3、θ41、θ4、θ5的分支識(shí)別圖。 通過分析可得,關(guān)節(jié)角度θ3、θ4、θ41、θ5可以做整轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),而關(guān)節(jié)角度θ2只能做一定角度范圍的往復(fù)運(yùn)動(dòng),因此該機(jī)構(gòu)的曲柄存在于關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)副A處。

圖10 平面5R 連桿機(jī)構(gòu)曲柄分支識(shí)別圖(對(duì)應(yīng)圖5(d)平面5R 連桿機(jī)構(gòu))Fig.10 Crank judgement of planar five-bar linkage with branch graph (Fig.5(d))

4 復(fù)雜多環(huán)路連桿機(jī)構(gòu)曲柄判定

復(fù)雜多環(huán)路連桿機(jī)構(gòu)是由多個(gè)簡(jiǎn)單的閉環(huán)單鏈耦合而成,如Stephenson 六桿、2-DOF 七桿機(jī)構(gòu)、1-DOF 八桿機(jī)構(gòu)等,其運(yùn)動(dòng)由多個(gè)環(huán)路耦合共同決定,運(yùn)動(dòng)情形較為復(fù)雜,曲柄問題難以研究。由連桿機(jī)構(gòu)分支識(shí)別可知,若多環(huán)連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)存在分支點(diǎn),即機(jī)構(gòu)可連續(xù)運(yùn)動(dòng)的區(qū)域被隔斷[8],也就是大多數(shù)多環(huán)連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)部是不存在曲柄的。反之,如何保證多環(huán)連桿機(jī)構(gòu)在輸入關(guān)節(jié)做整轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)成為一個(gè)難點(diǎn)。 針對(duì)這一問題,本文提出了關(guān)于2 條多環(huán)連桿機(jī)構(gòu)存在曲柄的充分條件。

充分條件1 在所有耦合環(huán)路鏈中,桿件間桿長(zhǎng)關(guān)系必須滿足閉環(huán)單鏈曲柄存在條件,且作整轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)存在位置重合。

充分條件2 在所有耦合環(huán)路鏈中,在對(duì)應(yīng)分支識(shí)別圖中不存在分支點(diǎn)。

僅含轉(zhuǎn)動(dòng)副的Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)是較為簡(jiǎn)單的多環(huán)路連桿機(jī)構(gòu),其由一個(gè)閉環(huán)4R 單鏈與一個(gè)閉環(huán)5R 單鏈耦合而成。 本文以僅含轉(zhuǎn)動(dòng)副的Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)為例,解釋復(fù)雜多環(huán)路連桿機(jī)構(gòu)的曲柄判定問題。 依據(jù)僅含轉(zhuǎn)動(dòng)副的Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)中輸入在不同環(huán)路鏈中其運(yùn)動(dòng)特性不同,將該機(jī)構(gòu)內(nèi)曲柄存在的問題按輸入在四鏈環(huán)路中及輸入在五鏈環(huán)路中分別討論。

1) 輸入在四鏈環(huán)路中

在圖11 所示Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)中,當(dāng)給定輸入關(guān)節(jié)角度為θ2時(shí),連桿機(jī)構(gòu)由一個(gè)四鏈環(huán)路ABCD與一個(gè)五鏈環(huán)路ABEFG耦合而成。 即除裝配條件外,四鏈環(huán)路ABCD與五鏈環(huán)路ABEFG中桿長(zhǎng)關(guān)系需滿足l41+l44＜l42+l43,l51+l52+l55＜l53+l54(l4i表示四鏈環(huán)路中的桿長(zhǎng),l5i表示五鏈環(huán)路中的桿長(zhǎng),i=1,2,3,4,5),且兩環(huán)路鏈中關(guān)節(jié)角度θ2轉(zhuǎn)動(dòng)范圍均為[0°,360°]。 在Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)分支識(shí)別圖中,不存在分支點(diǎn),即Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)的四鏈環(huán)路ABCD的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間被包含在五鏈環(huán)路ABEFG的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間內(nèi)部,連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)完全受四鏈環(huán)路的影響,如圖12 所示,參數(shù)如表8 所示。

圖11 Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)Fig.11 Stephenson six-bar linkage

由表8 中參數(shù)可得,四鏈環(huán)路ABCD中a2＞a3＞a1＞a4,且a1+a3＞a2+a4,令l44、l43、l42、l41分別為a2、a3、a1、a4,即l42+l43＞l44+l41,連桿機(jī)構(gòu)內(nèi)存在曲柄。 但在Stephenson 六桿中,a1(滿足不等式l44+l42＞l43+l41)與a2均為長(zhǎng)桿,其桿件間無法形成曲柄(見圖12)。

圖12 Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)曲柄分支識(shí)別圖(四鏈環(huán)路輸入)Fig.12 Branch graph for crank judgement of Stephenson six-bar linkage (input joint in four-bar loop)

表8 圖12 Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)對(duì)應(yīng)參數(shù)Table 8 Parameters of Stephenson six-bar linkage in Fig.12

如要關(guān)節(jié)輸入位置做整轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng),則a1與a2中需有短桿,又a2與五鏈環(huán)路ABEFG有關(guān),因此對(duì)調(diào)表8 中a4與a1參數(shù)。 在五鏈環(huán)路ABEFG中,a6＞a9≥a5＞a2＞a7且a9+a5＜a6+a2+a7(由圖8 灰色關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間所示,此時(shí)五鏈環(huán)路中也存在曲柄,但這是個(gè)例[16]不具有普適性),不滿足充分條件1,依照曲柄存在關(guān)系式與長(zhǎng)短桿定義,短桿兩端可能存在曲柄,因此五鏈環(huán)路ABEFG參數(shù)調(diào)整如表9 所示,分支識(shí)別圖如圖13 所示,可知連桿曲柄在關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)副A處。

圖13 Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)輸入θ2 曲柄分支識(shí)別圖(四鏈環(huán)路輸入)Fig.13 Crank judgement of Stephenson six-bar linkage using branch graph with input angle θ2

表9 圖13 Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)輸入θ2 曲柄對(duì)應(yīng)參數(shù)Table 9 Parameters of Stephenson six-bar linkage with input joint θ2 in Fig.13

2) 輸入在五鏈環(huán)路中

當(dāng)給定輸入關(guān)節(jié)角度為θ6時(shí),連桿機(jī)構(gòu)由2 個(gè)五鏈環(huán)路ABEFG與DCEFG耦合而成。 即除裝配條件外,五鏈環(huán)路ABEFG與DCEFG中桿長(zhǎng)關(guān)系需先滿足l151+l152+l155＜l153+l154,l251+l252+l255＜l253+l254(l15i、l25i表示五鏈環(huán)路中的桿長(zhǎng),i=1,2,3,4,5),且兩環(huán)路鏈中關(guān)節(jié)角度θ6轉(zhuǎn)動(dòng)范圍均為[0°,360°],在Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)分支識(shí)別圖中,不存在分支點(diǎn),即Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)的一個(gè)五鏈環(huán)路的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間被包含在另一五鏈環(huán)路的關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)空間內(nèi)部,連桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)完全受其中一個(gè)五鏈環(huán)路的影響,如圖14 所示,參數(shù)如兩環(huán)路鏈均不滿足必要充分條件1,依照曲柄存在關(guān)系式與長(zhǎng)短桿定義,且短桿兩端可能存在曲柄,兩五鏈環(huán)路參數(shù)調(diào)整如表11 所示,分支識(shí)別圖如圖15 所示。 可知,連桿曲柄在關(guān)節(jié)旋轉(zhuǎn)副G處。

圖14 Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)分支識(shí)別圖(五鏈環(huán)路輸入)Fig.14 Branch graph of Stephenson six-bar linkage with input angle in five-bar loop

圖15 Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)輸入θ6 曲柄分支識(shí)別圖(五鏈環(huán)路輸入)Fig.15 Crank judgement of Stephenson six-bar linkage using branch graph with input angle θ6

表10 圖14 Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)桿長(zhǎng)對(duì)應(yīng)參數(shù)Table 10 Parameters of Stephenson six-bar linkage in Fig.10

表11 圖15 Stephenson 六桿輸入θ5 曲柄對(duì)應(yīng)參數(shù)Table 11 Parameters of Stephenson six-bar linkage with input joint θ5 in Fig.11

5 結(jié) 論

1) 依據(jù)連桿機(jī)構(gòu)的分支識(shí)別圖和桿間關(guān)系,通過所提出的曲柄分支圖識(shí)別法,對(duì)幾類典型平面4R、5R、僅含有轉(zhuǎn)動(dòng)副的Stephenson 六桿機(jī)構(gòu)的曲柄判定分支識(shí)別圖進(jìn)行了繪制,并通過數(shù)據(jù)分析,得到了曲柄數(shù)目與位置,相比現(xiàn)行方法,可視化強(qiáng),簡(jiǎn)單直觀,便于理解。

2) 針對(duì)僅含轉(zhuǎn)動(dòng)副的復(fù)雜多環(huán)路連桿機(jī)構(gòu)的曲柄問題,提出曲柄存在的2 條充分條件,并以Stephenson 六桿為例說明,證明方法對(duì)復(fù)雜多環(huán)路連桿機(jī)構(gòu)的曲柄判定是有效的,彌補(bǔ)了現(xiàn)行方法的應(yīng)用的不足。

3) 通過對(duì)比分析了曲柄分支圖識(shí)別法與Grashof 定理、N 桿旋轉(zhuǎn)定理的應(yīng)用實(shí)例與應(yīng)用范圍,證明本文方法的適用范圍更廣,通用性更好。

4) 本文提出的曲柄分支圖識(shí)別法具有可視化強(qiáng)、通用性佳等優(yōu)點(diǎn),可以為單閉環(huán)、復(fù)雜多環(huán)連桿機(jī)構(gòu)的曲柄研究,提供一種研究思路,對(duì)含有復(fù)雜連桿機(jī)構(gòu)的機(jī)械裝備設(shè)計(jì)提供一定的理論指導(dǎo)。