劉銀

解三角形問題是高考中的基本題型之一，這幾年的全國卷往往以一道選擇題（或填空題）和一道解答題的形式出現(xiàn)，占有比較重要的地位，

解三角形問題往往與平面幾何、三角函數(shù)、平面向量、基本不等式等相關(guān)知識交匯，突出對轉(zhuǎn)換與化歸思想、數(shù)形幾何思想、數(shù)學(xué)建模思想及其應(yīng)用能力的考查，

解三角形問題的求解關(guān)鍵在于認(rèn)真審題、合理轉(zhuǎn)化、選擇合適的方法、優(yōu)化計(jì)算．

對于只涉及一個(gè)三角形的問題，合理利用正余弦定理可解決大多數(shù)此類問題．如果問題中涉及多個(gè)三角形，如何分析題設(shè)條件，尋找各個(gè)三角形的內(nèi)在關(guān)系，合理利用所學(xué)知識刻畫點(diǎn)線位置關(guān)系成為解題關(guān)鍵，本文擬例說筆者的認(rèn)識與思考．

1試題呈現(xiàn)

（廣東省佛山市2021屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測卷．18）如圖1，在梯形ABCD中，AB∥CD，

點(diǎn)評找到a，β的兩個(gè)關(guān)系即可求出兩個(gè)角．關(guān)鍵在于用平面幾何知識找到這兩個(gè)角的正切有比例關(guān)系．此法簡單，計(jì)算量低，但幾何關(guān)系不好找，學(xué)生不易察覺．

點(diǎn)評問題條件可歸結(jié)到△ABC，△BDC這兩個(gè)三角形中，這兩個(gè)三角形都只有一邊一角兩個(gè)已知條件，利用BC這條公共邊以及正弦定理可以得到角a的一個(gè)方程，思路清晰，但大部分學(xué)生難以想到，計(jì)算量也偏大，此法對于學(xué)生尋找變量關(guān)系以及鍛煉數(shù)學(xué)思維有比較好的價(jià)值，

解法3把題目條件集中到△ABC中，利用余弦定理可以得到邊角關(guān)系．

點(diǎn)評用斜率來表示點(diǎn)坐標(biāo)，AC⊥BD這個(gè)條件轉(zhuǎn)化為直線BD和直線AC的斜率乘積為一1．與解法4一樣，此法簡潔明了，題目條件轉(zhuǎn)化自然，計(jì)算量和思考量偏低，學(xué)生容易理解，只是引入的變量不同，學(xué)生更習(xí)慣解法4的變量引入，

點(diǎn)評 這個(gè)方法與上面的方法異曲同工，解法4引入高作為變量表示點(diǎn)坐標(biāo)，解法5用直線斜率表示點(diǎn)坐標(biāo)，解法6用角來表示點(diǎn)坐標(biāo)，這都是坐標(biāo)法中常用的變量．再利用斜率與傾斜角的關(guān)系得到需要的方程進(jìn)行求解，計(jì)算量偏低，是不錯(cuò)的解法，

點(diǎn)評 用向量可以刻畫把題目條件中的定比分點(diǎn)和垂直關(guān)系．這里還用到了向量處理平面幾何問題中的“基底法”．取一組基底CB， CD，把CE， BD用這組基底表示就可以實(shí)現(xiàn)問題的解答，思路清晰，但學(xué)生不容易想到；計(jì)算量不大，對學(xué)生思維鍛煉價(jià)值較大．

3 感悟反思

解四邊形的問題，本質(zhì)上還是解三角形的問題．如何把四邊形分割成可以利用的三角形是我們首先要解決的問題，在解法1，2，3中，分割的三角形是需要的三角形，然后需要尋找它們之間的關(guān)系，用正弦定理，余弦定理，兩角和的正切公式等解三角形，在解法4，5，6中，用坐標(biāo)來刻畫點(diǎn)線的位置關(guān)系，分別引入了高、斜率和角作為變量來表示點(diǎn)的坐標(biāo)，充分展示了坐標(biāo)法在這類問題中的應(yīng)用，解法思路簡潔，計(jì)算量低，體現(xiàn)了用解析法解決平面幾何的優(yōu)點(diǎn)，解法7利用向量，可以方便的表示直線上的定比分點(diǎn)和兩條直線的垂直關(guān)系，向量是平面幾何問題中的解題利器，最新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對平面向量與解三角形提出的要求是：會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學(xué)問題及其其他實(shí)際問題；能用余弦定理、正弦定理解決簡單的實(shí)際問題，以上的這些方法都是學(xué)生需要掌握的知識和方法．

數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要啟發(fā)學(xué)生尋求一題多解，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，充分挖掘題目條件，把題目條件轉(zhuǎn)化成我們熟悉的數(shù)學(xué)語句，靈活運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，不斷突破思維定勢的束縛，在探索比較中尋找解題的最優(yōu)方法，在高三復(fù)習(xí)的過程中，不能只注重題海戰(zhàn)術(shù)，更要引導(dǎo)學(xué)生在弄清概念、公式、定理的本質(zhì)的同時(shí)，感悟知識的內(nèi)在聯(lián)系，深入拓展，尋求通性通法，教師可以通過這樣的例題的講解，從整理上把握教學(xué)內(nèi)容，加強(qiáng)學(xué)法指導(dǎo)，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平，

參考文獻(xiàn)

[l]李英．一道解三角形題的解法探究和思考[J]中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（10）：57-58