廣東廣州市第八十六中學(xué)（510700）魏勇

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017 年版）》中提到，高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。教師應(yīng)將這項目標全面滲透到教學(xué)活動中，進而使學(xué)生的思維能力得到有效提升，使學(xué)生的潛力得到有效挖掘，使學(xué)生的發(fā)展需求得到滿足。

數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案是一種比較重要的學(xué)習方案，它能夠引導(dǎo)學(xué)生有針對性地學(xué)習，使學(xué)生的學(xué)習能力得到有效提升。對于學(xué)生的學(xué)習來說，導(dǎo)學(xué)案發(fā)揮著十分重要的作用，因此數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在導(dǎo)學(xué)案設(shè)計中有意識地落實核心素養(yǎng)。

下面以“線面垂直的判定”教學(xué)為例，談?wù)勅绾螌?shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)滲透到導(dǎo)學(xué)案設(shè)計中。

一、教學(xué)目標

1.利用直觀感知對直線與平面垂直的畫法形成正確的認識。

2.利用“直觀感知—動手操作—思辨論證”的認識方法對直線與平面垂直的定理進行判斷。

3.熟練掌握直線與平面垂直的判定方法。

4.能夠從實際生活中找出幾何圖形之間的聯(lián)系，提升邏輯思維能力和觀察能力。

二、教學(xué)過程

（一）發(fā)放導(dǎo)學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生預(yù)習

教師發(fā)放導(dǎo)學(xué)案，引導(dǎo)學(xué)生課前預(yù)習完成導(dǎo)學(xué)案并由小組合作檢驗，課堂上進行展示、質(zhì)疑，教師進行點評。

附：導(dǎo)學(xué)案（局部）

一、學(xué)習目標（略）

二、重點與難點

重點：直線與平面垂直的定義；

難點：直線與平面垂直的判定定理的探究。

三、學(xué)習過程

（一）直線與平面垂直的定義

有關(guān)概念：直線l叫平面α的__________，平面α叫作直線l的__________。直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫作__________。

（二）直線與平面垂直的判定定理

（三）例題講解

［例1］如圖3 所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，點M是PD的中點。求 證：（1）BD⊥平面PAC；（2）AM⊥平面PDC。

圖3

總結(jié)：

（1）證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明_____________；

（2）證明異面直線垂直轉(zhuǎn)化為證明_____________。

［例2］如圖4 三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點。

圖4

（1）求證：AC⊥平面VKB；

（2）求證：VB⊥AC。

思路：（1）

（二）創(chuàng)設(shè)情境，建構(gòu)概念

知識點：直線與平面垂直的定義。

復(fù)習1：直線與平面有幾種位置關(guān)系？

生1：平行、相交、線在面內(nèi)。

復(fù)習2：為什么沒有直線與平面垂直呢？

生2：垂直是相交的一種特殊情況。

引入課題：既然“垂直”那么重要，我們今天就來一起研究“直線與平面垂直”。

問題1：在陽光下對垂直插在地面上的旗桿AB及其在地面上的影子BC進行仔細的觀察，這時能夠觀察到隨著時間的變化，影子的位置也在不斷移動，而旗桿所在的直線AB與其影子所在的直線BC的夾角隨著時間的變化是不是也會產(chǎn)生變化？角度又是如何變化的？

生3：旗桿所在的直線AB與其影子所在的直線BC的夾角始終保持不變，都是直角。

問題2：旗桿AB和地面上任意一條不過旗桿底部B的直線m之間形成怎樣的位置關(guān)系？

生4：旗桿AB和地面上任意一條不過旗桿底部B的直線m都垂直。

問題3：通過旗桿AB和地面垂直、旗桿AB和地面上任意一條直線垂直關(guān)系的思考，哪位同學(xué)可以說出直線與平面垂直的定義？

生5：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直。直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面。直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫作垂足。

（三）實驗探究，操作確認

實驗探究：準備三角形紙片，如圖5，在△ABC的頂點A將紙片翻過來折起來，折痕AD，然后將其放到桌面上（BD，DC和桌面接觸）。

圖5

問題4：折痕AD與桌面一定垂直嗎？

生6：不一定。

問題5：怎樣翻折才能使折痕AD與桌面垂直？

學(xué)生7：折痕AD⊥BC時，AD與桌面垂直。（如圖6和圖7）

圖6

圖7

問題6：由折痕AD⊥BC，翻折之后的垂直關(guān)系A(chǔ)D⊥CD，AD⊥BD發(fā)生變化嗎？由此你能得到什么結(jié)論？

生8：由折痕AD⊥BC可知，翻折之后AD⊥CD，AD⊥BD，由此可以得到直線AD與桌面是垂直關(guān)系。

問題7：哪位同學(xué)可以總結(jié)歸納直線與平面垂直的判定定理？

生9：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

（四）數(shù)學(xué)引用，鞏固新知

［例1］如圖8，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，點M是PD的中點。求證：（1）BD⊥平面PAC；（2）AM⊥平面PDC。

圖8

思路：（1）要證BD⊥平面PAC，即證BD⊥AC（已知），BD⊥PA；

要證BD⊥PA，即證PA⊥面ABCD（已知）。

（2）要證AM⊥平面PDC，即證AM⊥PD，AM⊥CD；

要證AM⊥PD，即證PA=AD（已知）且PM=DM；

要證AM⊥CD，即證CD⊥面PAD。

總結(jié)：

（1）證明線面垂直轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；

（2）證明異面直線垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直。

設(shè)計意圖：理解直線與平面垂直的判定定理，掌握直線和平面垂直的本質(zhì)，即直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，從而將線面垂直問題轉(zhuǎn)換為線線垂直問題。線線垂直可分為共面垂直和異面垂直，共面垂直屬于平面幾何問題，異面垂直可轉(zhuǎn)化為線面垂直。通過倒推的方式讓學(xué)生理解立體幾何證明的思維模式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。

［例2］如圖9，三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC，K是AC的中點。

圖9

（1）求證：AC⊥平面VKB；（2）求證：VB⊥AC。

思路：（1）要證AC⊥平面VKB，即證AC⊥VK，AC⊥BK；

要證AC⊥VK，即證VA=VC，AK=CK（已知）；

要證AC⊥BK，即證BA=BC，AK=CK（已知）。

（2）要證VB⊥AC，即證AC⊥平面VKB（已知）。

設(shè)計意圖：理解并掌握共面垂直的常見類型，矩形、正方形的鄰邊，菱形的對角線，等腰三角形的中線等；了解異面直線垂直的證明方法。

三、導(dǎo)學(xué)案設(shè)計反思

（一）導(dǎo)學(xué)案的學(xué)習目標需立足“四基”

提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，要通過豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)基本思想、基本技能以及基本知識來實現(xiàn)。如果沒有“四基”，很難提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在設(shè)計導(dǎo)學(xué)案時，需要引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)基本知識形成全面的了解，能夠領(lǐng)悟其中蘊含的基本思想、基本技能等，只有這樣才能夠有效地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)直觀感知及已有經(jīng)驗（兩條相交直線確定一個平面），進行合情推理，獲得直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直。

（二）導(dǎo)學(xué)案需創(chuàng)設(shè)合適的情境

只有在合適的數(shù)學(xué)情境中，學(xué)生才能進行深度思考與交流，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)才能得到提升。本文主要圍繞直線與平面垂直的定義、直線與平面垂直的判定定理來設(shè)計導(dǎo)學(xué)案。學(xué)生通過完成導(dǎo)學(xué)案能夠使自身的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)得到顯著提升。教師需要結(jié)合學(xué)生的實際需求，為學(xué)生創(chuàng)建良好的學(xué)習環(huán)境，引導(dǎo)學(xué)生合理利用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)思想，解決數(shù)學(xué)學(xué)習中遇到的問題。只有創(chuàng)設(shè)合適的情境，學(xué)生才能夠?qū)⑿屡f知識聯(lián)系在一起，進而對新知識有更加全面的理解，同時激活已有經(jīng)驗，建立新舊知識之間的聯(lián)系。有研究者認為，學(xué)生只有在具體的情境中完成知識的建構(gòu)，才會認識到知識的價值，這是學(xué)科核心素養(yǎng)形成的前提。

（三）導(dǎo)學(xué)案應(yīng)重視探究活動

要提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，最重要的就是開展數(shù)學(xué)探究活動。本節(jié)課的導(dǎo)學(xué)案結(jié)合兩個探究活動展開設(shè)計。通過對地面和旗桿的位置關(guān)系進行觀察，進而總結(jié)出線面垂直的概念；通過對地面垂直和三角形折疊的折線之間的關(guān)系開展實驗，進一步總結(jié)出直線和平面垂直的判定定理。

教師要發(fā)揮主導(dǎo)作用，從任務(wù)確定到任務(wù)探究、任務(wù)分配、流程安排到活動組織、成果展示、結(jié)果評價等諸多環(huán)節(jié)，都要去設(shè)計和安排，保證探究活動的有效開展，減少探究的盲目性，避免課堂的無序性，準確把握學(xué)生探究學(xué)習的深度。

（四）導(dǎo)學(xué)案應(yīng)著力引導(dǎo)學(xué)生思考

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師組織學(xué)生展開數(shù)學(xué)活動，能使學(xué)生的思維能力得到提升，使學(xué)生懂得運用數(shù)學(xué)思維解決實際問題。教師應(yīng)該充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，采取多樣化的教學(xué)方式，促使學(xué)生更主動地學(xué)習。導(dǎo)學(xué)案的設(shè)計越貼近學(xué)生的思維，課堂就越能按照預(yù)設(shè)的主線前進。當然，有時也會遇到一些生成性問題，學(xué)生對某些例題可能會形成多種解題思路。學(xué)生學(xué)習過程中的生成性問題都是由學(xué)生原有經(jīng)驗與新知識之間的沖突形成的，是非常寶貴的教學(xué)資源。閱讀自學(xué)、動手實踐、獨立思考、自主探究、合作交流、展示質(zhì)疑等都是導(dǎo)學(xué)案的學(xué)習方式，教師應(yīng)通過多種方式引導(dǎo)學(xué)生思考，以促進學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展。