四川宜賓市敘州區(qū)第二中學(xué)校（644600）嚴(yán)肅

（注：當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)弦交于同支時(shí)也適合此公式；拋物線的焦點(diǎn)弦同樣適合，只是在拋物線中離心率取1即可，其證明同橢圓。）

點(diǎn)評(píng)：本題是直線與橢圓的綜合題，通過(guò)向量的關(guān)系求坐標(biāo)。解法一，由橢圓的方程可得到B，F(xiàn)的坐標(biāo)，求出直線BF的方程，與橢圓聯(lián)立求出A的坐標(biāo)，進(jìn)而求出向量，由題意得到結(jié)果。不難看出，這種傳統(tǒng)解法計(jì)算煩瑣，容易出錯(cuò)。而解法二則直接通過(guò)公式，兩步得出結(jié)果，省去了繁雜的計(jì)算。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的性質(zhì)，涉及向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，考查學(xué)生的運(yùn)算能力。解法一通過(guò)焦點(diǎn)三角形，利用橢圓的定義以及余弦定理，再利用向量坐標(biāo)，計(jì)算煩瑣，容易出錯(cuò)。而解法二巧妙，易得結(jié)果。

小結(jié)：這兩道題主要考查的是圓錐曲線焦點(diǎn)弦所在直線的傾斜角和離心率以及焦半徑之間的關(guān)系，運(yùn)用上述結(jié)論1，省去了繁雜的計(jì)算。

（注：過(guò)焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)所在軸的焦點(diǎn)弦稱為通徑。橢圓和雙曲線的通徑長(zhǎng)是，拋物線的通徑長(zhǎng)是2p。雙曲線的焦點(diǎn)弦交于同支時(shí)也適合此公式，使用時(shí)為保證弦長(zhǎng)為正數(shù)，加上絕對(duì)值即可；拋物線的焦點(diǎn)弦同樣適合，只是在拋物線中離心率取“1”即可，其證明同橢圓。）

［例3］已知橢圓C的焦點(diǎn)為F1(-1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)F2的直線與C交于A，B兩點(diǎn)。若|AF2|=2|F2B|，|A B|=|BF1|，則C的方程為（）。

圖6

解法一：由已知可設(shè)|F2B|=n，則|AF2|=2n，|BF1|=|AB|=3n，由橢圓的定義有2a=|BF1|+|BF2|=4n，則|AF1|=2a-|AF2|=2n，在△AF1B中，由余弦定理，得

在△AF1F2中，由余弦定理得

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線和橢圓的基本性質(zhì)以及橢圓的定義、橢圓的方程和余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。解法一通過(guò)設(shè)|F2B|=n，利用橢圓的定義分別表示出|AF2|=2n，|B F1|=|AB|=3n，又在△AF1B與△AF1F2中利用余弦定理得出n的值，從而求出a的值，再利用b2=a2-c2，最后得到所求方程。整個(gè)過(guò)程計(jì)算量太大，對(duì)比解法二，利用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，大大減少了運(yùn)算量。顯然對(duì)于考生來(lái)說(shuō)，運(yùn)用解法二更好。

［例4］斜率為的直線過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則||AB=___________。

解法一：∵拋物線的方程為y2=4x，∴拋物線的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為F(1,0)，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力。解法一和解法二都是由題意求出直線的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用拋物線的性質(zhì)轉(zhuǎn)化求解得出結(jié)果，而解法三則只用了一下弦長(zhǎng)公式就一步到位，真正達(dá)到“小題小做”的目的。

［例5］已知拋物線C：y2=2px(p＞0,p≠4)，過(guò)點(diǎn)A(2,0)且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點(diǎn)。

（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為k1，k2。若k1+k2=0，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（Ⅱ）過(guò)拋物線C的焦點(diǎn)F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點(diǎn)，求的值。

解：（Ⅰ）略。

（Ⅱ）解法一：由題意y2=2px與y=k(x-2)，

聯(lián)立可得k2x2-(4k2+2p)x+4k2=0，即xQ+

如圖8 所示，不妨設(shè)∠MFA=θ，即有k=tanθ，因?yàn)镻Q ∥MN，即∠PAP′=θ。

圖8

解法二：如圖8 所示，不妨設(shè)∠MFA=θ，即有k=tanθ因?yàn)镻Q ∥MN，即∠PAP′=θ。

小結(jié)：這兩道題主要考查的是圓錐曲線焦點(diǎn)弦所在直線的傾斜角和焦點(diǎn)弦之間的關(guān)系，解這類題型的方法有多種，運(yùn)用結(jié)論2，無(wú)疑省去了繁雜的計(jì)算，很容易就能得出結(jié)果。