楊金顯，劉鵬威

(河南理工大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，河南 焦作 454000)

隨著石油鉆井和油氣勘探技術(shù)的不斷發(fā)展，工程中對(duì)井眼軌跡精確度的要求也不斷提高。由于外界環(huán)境的影響，工程實(shí)際軌跡常常偏離設(shè)定軌跡，這就需要進(jìn)行實(shí)時(shí)測量，擬合出真實(shí)的軌跡曲線[1-2]，進(jìn)而調(diào)整方位。由于測斜時(shí)只能獲得一系列離散測點(diǎn)處的井深、井斜角、方位角等基本參數(shù)，無法還原各測段內(nèi)井眼軌跡，因此需要基于假設(shè)條件和數(shù)學(xué)模型來計(jì)算井眼軌跡的空間坐標(biāo)、彎曲及扭轉(zhuǎn)形態(tài)等參數(shù)[3-4]。

眾多研究人員將研究重點(diǎn)放在井眼軌跡形態(tài)理論上，他們將測段或者整個(gè)井段假設(shè)為一種軌跡模型，例如圓柱螺線法的軌跡模型、自然參數(shù)曲線的軌跡模型、空間圓弧的井眼軌跡模性[5-7]等。文獻(xiàn)[8]在等變圓柱螺線軌跡模型的基礎(chǔ)上提出了非等變圓柱螺線的井眼軌跡模型，以求更好地適應(yīng)井眼軌跡的變化。上述軌跡的計(jì)算方法均假設(shè)測段為單一的井眼軌跡模型，但是在實(shí)際的鉆進(jìn)過程中，實(shí)際的井眼軌跡不可能總與設(shè)計(jì)的軌跡模型完全吻合，因此單一的軌跡模型會(huì)使井眼軌跡的計(jì)算產(chǎn)生較大的模型誤差[9-10]。

文獻(xiàn)[10～14]對(duì)不同的井眼軌跡模型，例如自然曲線模型[10]、最小曲率模型[11]、圓柱螺線模型[12]使用數(shù)值積分法進(jìn)行分析，并推導(dǎo)出對(duì)應(yīng)模型的數(shù)值積分計(jì)算式。這種方法在一定程度上提高了井眼軌跡的計(jì)算精度，但是計(jì)算過程存在假設(shè)的模型誤差。文獻(xiàn)[14]提出將測段平均分為多條直線段，再對(duì)各直線段進(jìn)行特殊積分來計(jì)算井眼軌跡。這種方法雖然對(duì)軌跡中間進(jìn)行分段，但是分段方式存在較大的主觀性。

上述軌跡計(jì)算方法采用單一軌跡模型求取井眼軌跡，獲得的結(jié)果精度較低，軌跡分段的主觀性較大。針對(duì)這些問題，本文提出了基于磁慣性測量的分段式井眼軌跡測算方法。本文在分析不同井眼軌跡模型的基礎(chǔ)上構(gòu)造了統(tǒng)一的測點(diǎn)參數(shù)反推表達(dá)式，進(jìn)而設(shè)計(jì)了基于磁慣性測量的井眼軌跡分段式測算方法。該方法首先對(duì)井眼軌跡進(jìn)行一次軌跡模型識(shí)別，在一次軌跡模型約束下生成分測點(diǎn)，再通過磁慣性測量數(shù)據(jù)對(duì)分測點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行校正；然后，根據(jù)分測點(diǎn)的井斜角和方位角變化率對(duì)井眼軌跡進(jìn)行自適應(yīng)分段，再對(duì)分段后的井眼軌跡進(jìn)行模型識(shí)別，并根據(jù)分段識(shí)別的井眼軌跡模型對(duì)軌跡進(jìn)行計(jì)算，最終獲得井眼軌跡的坐標(biāo)增量。算法流程如圖1所示。

圖1 磁慣性輔助井眼軌跡分段計(jì)算方法流程圖

1 磁慣性測量原理

為求取井眼軌跡，需要根據(jù)測量數(shù)據(jù)求出不同測量點(diǎn)的井斜角、方位角。目前，最常用的方法是通過加速度計(jì)和磁強(qiáng)計(jì)的測量數(shù)據(jù)，由姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣推導(dǎo)出井斜角和方位角[15-19]。

當(dāng)鉆具穩(wěn)定或者靜止時(shí)，加速計(jì)的輸出與姿態(tài)轉(zhuǎn)換陣的關(guān)系為

(1)

同理，磁強(qiáng)計(jì)的輸出與姿態(tài)轉(zhuǎn)換陣的關(guān)系為

(2)

式中，mx、my、mz為磁強(qiáng)計(jì)測量值；當(dāng)?shù)卮艌鰪?qiáng)度為m0；地磁方向與磁北方向的磁傾角夾角為β。

根據(jù)式(1)、式(2)和姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，可求出井斜角和α方位角φ的表達(dá)式。

(3)

(4)

2 井眼軌跡模型與分測點(diǎn)參數(shù)反推公式

井眼軌跡模型的識(shí)別過程需要求取測段內(nèi)井眼軌跡模型的撓曲參數(shù)。不同井眼模型的井斜角、井斜變化率和方位變化率等撓曲參數(shù)的計(jì)算方法不同，因此必須對(duì)不同模型中井斜角、方位角的反推計(jì)算式進(jìn)行統(tǒng)一化表示，才能對(duì)不同井眼軌跡模型使用統(tǒng)一的方法表示。

2.1 常用軌跡模型

2.1.1 自然參數(shù)模型

自然參數(shù)模型的特征參數(shù)是井斜變化率和方位角變化率。井斜變化率和方位角變化率分別保持為常數(shù)，井斜角和方位角呈線性變化[5]。

井斜變化率kα和方位角變化率kφ的表達(dá)式記為

(5)

(6)

式中，αi、φi、Li分別表示i測段的井斜角、方位角和井深，則有

α=αi-1+kαΔL

(7)

φ=φi-1+kφΔL

(8)

ΔL=Li-Li-1

(9)

工具面角ω的預(yù)測表達(dá)式如式(10)所示。

(10)

2.1.2 空間圓弧模型

井眼軌跡的空間圓弧模型假設(shè)井眼軌跡為空間斜平面內(nèi)的圓弧線[6]。該模型的特征參數(shù)為井眼曲率和初始工具面角

(11)

(12)

式中，Ki，i-1為第i測段的彎曲角的變化率；εi，i-1表示測段的彎曲角[16～17]；ωi-1為測段的初始工具面角，即測段的上一測點(diǎn)的工具面角。

根據(jù)上式，可進(jìn)一步求得該模型下井深L處的井斜角α、方位角φ和工具面角ω，如式(13)～式(15)所示。

cosα=cosαi-1cos-sinαi-1cosωi-1sin(kεΔL)

(13)

(14)

(15)

2.1.3 圓柱螺線模型

圓柱螺線模型假設(shè)井眼軌跡在垂直剖面圖和水平投影圖上均為圓弧，其特征參數(shù)是井眼軌跡在垂直剖面和水平投影圖上的曲率，分別記為

(16)

(17)

進(jìn)而求得井深L處的井斜角、方位角和預(yù)測工具面角。

α=αi-1+kvΔL

(18)

(19)

(20)

2.2 分測點(diǎn)參數(shù)反推公式

將井眼軌跡測量中井斜角和方位角用向量表示，稱為測點(diǎn)向量，即x=[α，φ]T。不同軌跡模型的計(jì)算式統(tǒng)一表示為

(21)

(22)

式中，fM，α和fM，φ分別表示對(duì)應(yīng)模型井斜角和方位角的反推函數(shù)關(guān)系式。將式(21)和式(22)寫成測點(diǎn)向量的表達(dá)式，如式(23)、式(24)所示。

(23)

ω=fω(x，xi-1)

(24)

3 分測點(diǎn)參數(shù)校正

3.1 一次軌跡模型約束

鉆進(jìn)環(huán)境對(duì)井眼軌跡測量有一定的影響，使得實(shí)際井眼軌跡與設(shè)計(jì)的井眼軌跡無法完全吻合。工程中采用工具面角識(shí)別法對(duì)軌跡模型進(jìn)行識(shí)別，即通過測段端點(diǎn)的計(jì)算工具面角與測量的工具面角的差異程度，間接地表示對(duì)應(yīng)模型的差異度。本文將僅使用測段兩端點(diǎn)的井眼軌跡模型識(shí)別的過程稱為一次井眼軌跡模型識(shí)別。由于一次井眼軌跡模型識(shí)別忽略了測段中間點(diǎn)的信息，因此軌跡模型與實(shí)際的軌跡存在誤差。本文采用工具面角間接表示該誤差，并將其稱為對(duì)應(yīng)模型差異度，用difCM表示，單位為(°)·m-1，表示對(duì)應(yīng)模型在該測段上每米的平均誤差度數(shù)。

設(shè)井眼軌跡有n個(gè)測段，那么對(duì)井眼軌跡模型識(shí)別參數(shù)定義為

(25)

式中，?為鉆具測量的工具面角；ω為對(duì)應(yīng)模型的理論工具面角；Lj,0和Lj,1分別為第j測段中的上測點(diǎn)井深和下測點(diǎn)井深，二者之差為測段的井深變化量。

3.2 一次軌跡模型約束的分測點(diǎn)

根據(jù)磁慣性測量數(shù)據(jù)中的井深變化量，將測段分成n個(gè)不完全相同的分測段，用ΔLk表示，其中k=1,2,3,…,n。將井深變化量代入式(24)中，可以求得井深Lk對(duì)應(yīng)分測點(diǎn)的井斜角和方位角

x′k=fα,φ(xk-1,ΔLk)

(26)

式中，x′=[α′,φ′]T，表示一次軌跡模型約束下分測點(diǎn)的井斜角和方位角的向量。為了清晰地表示井斜角和方位角的反推過程，將其標(biāo)量形式表示為如下計(jì)算式。

α′k=fM,α(αk-1,φk-1,ΔLk)

(27)

φ′k=fM,φ(αk-1,φk-1,ΔLk)

(28)

3.3 分測點(diǎn)校正估計(jì)

本文根據(jù)磁慣性測量數(shù)據(jù)中的井深變化量和基于一次識(shí)別的軌跡模型的約束求取井眼軌跡的分測點(diǎn)。在對(duì)一次識(shí)別的軌跡模型進(jìn)行計(jì)算時(shí)，并未考慮測段內(nèi)軌跡的實(shí)際情況，因此一次軌跡約束的分測點(diǎn)向量包含井眼軌跡模型誤差和井深變化量的隨機(jī)誤差。將井眼軌跡的磁慣性數(shù)據(jù)與分測點(diǎn)數(shù)據(jù)相結(jié)合可以估計(jì)出精確的分測點(diǎn)數(shù)據(jù)。

由于鉆具在鉆進(jìn)過程中具有慣性，即鉆具的方位和傾角都是一個(gè)漸變的過程，因此測段中相鄰的兩個(gè)分測點(diǎn)的模型誤差近似為相同，則可以通過第k個(gè)分測點(diǎn)的估計(jì)向量與k個(gè)分測點(diǎn)的一次軌跡約束向量之間的誤差來表示第k+1個(gè)分測點(diǎn)的誤差。

第k個(gè)分測點(diǎn)的估計(jì)向量與一次軌跡約束向量之間的誤差用e′x,k表示。

(29)

通過以上描述，分測點(diǎn)向量與真實(shí)分測點(diǎn)向量之間的關(guān)系可以表示成

(30)

式中，wk為井深變化量的隨機(jī)誤差噪聲，為高斯白噪聲，wk～N(0,Ek)。

3.3.1 系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式

根據(jù)上述描述建立分測點(diǎn)向量的狀態(tài)空間表達(dá)式

(31)

式中，F(xiàn)k為系統(tǒng)矩陣；Bk為輸入矩陣；e′x,k為系統(tǒng)的粗模型誤差；wk-1為誤差的噪聲向量，wk-1～N(0,Ek-1)；vk為量測噪聲，vk～N(0,Qk)。

3.3.2 分測點(diǎn)的卡爾曼濾波校正

時(shí)間更新過程即為分測點(diǎn)求取過程和初步校正的過程，其中初步校正是對(duì)分測點(diǎn)向量去除模型誤差的過程。

(32)

初步校正過程是對(duì)一次軌跡模型約束的分測點(diǎn)的軌跡模型誤差進(jìn)行校正的過程，即

(33)

通過上述關(guān)系式，可以推導(dǎo)出分測點(diǎn)向量先驗(yàn)估計(jì)的協(xié)方差為式(34)。

(34)

量測更新的過程即磁慣性測量數(shù)據(jù)對(duì)分測點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行校正的過程。磁慣性測量數(shù)據(jù)是由磁慣性測量隨鉆測量系統(tǒng)測得的地磁信息和重力信息。通過姿態(tài)解算的方法得到分測點(diǎn)對(duì)應(yīng)井深的測點(diǎn)數(shù)據(jù)，用zk表示。

第k個(gè)分測點(diǎn)的測量值的新息為

(35)

其中，新息ezk表示磁慣性測量數(shù)據(jù)與先驗(yàn)分測點(diǎn)數(shù)據(jù)之間的誤差量。

第k個(gè)分測點(diǎn)的量測更新過程為

(36)

(37)

(38)

4 井眼軌跡分段計(jì)算

實(shí)際井眼軌跡為一條空間曲線，可以通過空間的曲線和直線組合來表示。為了減少計(jì)算量和模型的選擇過程，設(shè)置井斜角和方位角的角度變化界限值(Boundary of Angle Change)分別為boaα和boaβ。當(dāng)相鄰兩分測段中井斜角變化率或方位角的變化率之差的絕對(duì)值超過對(duì)應(yīng)模型允許的界限值時(shí)，測段的軌跡模型發(fā)生改變。

(39)

式中，kα,k-1和kα,k分別為相鄰兩分測段的前后分測段井斜角變化率；kφ,k-1和kφ,k分別為相鄰兩分測段的前后方位角變化率。

將超限的測點(diǎn)作為分段的分界點(diǎn)進(jìn)行分段，并對(duì)分測段通過工具面角模型識(shí)別法進(jìn)行軌跡模型識(shí)別。然后，根據(jù)識(shí)別結(jié)果，按照井眼軌道技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)中[21]對(duì)應(yīng)軌跡模型增量的計(jì)算方法進(jìn)行計(jì)算。

5 實(shí)驗(yàn)與算法驗(yàn)證

模擬鉆井實(shí)驗(yàn)通過隨鉆測量樣機(jī)設(shè)備進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。隨鉆測量樣機(jī)中，采用由IMU(Inertial Measurement Unit)與磁強(qiáng)計(jì)組合的測量單元采集鉆井?dāng)?shù)據(jù)。測量單元如圖2所示，包含IMU、磁強(qiáng)計(jì)、供電單元以及處理器。

圖2 隨鉆測量單元

為了能夠清楚地描述實(shí)驗(yàn)結(jié)果，將鉆井樣機(jī)與實(shí)際鉆井設(shè)備對(duì)比，并將采集數(shù)據(jù)中的井深與坐標(biāo)增量進(jìn)行1∶18的比例尺換算。隨鉆測量樣機(jī)設(shè)備采樣頻率為1 s，在鉆進(jìn)的過程中采集角速度、加速度及地磁數(shù)據(jù)。為模擬實(shí)際鉆井過程中的停鉆狀態(tài)，樣機(jī)設(shè)備每隔約100 s停鉆，此時(shí)可采集靜態(tài)測量數(shù)據(jù)。

實(shí)驗(yàn)時(shí)，將樣機(jī)設(shè)備按照設(shè)計(jì)的軌跡方向鉆進(jìn)20 m的井深，并進(jìn)行一定的避障操作，即增降斜或增減方位操作。樣機(jī)鉆進(jìn)的20 m井深對(duì)應(yīng)360 m的實(shí)際井深(下文中直接以比例尺變換的實(shí)際井深為參考數(shù)據(jù))，期間進(jìn)行13次停鉆操作。本文選取鉆進(jìn)過程中100～180 m的測段進(jìn)行算法分析。

算法驗(yàn)證分為兩部分進(jìn)行：(1)算法的實(shí)例分析。以測段的部分?jǐn)?shù)據(jù)為例，用數(shù)據(jù)表格的方式驗(yàn)證本文算法；(2)軌跡圖分析。將測段的數(shù)據(jù)帶入本文算法，以軌跡圖的形式進(jìn)行分析。

5.1 算法實(shí)例分析

5.1.1 一次井眼軌跡模型識(shí)別

首先將測段中井斜角、方位角和井深帶入計(jì)算式中求取井眼軌跡模型，計(jì)算每個(gè)模型對(duì)應(yīng)下的工具面角，計(jì)算結(jié)果如表1所示。本文用a、b、c表示自然參數(shù)模型、圓柱螺線模型和空間圓弧模型對(duì)應(yīng)的計(jì)算工具面角。

表1 一次井眼軌跡模型識(shí)別

將計(jì)算工具面角和測量工具面角代入對(duì)應(yīng)模型差異程度的計(jì)算式中，計(jì)算每個(gè)模型的差異度。經(jīng)過計(jì)算，自然參數(shù)模型差異度為0.267°·m-1，圓柱螺線模型差異度為0.903°·m-1，空間圓弧模型差異度為1.482°·m-1，因此取自然參數(shù)模型為一次井眼軌跡模型。

5.1.2 分測點(diǎn)生成與校正

對(duì)測段的模型差異度進(jìn)行計(jì)算，如表2所示。從表2中可以看出，對(duì)應(yīng)自然參數(shù)模型的測段模型差異度中，井深為145～160 m測段的差異度較大，因此在實(shí)例分析中，僅對(duì)該測段進(jìn)行分析。

表2 測段模型差異度

由前文可知，在一次井眼軌跡識(shí)別中確定的一次估計(jì)模型為自然參數(shù)模型，故在此模型的約束下，根據(jù)慣性測量單元中采樣的井深變化量生成分測點(diǎn)(井深變化量為0.3～0.6 m，這里為了減少表格的篇幅，僅將其中的關(guān)鍵點(diǎn)呈現(xiàn)在表格中)，并通過磁慣性解算的參數(shù)校正分測點(diǎn)參數(shù)，校正結(jié)果如表3所示。將表3中校正后分測點(diǎn)數(shù)據(jù)帶入式(35)中，可以發(fā)現(xiàn)在井深為152.0 m處，方位角變化率差值大于該段的模型差異度。從表3的數(shù)據(jù)中也可以看出，在152.0 m的井深位置，方位角由增大變?yōu)闇p小，因此判斷井眼軌跡模型在此處發(fā)生變化，表中*表示分測點(diǎn)對(duì)應(yīng)井深。

表3 145～160 m測段的分測點(diǎn)校正數(shù)據(jù)

5.1.3 軌跡分段模型識(shí)別

根據(jù)校正后的井斜角和方位角計(jì)算各段對(duì)應(yīng)模型下的工具面角，分別用a、b、c表示，計(jì)算結(jié)果如表4所示，空間圓弧模型中第一個(gè)分測點(diǎn)的工具面角為給出值。

將表4中工具面角的測量值與軌跡模型的工具面角的計(jì)算值代入式(22)，求取各分測段3模型差異度a1、b1、c1以及分測段的累積模型差異度a2、b2、c2，計(jì)算結(jié)果如表5所示。

表4 分測點(diǎn)工具面角計(jì)算

表5 測段的模型差異度

從表5中可以看出，在井深152.0 m處測段的模型差異度和分測段累積模型差異度發(fā)生了明顯的變化，證明本文提出的分段方式是正確的。從分測段累積的模型差異度可以看出，井深為145.0～152.0 m的測段的井眼軌跡模型為自然參數(shù)模型，而井深為152.0～160.0 m的測段的井眼軌跡模型為圓柱螺線模型。

5.1.4 軌跡誤差分析

不同算法的坐標(biāo)增量計(jì)算結(jié)果如表6所示。表6中數(shù)據(jù)參考值為測井設(shè)備在鉆井之后進(jìn)行測量的數(shù)據(jù)。絕對(duì)誤差是指北、東、地坐標(biāo)增量與數(shù)據(jù)參考值之差的平方和的平方根。

表6 軌跡計(jì)算結(jié)果

通過分析表6數(shù)據(jù)可得，與單一軌跡模型算法相比，本文算法的坐標(biāo)增量計(jì)算結(jié)果精度較高，絕對(duì)誤差從單一模型算法的0.840 m降低至0.146 m，表明對(duì)軌跡分段進(jìn)行不同軌跡模型的計(jì)算能夠提高軌跡計(jì)算的精度。

5.2 軌跡圖分析

為進(jìn)一步證明本文算法的有效性，將井深為100～280 m的測段進(jìn)行本文的磁慣性分段式軌跡計(jì)算。圖3為井深100～280 m的井眼軌跡的水平面投影圖，可通過該圖觀察到井眼軌跡的方位走勢，以及不同分測點(diǎn)方位角的變化趨勢。

圖3 井眼軌跡的水平面投影圖

從圖3可以看出，經(jīng)過校正后的分測點(diǎn)軌跡更加接近理想軌跡，減小了軌跡計(jì)算誤差，避免了一次軌跡模型估計(jì)軌跡的局限性。經(jīng)過自適應(yīng)調(diào)整軌跡模型后的計(jì)算精度更高。

圖4為井深100～180 m的井眼軌跡的垂直面投影圖，能夠通過該圖觀察到井眼軌跡的井斜走勢，以及分測點(diǎn)井斜角變化趨勢。雖然在E軸投影坐標(biāo)5～15 m處時(shí)，采用本文所提方法進(jìn)行估計(jì)的精度較低，但整體上，所提方法的估計(jì)精度均高于一次軌跡模型。

圖4 井眼軌跡的垂直面投影圖

綜合圖3和圖4可知，在井深100～180 m的測段中，井斜角變化比較明顯。校正后分測點(diǎn)所形成的軌跡明顯更加接近參考軌跡，降低了一次軌跡模型估計(jì)的誤差，說明采用分段式不同模型的計(jì)算方法有效提高了井眼軌跡的精確度，證明該方法是可行的，也為工程應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

6 結(jié)束語

針對(duì)井眼軌跡形態(tài)測算中使用軌跡模型單一和反推測算點(diǎn)精度存在誤差的問題，本文提出基于磁慣性測量的分段式井眼軌跡測量算法。本文首先在分析不同井眼軌跡模型的基礎(chǔ)上構(gòu)造了統(tǒng)一的測點(diǎn)參數(shù)反推表達(dá)式，并設(shè)計(jì)了基于磁慣性測量的井眼軌跡的分段式測算方法。通過實(shí)例算法分析和軌跡圖分析證明了基于磁慣性測量的分段式井眼軌跡計(jì)算方法比單一軌跡模型算法的精度高，為實(shí)際工程應(yīng)用提供了理論依據(jù)。