鄭毓信

(南京大學哲學系 210093)

如何才能成為數學的行家里手？本文將按照從數學學習到數學研究這一順序對此作出簡要的分析．之所以將數學學習與數學研究聯(lián)系在一起，是因為兩者有很多的共同點，特別是，“主動探究”或“再創(chuàng)造”意義上的數學學習其性質可以說是與數學研究十分一致的，盡管兩者在層次或難度上有一定差異．本文還可以視為“學生如何才能學好數學”一文的姐妹篇，主要的區(qū)別在于：前者所關注的主要是一般學生如何能夠通過數學學習有更大的收獲，而不論其將來是否會從事數學或其他與數學密切相關的工作，后者則以對數學有特別興趣，甚至已選定數學作為未來的職業(yè)，乃至這一行業(yè)的新進入者作為主要對象．本文集中反映了筆者由閱讀華羅庚、陳省身、丘成桐等著名數學家的相關論著在這方面的主要收獲，希望通過介紹、分析也能引起青年一代更多的重視．

1 從“數學學習”談起

首先，應當清楚認識“學會學習”包括“學會自學”的重要性．這正是華羅庚先生特別強調的一點：“講自學，實際上不是神秘的東西．對一個人來講，一輩子總是自學的時候多，不在學校的時候多，沒有老師比有老師的時候多……社會在前進，事物在發(fā)展，歷史上的人才總是青出于藍勝于藍．為什么？就是學生除了從老師那里學以外，還多一個自學……對一個人來講，沒有老師是經常的，一般情況下大多是靠自己學習．”

聯(lián)系現代社會的發(fā)展可以更好地理解“學會學習”的重要性，包括我們?yōu)槭裁磻斃喂虡淞ⅰ敖K身學習”這樣一個思想：“隨著流動的速度加快，它會漸漸掏空過去給我們帶來安全和財富的存量知識．”“你在學校里學到的那些知識，可能你還沒有出學校的大門，就已經變得過時了．”正因為此，我們必須切實提高自身的學習能力：“你必須知道更多，你必須更加頻繁地更新知識，你必須運用知識做更多創(chuàng)造性的工作，而不僅僅是完成常規(guī)工作．”

上述引言表明，“學習”主要地被看成一種創(chuàng)造性的勞動，或者說，我們應將此看成“學會學習”最重要的一個涵義，包括通過學校學習為將來從事研究工作做好必要的準備．

為了清楚地說明問題，在此提及筆者先前一直持有的一個想法：由于自己所接受的大學教育是師范教育，但在后來的學術生涯中研究則可說占據了十分重要的地位，因此，這就是自己在很長時間內的一個遺憾，即覺得師范教育未能教會我如何從事研究工作，從而對于后來的發(fā)展也就有一定的影響，盡管自己在校期間的學習成績一直不錯．但是，華羅庚先生的經歷在這方面為我們樹立了直接的范例：他所接受的正規(guī)教育只到初中，自然就談不上任何真正的研究，他卻完全依靠自身的努力，即主要通過自學成了世界著名的數學家．由此可見，為了做好由學習向研究的轉變，關鍵并不在于外部的引領，而是我們自身在這一方面是否具有足夠的自覺性，因為，真正的學習已包含有研究的成分．

由華羅庚先生的以下論述我們可以對此有更好的理解：

“應該怎樣學會讀書呢？我覺得，在學習書本上的每一問題、每一章節(jié)的時候，首先應該不只看到書面上，而且還要看到書背后的東西．這就是說，對書本的某些原理、定律、公式，我們在學習的時候，不僅應該記住它的結論，懂得它的道理，而且還應該設想一下人家是怎樣想出來的，經過多少曲折，攻破多少關鍵，才得出這個結論的．而且還不妨進一步設想一下，如果書本上還沒有作出結論，我自己設身處地，應該怎樣得出這個結論？……

“如果說前一步的工作可以叫作‘支解’的工作，那么，第二步我們就需要做‘綜合’的工作．這就是說，在對書中的每一個問題都經過細嚼慢咽，真正懂得之后，就需要進一步把全書各部分內容串連起來理解，加以融會貫通，從而弄清楚什么是書中的主要問題，以及各個問題之間的關聯(lián)．這樣我們就能抓住統(tǒng)帥全書的基本線索，貫穿全書的精神實質……青年同學讀書要學會消化．我常見有些同學在考試前要求老師指出重點，這就反映了他們讀書還沒有抓住重點，還沒有消化．靠老師指出重點不是好辦法，主要的應當是自己抓重點．”

華羅庚先生曾依據自己的經驗對如何做好上述兩個方面的工作給出了一些具體建議：

第一，想要相對獨立地做出書上的發(fā)現并不容易，因此，學習中一定不要貪多，不要怕慢．

例如，華羅庚先生的一個親身體驗：“學習是艱苦的勞動，只要刻苦鉆研，不怕困難，沒有解決不了的問題，旁的同學用一小時能解決的問題，我就準備用兩小時解決．是不是別人一小時的工作，我一定要用兩小時呢？那也不見得．由于我不斷地刻苦練習，后來別人要花一小時才能解決的問題，我往往只要用半小時，甚至更短的時間就解決了．”

當然，刻苦練習不是指“原地打轉”，我們也不應片面地強調“鉆難題”．就如華羅庚先生所指出的：“打好基礎，并不是叫大家老是在原地方踱步打圈子，把同一類型的書翻來覆去看上很多遍．譬如過去有些人研究數學，把同樣程度的幾本微積分都收集起來，每本都從頭到尾看，甚至把書上的習題都重復地做幾遍，這是一種書呆子的讀書方法，毫無實際意義．”“給學生出了很多難題，以‘培養(yǎng)’數學競賽的優(yōu)勝者．我們必須反對，因為這是貽誤青年的有害的做法．很明顯，從做難題入手，是不會收到好的效果的．縱使學生做了一個類型的難題，而對另一類型，卻依然是生疏，并且難題是很多的，層出不窮的，又哪里做得完呢？單靠做些奇奇怪怪的難題，是鍛煉不出很高的才能的．只有掌握了原則，才能無往不利，才能創(chuàng)造性地靈活運用，因而才能有所創(chuàng)造．”

顯然，從同一角度我們可以更好地理解“做題”的作用，包括如何才能通過做題有更大的收獲．“培養(yǎng)獨立思想的第一步，還是打好基礎，多做習題，肯動腦筋，深入地了解定理、定律、公式的來龍去脈，但最好再想一下，那些結論別人是怎樣想出來的，如果能看得出人家是怎樣想出來的，那么自己也就有可能想出新東西來了．”

第二，依據華羅庚先生關于“由薄到厚”和“由厚到薄”過程的分析我們可以對他所說的“綜合性工作”有更好的了解：“要真正打好基礎，有兩個必經的過程，即‘由薄到厚’和‘由厚到薄’的過程．‘由薄到厚’是學習、接受的過程，‘由厚到薄’是消化、提煉的過程．譬如我們讀一本書，厚厚的一本，加上自己的注解，就愈讀愈厚，我們所知道的東西也就‘由薄到厚’了．但是，這個過程主要是個接受和記憶的過程，‘學’并不到此為止，‘懂’并不到此為透．要真正學會學懂還必須經過‘由厚到薄’的過程，即把那些學到的東西，經過咀嚼、消化，融會貫通，提煉出關鍵性的問題來．我們常有這樣的體會：當你讀一本書或是看一疊資料的時候，如果對它們的內容和精神做到了深入鉆研，透徹了解，掌握了要點和關鍵，你就會感到這本書和這疊資料變薄了．這看起來你得到的東西似乎比以前少了，但實質上經過消化，變成精煉的東西了．不僅僅在量中兜圈子，而有質的提高了．只有經過消化提煉的過程，基礎才算是鞏固了．”

筆者在這方面還有這樣一些具體體會：

(1)在數學學習與數學研究之間不存在絕對界限，關鍵在于我們是否具有足夠的自覺性，即能否以研究的精神從事學習，包括通過數學學習逐步地學會研究．

在筆者看來，我們或許應當從這一角度去理解這樣的主張：我們應當將“做數學”或所謂的“再創(chuàng)造”看成學習數學的主要途徑．

當然，又如前面所已提及的，想要做到這一點并不容易，因此，現實中我們必須十分重視“量”與“難度”的控制．另外，從教學的角度看，在積極鼓勵學生主動探究的同時，教師也應給學生必要的幫助與指導．

進而，聯(lián)系數學教育目標進行分析，特別是，考慮到并非所有學生將來都會直接從事數學或與此密切相關的工作，那么，相對于要求所有學生都能在上述方面做出很好的成績，這就應當說是更加合理的一個要求，即要求學生在數學學習中都能做到真正的理解．

(2)這里所說的“理解”的主要涵義，即我們應當使相應的思維過程成為十分自然的，從而也就是“可以學到手的和推廣應用的”．當然，教師也應在這方面起到很好的示范作用，應當用思維方法的分析帶動具體知識內容的教學，從而真正地做好言傳身教．

再則，無論就教師的教學或是學生的自學而言，我們還應特別重視對照比較的工作，如各種不同解題方法的比較等．因為，不僅數學的發(fā)展可以視為一個不斷優(yōu)化的過程，后者也可以看成數學學習的本質所在．

(3)正如華羅庚先生所反復強調的，我們應特別重視自身“問題意識”的提升，因為，問題正是“做數學”或數學研究的直接出發(fā)點．

更一般地說，我們應當將“問題”看成“數學活動”十分重要的一個組成成分，包括將“學會提問”看成“學數學”的一個重要涵義．當然，除去“問題”以外，我們還應對“數學活動”的內涵作出進一步的擴展，特別是，應將“方法”和“語言(概念系統(tǒng))”也包括在內．通過以下的論述，相信讀者可以對此有更好的了解．

后者事實上也正是所謂的“數學活動論”的主要內容，即將數學看成人類的一種創(chuàng)造性活動，而不應將此簡單等同于這種活動的最終產物，也即各種具體的數學概念和結論；進而，我們應作廣義的理解，應當將“數學(活動)”看成是由問題、語言、方法和理論等多種成分組成的一個復合體．

(4)由華羅庚先生關于“由薄到厚”和“由厚到薄”過程的論述我們還可清楚地認識“總結、反思和再認識”對于數學學習的特殊重要性，包括單純強調“經驗的簡單積累”與“熟能生巧”的局限性，后者是指，我們不應期望單純依靠反復練習與經驗積累就能有效地提升自己的數學水平．

我們還應注意對于“反思”的正確理解，特別是，對此不應僅僅理解成“糾錯”，而應更加突出“再認識”這樣一個涵義，即我們如何能夠通過新的分析思考(特別是更高層次的抽象，這是眾多數學家何以將數學抽象稱為“自反抽象”的主要原因)實現認識的不斷發(fā)展和深化．另外，按照弗賴登塔爾的觀點，我們還應超出個體、從更廣泛的角度把握“反思”的涵義：“它的范圍已很自然地從個體擴展到了群體．”這也意味著，我們應由單純的“個體反思”過渡到“群體反思”“社會反思”，因為，其他人的想法顯然可以為個體的深入思考、包括思維的不斷優(yōu)化提供了重要背景．

當然，又如華羅庚先生所強調的，這是“總結、反思和再認識”最重要的一個涵義，我們應當通過總體分析實現“由厚到薄”，或者說，更好地實現“化多為少”“化復雜為簡單”．

最后，除去整本書的學習以外，所說的“總結、反思和再認識”顯然也適用于各個具體內容的學習，我們應當通過深入思考從中提煉出相應的“主要問題”“基本方法”和“核心概念”．進而，從同一角度我們也可以更好地認識“適當放慢節(jié)奏”的重要性，更不應將簡單意義上的“問題解決”看成學習的主要目標．

(6)從更高的層次進行分析，上面的論述顯然十分清楚地表明了努力提升自身思維品質的重要性，特別是，我們應在以下一些方面作出切實的努力：

第一，聯(lián)系的觀點與思維的深刻性．我們可以區(qū)分出這樣兩個不同的層次：①我們不應將事物和現象看成互不相干的，而應用聯(lián)系的觀點進行分析思考，包括通過類比聯(lián)想發(fā)現問題和解決問題；②整體觀點的指導，包括“分清主次，突出重點，以主帶次”以及結構性認識的建構．

第二，變化的思想與思維的靈活性．特別是，我們應通過適當變化以更好地實現“化未知為已知，化難為易，化復雜為簡單”，從而有效地解決問題．

第三，“總結、反思和再認識”與思維的自覺性．

由于上述的思維策略和思維品質顯然具有超出數學更普遍的意義，因此，這事實上可以看成這樣一個思想的具體體現：我們在數學的教學和學習中應當很好把握“入”與“出”之間的辯證關系，真正落實“努力促進學生的思維發(fā)展”這一基本目標，從而使所有的學生都能通過數學學習有真正的收獲．

應當提及的是，后者也可視為“數學深層教學(學習)”的主要涵義，我們能夠以此為背景進一步思考何者可以被看成我們做好數學教學的關鍵．

2 走向研究

強調“研究”，主要是因為以下引文大多源自丘成桐等著名數學家的自傳，從而所涉及的也就主要是較高層次的數學研究；但由于在數學學習與數學研究之間不存在絕對的界限，因此，即使是中學生也可由此獲得關于如何學好數學的重要啟示，包括我們如何通過基礎教育階段的數學學習為將來從事數學研究做好必要的準備．

以下就是筆者由丘成桐先生《我的幾何人生》在這方面獲得的主要啟示：

第一，“精通方法”．

有很多數學工作就是用熟悉的方法解決新的問題．在丘成桐先生的這一著作中我們可以找到這方面的大量例子．例如，丘成桐先生在數學領域中的一個重要貢獻就是將非線性偏微分方程應用到了幾何研究，并由此而開拓了一個新的研究方向“幾何分析”．“整個幾何分析……均基于這信念：深入的幾何信息除了從拓撲或幾何圖形直接得到外，還需要加上大量分析的方法，尤其是新近發(fā)展的非線性分析的工具，并由其成果支撐．”

丘成桐先生關于龐加萊猜想的研究可以看成這方面的又一實例，因為這一工作主要是對哈密爾頓創(chuàng)造的“里奇流”的創(chuàng)造性應用．丘先生這樣寫道：“他似乎找到一把能打開從未開啟之門的鑰匙，我立刻意識到，哈密爾頓的路走下去會開花結果……我跟他說，這些技巧可以借用來證明三維空間的龐加萊猜想，這是自20世紀以來就懸而未解的老大難問題．同樣的方法，也足以解決比爾·瑟斯頓的幾何化猜想……”

由此可見，對于所說的“方法”或“工具”我們應作廣義的理解，有時應從這一角度去看待一個數學分支或是一個新的研究方向；進而，后者的作用又不限于某個具體問題的解決，而是提供了一個新的分析視角，或者說是一種新的語言或概念工具．

以下是丘成桐先生在這方面的一些具體建議：“你們在做學生的這段時間，最基本的工具一定要學好．若連最基本的工具都沒掌握，根本就談不上跨學科的研究……當你進入一個學科的研究領域以后，不可能通曉所有東西，但必須將其工具都掌握了，所謂精通就是對工具能運用自如，遇到困難的題目不會懼怕，懂得如何學習和思考．”“有很多工具，剛開始以為不重要、不流行，很多人不想去學，這往往是個錯誤的看法．”“我希望你們在做學生的時候至少掌握兩門不同的工具，以后做學問的時候有兩把‘板斧’，而且每一門都要精通，才能在真正去解決問題時收放自如．”

為了對“精通方法”有更好的了解，建議讀者仔細閱讀張景中院士關于“教育數學三原理”的相關論述，后者是指(1)在學生頭腦里找概念；(2)從概念里產生方法；(3)方法要形成模式．

以下是張景中院士的相關說明：

“學生頭腦里已有很多知識印象，它們要和新來的概念起反應、發(fā)生變化，使新概念格格不入甚至被歪曲．把學生頭腦里的東西研究一番，利用其中已有的東西加以改造形成有用的概念，是個重要手段，這樣，學生學起來親切容易．

“光有概念不夠，還必須有方法．數學的中心是解題，沒有方法怎么解題？從概念里產生方法，就是說有了概念之后，概念要能迅速轉化為方法．不能推來推去走過長長的邏輯道路學生還看不見有趣的題目，摸不到犀利的方法．

“方法不能過多，不能零亂，要形成統(tǒng)一的模式．像吃飯一樣，光吃零食不利于腸胃吸收，不利于健康．形成模式，即形成較一般的方法，學生才能心里踏實信心倍增．

“總之，教育數學三原理很簡單，無非是說概念要平易、直觀、親切，邏輯推理展開要迅速簡明，方法要通用有力．”

由此可見，“精通方法”的關鍵，就是對于“核心概念”和“基本定理”的很好把握，這是與我們先前關于“總體分析”的論述完全一致的．這里我們還可以提及張景中院士關于“面積法”的研究，因為這不僅是用熟悉的方法解決新問題的又一范例，而且這一工作的神奇之處，是這一源自初等幾何研究的方法居然可以被成功地應用于現代的“機器證明”．

(待續(xù))