朱 斌

(南京師范大學(xué)第二附屬高級(jí)中學(xué) 320900)

1 賽題與證明

2022年第48屆俄羅斯數(shù)學(xué)奧林匹克聯(lián)邦區(qū)域競賽中有一道不等式試題：

設(shè)

a

,

b

,

c

,

d

為非負(fù)實(shí)數(shù)，有

a

+

b

+

c

+

d

=8，證明：①．

不等式①是一個(gè)分式不等式，每個(gè)分式項(xiàng)的分子都是一個(gè)三次單項(xiàng)式，分母含有三項(xiàng)，前面一項(xiàng)是一個(gè)二次單項(xiàng)式，后面兩項(xiàng)都是一次單項(xiàng)式.分子、分母中都含有相同的變量.由此入手進(jìn)行拆項(xiàng)處理，則可打開解題思路．

證明

由于由二元均值不等式得則有所以同理可得

所以①式左故不等式①成立．

點(diǎn)評(píng)

如果按照不等式①的結(jié)構(gòu)聯(lián)想到柯西不等式，將不等式①轉(zhuǎn)化為

≥4或者那么接下來就會(huì)思維受阻．

2 變式與推廣

如果不改變已知條件，只是考慮將不等式①的每個(gè)分式的分子、分母中相同變量的次數(shù)進(jìn)行升冪，那么對(duì)上述證法做進(jìn)一步深入分析后就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在分母中必須添加適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，并且應(yīng)用均值不等式后能夠得到等，由此得到如下變式：

變式1 設(shè)

a

,

b

,

c

,

d

為非負(fù)實(shí)數(shù)，且

a

+

b

+

c

+

d

=8，證明：②．

證明

由于由三元均值不等式得則有所以同理可得其他三個(gè)不等式，將其累加后,得

②式左即不等式②成立．

變式2 設(shè)

a

,

b

,

c

,

d

為非負(fù)實(shí)數(shù)，有

a

+

b

+

c

+

d

=8，證明：③．

證明

由于由四元均值不等式得則有所以同理可得其他三個(gè)不等式，將其累加后,得

③式左即不等式③成立．

在變式1和變式2的基礎(chǔ)上，可以將上述競賽題作如下推廣：

推廣1

設(shè)

a

,

b

,

c

,

d

為非負(fù)實(shí)數(shù)，有

a

+

b

+

c

+

d

=8，

n

∈

N

，證明：

證法類似，留給讀者完成．

如果改變已知條件中的等式，那么用同樣的方法可以證明：

推廣2

設(shè)

a

,

b

,

c

,

d

為非負(fù)實(shí)數(shù)，有

a

+

b

+

c

+

d

=4

k

，

k

>0，

n

∈

N

，證明：