200030 上海市徐匯中學(xué) 仇 霞

《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對于邏輯推理能力有如下說明：“通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生經(jīng)歷觀察、實驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點

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”在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師需要結(jié)合基礎(chǔ)知識教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，“軌跡的概念”這一教學(xué)內(nèi)容恰好是一個很好的載體

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根據(jù)滬教版八年級上學(xué)期教材的內(nèi)容安排，在廣度上，學(xué)習(xí)軌跡之前，以平行線的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識的運用為載體，學(xué)生學(xué)習(xí)了基本的邏輯術(shù)語和演繹推理的基本思路

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研究軌跡的概念時，以角的平分線、線段的垂直平分線和圓這三條基本軌跡為載體，感悟軌跡概念中所含有的“純粹性”和“完備性”的要求

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通過這部分的學(xué)習(xí)，學(xué)生體會到利用圓、線段的垂直平分線、角的平分線(或者平行線)證明點點等距、點線等距和線線等距是常用的方法，知道軌跡是具有某種特征性質(zhì)的點的集合，為今后的學(xué)習(xí)(如幾何證明和高中的軌跡方程等)打下基礎(chǔ)

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在深度上，軌跡是對角的平分線和線段的垂直平分線等一般的抽象

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例如，教材中對角的平分線概念及其性質(zhì)進(jìn)行了三個層次的抽象

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層次一，用定理“在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等”和逆定理“在一個角的內(nèi)部(包括頂點)且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上”表述；層次二，角的平分線上的點是符合在角的內(nèi)部(包括頂點)到角的兩邊的距離相等的點的集合；層次三，在說明了軌跡的含義之后，在角的內(nèi)部(包括頂點)到角的兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線

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軌跡的概念教學(xué)內(nèi)容是對基本軌跡的抽象、概括，在基本軌跡的基礎(chǔ)上，通過分析、推理等思維活動對大腦中的概念進(jìn)行更高層次的整合，在感悟概念背后的集合意義的過程中，逐漸掌握概念的本質(zhì)

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筆者探索在軌跡的概念教學(xué)中如何有效培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力

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1 課前思考

在本節(jié)課之前，學(xué)生常將直線、圓等幾何圖形看作相對靜止的對象來研究其所具有的性質(zhì)，本節(jié)課則將幾何圖形看作點的運動，用運動的觀點來認(rèn)識圖形的性質(zhì)

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軌跡的概念包含集合思想，必須具備純粹性和完備性的雙重性質(zhì)

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在此之前，學(xué)生常借助直觀形象去理解幾何概念，學(xué)生第一次接觸這一較為抽象的定義形式后，感到?jīng)]有“如此反復(fù)”的必要，在應(yīng)用中仍然會只顧“完備”而忽視“純粹”

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所以，筆者將本節(jié)課的第一個教學(xué)重點確定為了解軌跡的意義

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接下來的軌跡學(xué)習(xí)涉及用交軌法進(jìn)行基本的作圖，學(xué)生必須對基本軌跡足夠熟悉才能夠作圖，以三條基本軌跡為載體也能夠幫助學(xué)生理解軌跡的意義，所以知道“線段的垂直平分線”“角的平分線”和“圓”三條基本軌跡是本節(jié)課的第二個教學(xué)重點

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圖形運動時會產(chǎn)生復(fù)雜的幾何問題，而在復(fù)雜的變化中抓住不變的本質(zhì)有利于學(xué)生之后解決更加高難度的問題，并且之后集合問題的探究和解決對學(xué)生的推理論證能力和空間想象能力等要求越來越高，所以將本節(jié)課的教學(xué)難點確定為會用三條基本軌跡解釋簡單的軌跡問題，并用圖形語言表示

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2 基于波利亞數(shù)學(xué)教育理論的課堂實踐例說

數(shù)學(xué)教育家波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面

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一方面，它是歐幾里得式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這方面看，數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；另一方面，創(chuàng)造過程的數(shù)學(xué)看起來更像是一門試驗的歸納科學(xué)

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波利亞提出學(xué)習(xí)過程的三原則，即主動學(xué)習(xí)、最佳動機(jī)和循序階段，并且可以把學(xué)習(xí)的階段劃分為探索階段、闡明階段、吸收階段

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波利亞的學(xué)習(xí)原則給人以如下啟示

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第一，主動學(xué)習(xí)要求學(xué)生的思維活動起來，而不是僅僅處在模仿水平和記憶水平上

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第二，學(xué)習(xí)任何知識最好的途徑就是去發(fā)現(xiàn)

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第三，要依據(jù)學(xué)生的發(fā)展水平和動機(jī)狀態(tài)等按照最佳順序呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容

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所以，波利亞認(rèn)為數(shù)學(xué)的教學(xué)目標(biāo)是必須教會學(xué)生猜想，并教會學(xué)生去證明自己的猜想，即合情推理與論證推理，發(fā)展學(xué)生解決問題的能力，這也與初中課標(biāo)中邏輯推理能力的培養(yǎng)要求不謀而合

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2.1 探索階段：提前滲透軌跡概念，經(jīng)歷概念的生成過程

在本節(jié)課之前，學(xué)生就已經(jīng)學(xué)過了圓、角的平分線和線段的垂直平分線，已經(jīng)有了相關(guān)的知識基礎(chǔ)，所以可以在之前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，初步講述“點的集合”的含義，有意向?qū)W生滲透軌跡的思想

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例如，提出“在角的平分線上任意一點到這個角的兩邊的距離相等，那是否只有角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等呢？”的問題，為軌跡概念中的完備性和純粹性埋下伏筆，為軌跡概念的探索做準(zhǔn)備，并且這樣的滲透可以隨著年級的提高逐漸加強(qiáng)

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概念形成的一個重要條件是學(xué)生必須能從許多事物、事件或情境中認(rèn)識或抽象出它們的共同特征，以便進(jìn)行概括

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而對于高度抽象化的數(shù)學(xué)概念的引入，一定要從真實事物出發(fā)，所以需要從知識發(fā)生的過程設(shè)計問題，突出概念的形成過程和來龍去脈，盡可能努力創(chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生去探索，通過自身的努力去建構(gòu)新知識，讓他們的思維水平不僅僅停留在模仿和記憶水平上

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在軌跡的概念教學(xué)中，從知識發(fā)生的過程設(shè)計問題，融入歸納、類比、概括等合情推理的方法，不是簡單的“一次歸納”，而是教師與學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷“提問—探索—討論—質(zhì)疑—再提問”的過程

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軌跡是一個抽象性較強(qiáng)的概念，初中生習(xí)慣于借助直觀形象和常見數(shù)學(xué)模型理解數(shù)學(xué)概念，他們對軌跡的定義常感到抽象、別扭和空洞，不能正確地形成軌跡的概念，同時教材中又將軌跡、點的軌跡和符合條件的點的軌跡三個概念作為一個概念

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所以，在本節(jié)課中，教師將首先提供直觀材料，幫助學(xué)生形成表象認(rèn)識，從具體的生活情境到抽象的數(shù)學(xué)情境，從動態(tài)的曲線到靜態(tài)的點的集合進(jìn)行問題設(shè)計，鋪設(shè)問題臺階，了解軌跡的意義

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(如表1所示)

片段：概念引入部分

以表1情境1中的鐘擺問題為例，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)鐘擺的運動路線是一段弧之后，提出問題：如何刻畫不存在的這段曲線？將鐘擺(抽象成點)運動過程中經(jīng)過的每一個位置看作一個點，那么所有點的集合就形成了曲線

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表1 概念引入部分問題設(shè)計

具體抽象情境1:鐘擺問題情境2:投籃問題①物體在做什么樣的運動?它的運動路線是什么?(沿著曲線運動)②這樣的曲線是真實存在的嗎?如何刻畫這樣的曲線?①總結(jié):我們把這些曲線看作符合條件的點的集合②軌跡的定義:符合條件的所有的點的集合③你能再舉出一些軌跡的例子嗎?生活 → 數(shù)學(xué)

2.2 闡釋階段：分步感受軌跡意義

軌跡是符合某些條件的所有點的集合，其中涉及“集合”的認(rèn)識和對“某些條件”的具體化，而集合必須具備“純粹性”和“完備性”，這對學(xué)生而言很難理解

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根據(jù)循序階段原則，學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)比獲得零散的數(shù)學(xué)知識更加重要，為突破這個難點，筆者設(shè)計了三個具體例子(即三個基本軌跡)讓學(xué)生逐漸感悟軌跡上的點必須滿足條件(純粹性)，而不在軌跡上的點一定不滿足條件(完備性)，體會軌跡概念中所蘊含的“雙重性”意義

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片段：概念剖析部分

例題1

在同一平面內(nèi)，求到定點

A

的距離等于1cm的點的軌跡

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例題2

在同一平面內(nèi)，求到定點

A

、

B

距離相等的點的軌跡

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例題3

在同一平面內(nèi)，求在∠

AOB

的內(nèi)部(包括頂點)，到角兩邊距離相等的點的軌跡

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(如表2所示)

表2 例題的設(shè)置與講解

例題1例題2例題3教學(xué)層次教師講解為主學(xué)生講解為輔學(xué)生講解為主教師講解為輔學(xué)生講解符合條件的點軌跡上的點都應(yīng)該滿足什么條件?符合條件的點的集合你可以畫多少個這樣符合條件的點?無數(shù)個符合條件的點組成了什么樣的圖形?軌跡我們可以發(fā)現(xiàn)圖形上的點都滿足條件,反過來,是不是所有符合條件的點都在該圖形上呢?圖形語言以點A為圓心,1cm為半徑的圓A即為所求點的軌跡直線PQ即為所求點的軌跡射線OP即為所求點的軌跡基本軌跡到定點的距離等于定長的點的軌跡是以這個點為圓心、定長為半徑的圓到線段兩個端點距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線在一個角的內(nèi)部(包括頂點)且到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的角平分線

在處理例題1時，學(xué)生會產(chǎn)生困惑：要我找圓的什么？是不是要我畫一個圓？這是學(xué)生初學(xué)軌跡問題的常見心理定勢現(xiàn)象，所以筆者按照學(xué)生的認(rèn)知水平設(shè)計不同層次的問題，幫助學(xué)生理解軌跡

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以例題1中“圓”的基本軌跡為例，筆者設(shè)計了如下問題

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問題1

軌跡上的點都應(yīng)該滿足什么條件？(到點

A

的距離為1cm)——符合條件的點

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問題2

你可以畫多少個這樣符合條件的點？(無數(shù)個)

問題3

無數(shù)個符合條件的點組成了什么樣的圖形？(圓)——符合條件的集合(初步顯現(xiàn)動點概念)

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問題4

我們可以發(fā)現(xiàn)圓上的點都滿足條件(純粹性)，反過來，是不是所有符合條件的點都在圓上呢(完備性)？(圓內(nèi)的點到定點

A

的距離<1cm，圓外的點到定點

A

的距離>1cm)——軌跡.通過以上問題，學(xué)生感受軌跡的生成過程，在三道包含基本軌跡的例題中體會軌跡上的點必須都滿足條件，而滿足條件的點都在軌跡上，最后總結(jié)出對應(yīng)的基本軌跡

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2.3 吸收階段：化歸解決軌跡問題

改變點的條件，基本不改變點的軌跡結(jié)果，對應(yīng)三條基本軌跡對例題進(jìn)行變式(如表3所示)，突出三條基本軌跡的本質(zhì)屬性，在變化中認(rèn)清本質(zhì)，重視剖析軌跡滿足的條件，轉(zhuǎn)化為基本軌跡，并用文字語言和圖形語言表示，從而達(dá)到強(qiáng)化重點的目的

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在繪制軌跡的過程中，將軌跡上的點應(yīng)符合的幾何條件轉(zhuǎn)化為圖形語言來表達(dá)，感悟“描點法”這一從特殊到一般的常用軌跡繪制方法

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同時，對于繪制的每一個圖形，檢查它的“完備性”和“純粹性”，體現(xiàn)軌跡概念的嚴(yán)密性

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表3 應(yīng)用三條基本軌跡解決簡單軌跡問題設(shè)計

例題變式圖形語言例題1圓在同一平面內(nèi),過點A且半徑為1cm的圓的圓心O的軌跡以點A為圓心,1cm為半徑的圓A即為所求點的軌跡例題2線段的垂直平分線(1)在同一平面內(nèi),以線段AB為底邊的等腰三角形的頂點的軌跡直線PQ(點Q除外)即為所求點的軌跡(2)在同一平面內(nèi),經(jīng)過定點A,B的圓的圓心的軌跡直線PQ即為所求點的軌跡例題3角平分線(1)在同一平面內(nèi),與兩條相交的定直線m和n距離相等的點的軌跡直線OP和直線OQ即為所求點的軌跡(其中OP平分∠BOC及其對頂角,OQ平分∠COD及其對頂角)(2)在同一平面內(nèi),與直線AB的距離為1cm的點的軌跡直線m和直線n即為所求點的軌跡(3)在同一平面內(nèi),與平行直線m,n的距離相等的點的軌跡直線l即為所求點的軌跡(其中l(wèi)為兩條定直線的公垂線的垂直平分線)

實際教學(xué)中，學(xué)生雖然有意識地將新的軌跡問題轉(zhuǎn)化為三條基本軌跡，但是對具體轉(zhuǎn)化為哪一條感到茫然，回顧本節(jié)課的應(yīng)用概念部分，筆者雖然對每道例題進(jìn)行了相關(guān)的變式，獲得幾乎和例題相同的軌跡，但是并沒有引導(dǎo)學(xué)生感悟變式和例題之中不變的關(guān)系

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筆者認(rèn)為，數(shù)學(xué)教學(xué)強(qiáng)調(diào)的不僅是提高學(xué)生的解題能力，還意在培養(yǎng)學(xué)生對知識有完整的、成體系的理解和掌握

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基于此，對教材中應(yīng)用概念部分進(jìn)行調(diào)整，在分析過程中滲透化歸法

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將三條基本軌跡總結(jié)為以下三個方面，即點點定距可以化歸為圓；點點等距可以化歸為線段的垂直平分線；線線等距可以化歸為角的平分線(或者平行線)

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片段：應(yīng)用概念部分

在例題2的變式(1)中，學(xué)生很容易認(rèn)為直線

PQ

就是所求點的軌跡，仿照例題的思考方式提出問題：直線

PQ

上的點都滿足條件嗎？可以發(fā)現(xiàn)

Q

點雖然滿足

QA

=

QB

，但此時等腰三角形卻不成立，所以直線

PQ

不是所求點的軌跡

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而在例題3的變式(1)中，學(xué)生易將直線

OP

當(dāng)作所求點的軌跡，仿照例題的思考方式提出問題：雖然直線

OP

上的點都滿足條件，反過來，是不是所有符合條件的點都在直線

OP

上呢？所以直線

OP

也不是所求點的軌跡

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當(dāng)學(xué)生回答問題出現(xiàn)錯誤時，教師不僅要指出他們的錯誤，還要對學(xué)生的答題思路進(jìn)行梳理，幫助他們找到不合邏輯的地方，進(jìn)一步培養(yǎng)他們的邏輯思維能力

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3 結(jié)語

數(shù)學(xué)邏輯推理是由數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)引發(fā)的，對于學(xué)生發(fā)展具有十分重要的意義，其培養(yǎng)是一個長期的過程

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所以，在教學(xué)過程中，要將數(shù)學(xué)邏輯推理和教學(xué)實踐相融合

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在軌跡概念的教學(xué)中，結(jié)合波利亞提出的三大學(xué)習(xí)原則和學(xué)習(xí)階段理論，在概念探索階段，重視情境創(chuàng)設(shè)，從生活到數(shù)學(xué)，從具體到抽象，從特殊到一般，借助合情推理逐步歸納出軌跡的概念；在概念闡釋階段，從三條基本軌跡中分步感受軌跡概念中的“完備性”和“純粹性”，注重突破學(xué)生邏輯推理時的難點；在概念吸收階段，巧用幾何概念的非標(biāo)準(zhǔn)變式，化歸成點點、點線等，借助演繹推理解決問題

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本節(jié)課的學(xué)習(xí)幫助學(xué)生更深刻地理解軌跡的意義，提升學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力和數(shù)學(xué)表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力和良好的思維習(xí)慣

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