汪大海 王濤 汪偉 徐康 梁樞果

摘要：強(qiáng)風(fēng)作用下往往產(chǎn)生大變形的非線性動力抖振響應(yīng)，是導(dǎo)致電力網(wǎng)絡(luò)風(fēng)偏閃絡(luò)和支撐桿塔風(fēng)災(zāi)破壞的主要原因。為了揭示強(qiáng)風(fēng)作用下輸電線路風(fēng)效應(yīng)形成機(jī)理，以典型兩跨輸電線?絕緣子為研究對象，以絕緣子的風(fēng)偏位移和桿塔對絕緣子端部的空間支座反力響應(yīng)為考察重點(diǎn)，基于索結(jié)構(gòu)力學(xué)，給出了靜力平均風(fēng)偏狀態(tài)的非線性解，并考察了體系在風(fēng)偏狀態(tài)下模態(tài)、氣動阻尼等動力特性的變化；推導(dǎo)了響應(yīng)的影響線函數(shù)及模態(tài)參與系數(shù)表達(dá)式，提出了線性時域動力響應(yīng)的計算方法；進(jìn)而依據(jù)風(fēng)工程理論，給出了脈動風(fēng)振響應(yīng)背景分量和共振分量的頻域表達(dá)式；采用典型算例，通過與非線性有限元模型結(jié)果進(jìn)行分析比較。結(jié)論表明，提出的三維振動時/頻域理論模型及參數(shù)計算取值方法具備足夠的工程效率和精度。研究為揭示輸電線路風(fēng)災(zāi)的破壞機(jī)理，完善輸電線路結(jié)構(gòu)的抗風(fēng)設(shè)計提供了重要的理論基礎(chǔ)和計算方法。

關(guān)鍵詞：非線性；抖振響應(yīng)；輸電線；背景分量；共振分量

中圖分類號： O322；TU312+.1??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1109-09

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.008

引言

高壓輸電線是典型的風(fēng)荷載敏感結(jié)構(gòu)，在各種風(fēng)振響應(yīng)中，強(qiáng)風(fēng)作用下往往發(fā)生大變形的非線性動力抖振響應(yīng)。這是導(dǎo)致電力網(wǎng)絡(luò)風(fēng)偏閃絡(luò)和支撐桿塔風(fēng)災(zāi)破壞的主要原因。國內(nèi)外學(xué)者從理論分析計算、風(fēng)洞試驗(yàn)和現(xiàn)場實(shí)測[1?7]等方面對大氣邊界層湍流作用下輸電線的抖振響應(yīng)及其傳遞給桿塔的風(fēng)振荷載進(jìn)行研究，研究結(jié)果也被當(dāng)前的國際設(shè)計規(guī)范和標(biāo)準(zhǔn)所采用[8]。

輸電線的風(fēng)致響應(yīng)可以分為靜風(fēng)荷載作用下的靜力響應(yīng)和靜平衡狀態(tài)處脈動風(fēng)引起的動力響應(yīng)。在較高的風(fēng)速下，輸電線平面的靜力變形和風(fēng)偏非常顯著，這也使得輸電線張力由初始狀態(tài)（只受重力）發(fā)生了相當(dāng)大的變化，從而導(dǎo)致了系統(tǒng)動力特性的變化。這就需要一個用于靜態(tài)響應(yīng)分析的非線性分析過程，而當(dāng)張力變化可以被忽略時，線性理論更方便[9]。 Davenport[10]提出了基于傳統(tǒng)線性隨機(jī)振動理論的陣風(fēng)響應(yīng)因子方法。 Matheson 和 Holm ?es[11]通過使用有限差分法求解微分方程進(jìn)行時域響應(yīng)分析，與線性隨機(jī)振動理論進(jìn)行比較，還基于準(zhǔn)定常理論計算了考慮氣動阻尼效應(yīng)的風(fēng)致阻力。結(jié)果表明，輸電線的平均風(fēng)偏對輸電線的豎向位移有明顯的影響，也證實(shí)了橫向支反力主要由背景分量貢獻(xiàn)。文章通過不考慮風(fēng)偏角的線性隨機(jī)振動理論給出了較為準(zhǔn)確的計算方法。Loredo ? Souza 和 Daven ?port[12]比較了使用基于擬靜力模型的線性隨機(jī)振動理論和氣彈風(fēng)洞試驗(yàn)得出的響應(yīng)，結(jié)果證實(shí)了由于氣動阻尼較大，背景分量在橫向響應(yīng)中占主導(dǎo)地位。輸電線的幾何非線性風(fēng)振響應(yīng)可用非線性有限元模型計算，也可用關(guān)于模態(tài)位移的耦合非線性運(yùn)動方程進(jìn)行分析，其動力響應(yīng)可以由平面內(nèi)和平面外模態(tài)位移來表示。由于動張力的作用，模態(tài)位移方程與各非線性項(xiàng)耦合，其中包含基于變形協(xié)調(diào)條件的二次項(xiàng)[13]。事實(shí)上，當(dāng)靜力平衡狀態(tài)附近的動力變形較小時，由動力響應(yīng)引起的動張力可以通過系統(tǒng)線性方程來確定，線性系統(tǒng)可以使用隨機(jī)振動的譜分析方法給出頻域動力響應(yīng)解[6]。

綜上所述，目前的輸電線風(fēng)振響應(yīng)的理論方法主要集中在單跨鉸支輸電線的順風(fēng)向振動方面。實(shí)際的輸電線路由輸電線與絕緣子連接而成。提出輸電線路三維抖振響應(yīng)的理論模型是揭示輸電線路風(fēng)災(zāi)破壞機(jī)理的關(guān)鍵。本文基于索結(jié)構(gòu)力學(xué)和風(fēng)工程理論，以典型兩跨輸電線?絕緣子體系的絕緣子風(fēng)偏位移以及端部對桿塔的空間支座反力響應(yīng)為研究內(nèi)容，推導(dǎo)并建立了體系強(qiáng)風(fēng)抖振空間響應(yīng)的時/頻域的理論計算方法。首先，推導(dǎo)給出了靜力平均風(fēng)偏剛度和變形的非線性解，并考察了其對體系模態(tài)、氣動阻尼等動力特性的影響。進(jìn)而在平均風(fēng)偏狀態(tài)下，分別推導(dǎo)了兩種響應(yīng)的影響線函數(shù)及模態(tài)參與系數(shù)，得到了時域線性動力響應(yīng)理論計算方法，在此基礎(chǔ)上，給出了脈動風(fēng)振響應(yīng)背景分量和共振分量的頻域計算方法。最終，通過算例與非線性有限元模型結(jié)果分析進(jìn)行比較，驗(yàn)證了該理論方法的精確性和效率。研究為完善和修訂輸電線路的抗風(fēng)設(shè)計提供了理論基礎(chǔ)。

1 靜風(fēng)響應(yīng)分析

考慮兩端固定在同一水平高度上的雙跨輸電線，中間通過長度為 l 的懸垂絕緣子與支座連接，垂跨比為 d0/L （d0為初始弧度）。初始狀態(tài)下，單位長度重力荷載為 mg=q0，水平張力為 H0，初始位置為 y0（x），垂度為 d0=q0L2/（8H0），如圖1（ a ）所示。不考慮輸電線的抗彎剛度、輸電線只承受拉力、輸電線橫截面積處處相等。本研究考慮風(fēng)致響應(yīng)最為不利的風(fēng)向，即與輸電線垂直的方向。絕緣子風(fēng)偏狀態(tài)示意圖如圖1（b）所示。單位長度上的平均風(fēng)荷載由下式給出：

式中ρ為空氣的密度；為水平支撐以下 d0高度處的平均風(fēng)速，其值看作沿輸電線跨度不變；CD 為阻力系數(shù)；D 為輸電線直徑。

帶絕緣子輸電線的微分方程與鉸支座單跨輸電線的靜力平衡方程相似。易求得靜風(fēng)荷載作用下輸電線的豎向和橫向的靜風(fēng)位移0（ x ），0（ x ）分別為（其中，-L≤x≤L ）：

式中? 0（0）= l （1- q0/q ），0（0）= D /q，分別為絕緣子端部豎向和橫向靜風(fēng)位移，q =[ q 0（2）+fˉD2]0.5為風(fēng)荷載與自重的合力，l 為絕緣子長度，L 為輸電線跨度。水平張力 H 由下面的非線性方程確定：

式中? E 為楊氏模量，A 為輸電線的橫截面積。新平衡狀態(tài)的 y（ x ）仍為拋物線，其弧垂為 d=qL2/（8H），輸電線平面的風(fēng)偏角為θˉ= arctan （ fˉD /q0），絕緣子上端三個方向的反力分量為：

2 背景分量計算

背景分量可以直接由影響線函數(shù)確定。對于 t 時刻一個給定的脈動響應(yīng)（ t ），其背景分量 B 由下式給出：

式中μ（ x ）為影響線函數(shù)，表示當(dāng)單位荷載作用在 x 處時引起 B 響應(yīng)的增量。對于縱向脈動反力，其影響線函數(shù)可表示為：

其中，Irvine 常數(shù)λ2=（qL/H）2L/[HLe /（EA）]；輸電線弧長 Le =L [1+8（d/L ）2]≈L 。對應(yīng)于橫向脈動反力的影響線函數(shù)為：

由于水平荷載作用在輸電線上不會引起支座處的豎向反力，因此，對于豎向反力的影響線函數(shù)縱向位移μu 或者橫向位移μw 的影響線函數(shù)可根據(jù)該方向的位移與反力的相似關(guān)系得到，可統(tǒng)一表示為：

依據(jù)公式（8）不難發(fā)現(xiàn)，由于橫向分力 T?z0（ t ）的影響線函數(shù)由平衡方程即可確定，因此，T?z0（ t ）的背景分量不受風(fēng)偏狀態(tài)的影響。但是，絕緣子端部位移和縱向反力的影響線函數(shù)是水平張力 H 的函數(shù)，與風(fēng)偏狀態(tài)下的剛度有關(guān)。

依據(jù)線性隨機(jī)振動理論，脈動風(fēng)荷載作用下，背景分量的均方值可以計算為：

式中? IV =σV / V 為湍流強(qiáng)度，σV 和 S V （ f）分別為湍流的均方根和功率譜密度，f為頻率，coh （ x 1，x2，f ）為脈動風(fēng)相干函數(shù)。可以證明，直接使用影響線函數(shù)計算的背景分量與考慮所有背景模態(tài)的響應(yīng)是等價的，因此影響線函數(shù)比模態(tài)分析方法效率更高，精度更好[6]。

3 共振分量計算

3.1? 模態(tài)位移響應(yīng)

共振分量通過模態(tài)分析確定。當(dāng)靜力平衡狀態(tài)附近的動力變形較小時，動力響應(yīng)引起的動反力與靜反力相比也很小，動力方程可以基于準(zhǔn)定常理論線性化，平面內(nèi)和平面外模態(tài)位移的氣動阻尼耦合動力方程表示為[6]：

式中qiv （t）和qiw （t）分別表示面內(nèi)和面外的模態(tài)位移；ξiv 和ξiw為結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼比；固有頻率ωiv =2πfiv，ωiw =2πfiw，且fiv，fiw為輸電線自振頻率；Nv 和Nw分別為面內(nèi)和面外模態(tài)截斷數(shù)。氣動阻尼比ξais1 和ξaijs1 s2（ s1= v，w；s2= v，w ）分別為：

其中，v 表示面內(nèi)，w 表示面外，則有：

面內(nèi)及面外模態(tài)的廣義力可分別表示為：

式中fD （ x，t）=ρDCD? V （ x，t ）為脈動風(fēng)荷載，V（x，t）是橫向脈動風(fēng)速。φiv （ x ）和φiw （ x ）分別為平面內(nèi)和平面外的振型。依據(jù)線性振動模態(tài)疊加理論，時域內(nèi)，系統(tǒng)的任意響應(yīng)均可采用模態(tài)位移和對應(yīng)的模態(tài)參與系數(shù)ri （ x ）表示為：

特別地，當(dāng)所求 （ x，t ）為位移響應(yīng)時，ri （ x ）即為模態(tài)φi （ x ）。

3.2? 模態(tài)參與系數(shù)

模態(tài)參與系數(shù)可定義為模態(tài)慣性力下的靜態(tài)響應(yīng)。引入響應(yīng)的影響線函數(shù)有：

式中μv （ x ），μw （ x ）為對應(yīng)于該響應(yīng)的面內(nèi)及面外作用力影響線函數(shù)?？紤]連續(xù)索結(jié)構(gòu)的動力特征方程：

式中ΔHi 為水平附加張力。將公式（19）和（20）代入公式（17）和（18），可以得到：

對于本文重點(diǎn)考察的絕緣子端部支座處的反力響應(yīng)，面內(nèi)外反力T?y和T?z由模態(tài)位移和模態(tài)參與系數(shù)計算得到，而支座處縱向反力T?x可根據(jù)位移和反力的比例關(guān)系求出，如下所示：

表示x =0處 t 時刻的面外位移，動反力在 x0，y0，z0方向的分力為：

面內(nèi)外反力T?y，T?z亦可以根據(jù)縱向張力定

3.3? 模態(tài)共振分量的頻域計算

基于隨機(jī)振動理論，對于非耦合模態(tài)振動，共振模態(tài)位移的均方根為：

其中，廣義力的功率譜密度為：

則有? vv = sin2θˉ，? ww = cos2θˉ。一旦確定了模態(tài)位移的均方根，可以由 SRSS 方法（總響應(yīng)為背景分量與共振分量之和）計算（ t ）的共振分量的均方根。響應(yīng)的極值為靜力響應(yīng)加上峰值因子乘以響應(yīng)的均方根[14]。依據(jù)現(xiàn)有研究，模態(tài)響應(yīng)的背景分量與共振分量之間的相關(guān)性可以忽略不計[15].不難發(fā)現(xiàn)，由于風(fēng)偏狀態(tài)下輸電線的頻率和氣動阻尼比發(fā)生了變化，共振分量也受到了靜力風(fēng)偏的影響。

4 算例分析

4.1? 風(fēng)場特性

考慮一根500 kV 的雙跨輸電線，它的參數(shù)如下：跨度 L=400 m，垂跨比 d0/L=1/30，線密度 m =2.39 kg/m，直徑 D=0.036 m，EA=48.8 MPa 。初始張力 H0=35.2 kN，Irvine 常數(shù)λ2=98.6。輸電線受到垂直于輸電線平面的風(fēng)荷載作用，阻力系數(shù)CD =1.0。風(fēng)速曲線為 =0（ z/10）（1/6.5），0為10 m高度處平均風(fēng)速，z 是地面以上高度，橫向脈動風(fēng)的功率譜密度由Kaimal譜給出：

式中? u*為摩擦速度，σ V = u*。在參考高度即支撐水平以下的 d0處，z=70? d0=61 m 。

脈動風(fēng)的相干函數(shù)由 Davenport 的指數(shù)函數(shù)模型給 c（出）：

衰減因子為 C=16。除了上述模型之外，考慮到輸電線的幾何非線性，響應(yīng)分析使用非線性有限元方法。

4.2? 靜風(fēng)響應(yīng)算例分析

圖2顯示了有限元和理論分析方法在不同風(fēng)速下的垂度比 d/d0，水平張力比 H/H0，支座處反力比 y0/H0，面內(nèi)外跨中位移比 w/d0和 v/d0，風(fēng)偏角θ，結(jié)果表明，兩種分析方法中的靜力特性非常接近，驗(yàn)證了靜風(fēng)響應(yīng)分析理論的正確性。從位移比和風(fēng)速之間的斜率可以看出，由于幾何非線性的影響，輸電線的剛度隨著風(fēng)速的增大而增大。風(fēng)速較大時，靜張力隨著靜風(fēng)荷載的增大而明顯增大。

只有當(dāng)兩個振動模態(tài)頻率彼此非常接近時，平面內(nèi)和平面外模態(tài)響應(yīng)的耦合效應(yīng)才很重要。事實(shí)上，反對稱的平面內(nèi)和平面外的振動具有相同的模態(tài)頻率和形狀。一些對稱的平面內(nèi)模態(tài)的頻率也可能非常接近具有對稱的平面外模態(tài)的頻率，需要考慮這些模態(tài)的耦合以及耦合氣動阻尼項(xiàng)的影響。雙跨輸電線?絕緣子體系的前幾階模態(tài)的示意圖如圖圖3所示，考慮到懸垂絕緣子軸向拉伸剛度較大，可忽略其軸向受拉變形，僅需考慮絕緣子對于面外對稱模態(tài)的影響。未耦合的模態(tài)響應(yīng)可以看成單自由度系統(tǒng)進(jìn)行計算。

4.3? 動力響應(yīng)

采用譜表現(xiàn)方法，可以方便地模擬多個位置的平穩(wěn)脈動風(fēng)[16]。截止頻率fmax =5 Hz，頻率增量Δf=5/4096 Hz=0.0012 Hz 。脈動風(fēng)持續(xù)時間為500 s，時間間隔為Δ t=0.125 s 。參考高度處的平均風(fēng)速為 =30 m/s，湍流強(qiáng)度取為 IV =11%。

對于給定的脈動風(fēng)時程樣本，采用有限元和模態(tài)分析方法計算風(fēng)振響應(yīng)時程。在模態(tài)分析方法中，包括在面內(nèi)和面外方向上的前12階模態(tài)，即總共24階模態(tài)。基于耦合運(yùn)動方程的 Newmark 方法確定模態(tài)分析響應(yīng)，包括背景分量和共振分量。與氣動阻尼相比，結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼很低，故可以忽略結(jié)構(gòu)模態(tài)阻尼。首先消除了前100 s響應(yīng)時程，即消除了

瞬態(tài)結(jié)構(gòu)動力的影響。通過模態(tài)分析與非線性有限元分析結(jié)果進(jìn)行了比較。圖 4和5分別給出了支座處位移時程和功率譜。圖 6和7給出了支座動反力響應(yīng)時程及其功率譜。

除了進(jìn)行以上模態(tài)響應(yīng)時程分析外，下文還采用非線性有限元方法進(jìn)行響應(yīng)分析，并與響應(yīng)譜理論分析模型的結(jié)果進(jìn)行了比較。為了研究靜力平衡對動力響應(yīng)的影響，基于理論公式的響應(yīng)譜分析，其中背景分量使用影響線函數(shù)計算，共振分量通過模態(tài)分析確定，將是否考慮輸電線靜力風(fēng)偏角的兩種計算結(jié)果與有限元方法比較。圖 8顯示了位移和反力分量的均方根隨風(fēng)速的增加而增大，湍流強(qiáng)度 IV =11%。

可以發(fā)現(xiàn)，考慮輸電線平面靜力風(fēng)偏的響應(yīng)與非線性有限元分析結(jié)果吻合較好。由于氣動阻尼較大，動力響應(yīng)主要來源于背景分量。如前所述，橫向動反力的背景分量不受輸電線平面靜力風(fēng)偏的影響。然而如圖8（ a ）所示，當(dāng)不考慮輸電線平面靜力風(fēng)偏時，在支座處橫向位移的背景分量和總響應(yīng)顯然被高估了。另外如圖8（b）和（d）所示，不考慮靜力風(fēng)偏無法準(zhǔn)確計算豎向位移和縱向反力分量。

對于上述響應(yīng)，峰值因子范圍為2.68到4.03。如圖9所示，當(dāng) IV =11%時，隨著風(fēng)速的增加，橫向動反力的陣風(fēng)響應(yīng)因子 GRF（Gust Response Fac? tor）從1.42略微增加到1.45。而橫向位移的 GRF 從1.42減小到1.15。由于脈動響應(yīng)與湍流強(qiáng)度成正比，因此湍流強(qiáng)度越高，GRF 越大。

5 結(jié)論

本文以典型兩跨輸電線?絕緣子體系的絕緣子風(fēng)偏位移以及端部對桿塔的空間支座反力響應(yīng)為研究內(nèi)容，將風(fēng)效應(yīng)分為平均風(fēng)作用下的幾何非線性靜力效應(yīng)和脈動風(fēng)作用下的線性動力效應(yīng)，基于懸索力學(xué)理論，通過推導(dǎo)體系的影響線函數(shù)和模態(tài)參與系數(shù)，分別計算了背景分量和共振分量。逐步建立了體系強(qiáng)風(fēng)抖振空間響應(yīng)的時/頻域的理論計算方法。具體結(jié)論如下：

（1）平均風(fēng)荷載導(dǎo)致了幾何非線性的靜風(fēng)響應(yīng)，輸電線平面發(fā)生了風(fēng)偏，水平風(fēng)荷載還引起了平面內(nèi)和平面外模態(tài)振動響應(yīng)。與此同時，輸電線弦向張力也有了顯著提高，改變了系統(tǒng)的自振頻率和氣動阻尼等動力特性。

（2）利用影響線函數(shù)可方便高效地計算脈動風(fēng)荷載的背景分量，且可以得出模態(tài)參與系數(shù)，用以計算共振分量。除了橫向支反力響應(yīng)外，其他響應(yīng)的影響線函數(shù)均會受到靜力風(fēng)偏狀態(tài)的影響。由于較高的氣動阻尼，脈動響應(yīng)以背景分量為主要貢獻(xiàn)，共振分量以一階振動為主。

（3）不考慮輸電線靜力風(fēng)偏將顯著高估絕緣子橫向位移的背景分量及脈動響應(yīng)，同時也無法計算豎向位移、縱向反力和豎向動反力分量。因此在動力響應(yīng)分析中考慮靜力非線性變形對脈動風(fēng)動力響應(yīng)的影響是十分必要的。

（4）通過與非線性有限元分析比較，本文提出的三維振動理論模型具備足夠的工程效率和精度。

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Frequency and time domain analytical methods for wind -induced buffeting response of overhead conductor

WANG Da-hai1，WANG Tao1，WANG Wei2，XU Kang3，LIANG Shu-guo4

（1.Department of Architectural Engineering，School of Civil Engineering and Architecture，Wuhan University of Technology，Wuhan 430070，China；2.Guangdong Electric Power Design Institute，Guangzhou 510799，China；3.State Grid Electric Power Research Institute Wuhan Nari Group Corporation，Wuhan 430072，China；4.School of Civil Engineering，Wuhan University，Wuhan 430070，China）

Abstract： The nonlinear dynamic buffeting response with large deformation often occurs under the action of strong wind，which will always lead to wind flashover of power network and the wind damage of supporting towers . In order to reveal the formation mechanism of wind effect on transmission lines under the action of strong wind，this paper takes the typical two-span transmission lines-insulators as the research object，and studies on the wind deflection displacement of insulators and the reaction response of towers to the spatial supports at the end of insulators . Based on the cable structure mechanics，the nonlinear solution of the static average wind deviation state is analyzed，and the changes of dynamic characteristics such as mode and aerodynamic damping of the system under wind deviation are investigated . The expressions of the influence line function and modal participation coefficient of the response are derived，and the calculation method of linear dynamic response in time domain is proposed . According to the theo? ry of wind engineering，the frequency domain expressions of background component and resonance component of fluctuating wind vibration response are given . A typical example is used to analyze and compare with the results of nonlinear finite element model . The results show that the three-dimensional vibration time/frequency domain theoretical model and the parameter calculation meth ? od proposed in this paper have sufficient engineering efficiency and accuracy . The study provides a theoretical basis and calculation method for revealing the damage mechanism of transmission line wind disaster and improving the wind-resistant design of transmis? sion line structure .

Key words ： nonlinear；buffeting response；transmission line；background component；resonant component

作者簡介：汪大海（1975—），男，博士，教授。電話：13657236629；E-mail：wangdahai@whut .edu .cn。