潘超 韓笑 張瑞甫 張雪 逯靜洲

摘要：耗能增效是慣容減震系統(tǒng)的典型特征。為充分發(fā)揮此特性并同時滿足減震性能需求，提出將慣容減震結(jié)構(gòu)耗能增效程度最大化作為目標(biāo)，并以性能需求作為約束條件進(jìn)行減震參數(shù)尋優(yōu)?；陔S機振動理論推導(dǎo)慣容減震單自由度結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵下的解析解；建立最大耗能增效設(shè)計所對應(yīng)等效約束優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)表達(dá)式。鑒于表達(dá)式的復(fù)雜性，采用魯棒性好且便于實現(xiàn)的粒子群算法對問題進(jìn)行求解。在粒子群算法中引入自適應(yīng)懲罰權(quán)重考慮約束條件，并采用自適應(yīng)調(diào)整的慣性權(quán)重提高求解效率?；?Python 語言編制了自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法程序?qū)T容減震結(jié)構(gòu)最大耗能增效設(shè)計問題進(jìn)行求解。設(shè)計實例的求解過程體現(xiàn)了自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法對求解慣容減震結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計問題的有效性，動力時程分析結(jié)果表明設(shè)計參數(shù)實現(xiàn)了預(yù)設(shè)的減震性能需求。

關(guān)鍵詞：慣容系統(tǒng)；耗能增效；性能需求；約束優(yōu)化；粒子群算法；自適應(yīng)權(quán)重

中圖分類號： TU318??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號：1004-4523（2022）05-1233-09

DOI：10.16385/j .cnki .issn .1004-4523.2022.05.021

引言

地震是危及人類生命及財產(chǎn)安全的重大自然災(zāi)害之一，工程結(jié)構(gòu)的破壞是地震災(zāi)害的主要表現(xiàn)形式。在結(jié)構(gòu)中增設(shè)減震裝置是降低地震響應(yīng)、提高結(jié)構(gòu)安全性的有效手段[1?2]。慣容系統(tǒng)是一種新型減震裝置[3?4]，其兩端點慣性、阻尼耗能增效的特性為結(jié)構(gòu)減震控制提供了高效的解決方案。日本東北大學(xué)Ikago團(tuán)隊[5]率先展開慣容系統(tǒng)的減震研究，首次提出并研制了完整意義上的慣容系統(tǒng)，即調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器（TVMD），繼而給出了 TVMD 單自由度結(jié)構(gòu)基于定點理論的參數(shù)設(shè)計方法。李超等[6]針對參數(shù)優(yōu)化過程中忽略固有阻尼的問題提出了一種基于遺傳算法的 TVMD 優(yōu)化方法，以獲得更合理的設(shè)計參數(shù)，同時也表現(xiàn)出智能算法在優(yōu)化設(shè)計過程中的合理性。Faraj 等[7?8]提出利用沖擊能量管理吸收沖擊并存儲在專用裝置中來調(diào)節(jié)慣容器慣性質(zhì)量的方法。羅建南等[9]提出了通過網(wǎng)絡(luò)綜合分析來系統(tǒng)地辨識最優(yōu)慣容型減振器構(gòu)型的方法。閻武通等[10]基于 H2優(yōu)化理論對設(shè)置慣容系統(tǒng)的多自由度結(jié)構(gòu)進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化方法。上述研究以最優(yōu)控制為目標(biāo)，忽略了與工程設(shè)計實際需求的聯(lián)系。 Pan 等[11?12]認(rèn)為慣容減震結(jié)構(gòu)應(yīng)以結(jié)構(gòu)性能需求為直接設(shè)計目標(biāo)，并基于隨機振動理論提出兼顧控制效果與成本的慣容減震結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計原則與方法。隨后，Zhang 等[13]基于隨機振動響應(yīng)解析解發(fā)現(xiàn)了慣容系統(tǒng)的耗能增效原理，使慣容減震機理得到明確的物理闡釋，并為慣容減震結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計提供了更直觀的思路。

基于耗能增效原理的設(shè)計方法涉及繁瑣的隨機振動響應(yīng)表達(dá)式，采用常規(guī)數(shù)值優(yōu)化算法時需要推導(dǎo)更繁瑣的梯度表達(dá)式，且需要較準(zhǔn)確的初始解，這給慣容減震結(jié)構(gòu)的參數(shù)優(yōu)化造成了一定的困難。鑒于此，本文采用魯棒性好、原理簡單且便于編程實現(xiàn)的粒子群算法對其進(jìn)行慣容系統(tǒng)的最大耗能增效優(yōu)化設(shè)計。本文以混聯(lián)Ⅱ型慣容系統(tǒng)（TVMD）為研究對象[14]，首先基于慣容減震結(jié)構(gòu)在白噪聲激勵下的隨機振動響應(yīng)解析解，給出了慣容減震結(jié)構(gòu)最大耗能增效優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)描述，采用 Python 語言編制相應(yīng)自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的計算機程序，進(jìn)行非線性約束優(yōu)化問題的求解，最后通過設(shè)計實例分析驗證了本文所提方法和所得參數(shù)的有效性。

1 慣容系統(tǒng)理論基礎(chǔ)

1.1 單自由度慣容系統(tǒng)運動方程

單自由度結(jié)構(gòu)在地震激勵下的運動方程為：

式中? m，c，k 分別為單自由度結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度；u，u?，分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)點的位移、速度和加速度；ag 為地面運動加速度。

根據(jù)圖1建立設(shè)置慣容系統(tǒng)的單自由度結(jié)構(gòu)的運動方程為：

式中? min，kd，cd 為慣容系統(tǒng)中的慣容系數(shù)、彈簧剛度、阻尼器的黏滯阻尼系數(shù)，uin為慣容元件兩端相對位移。

將式（2）中的等式左右兩邊同時除以質(zhì)量 m可得

式中ω0，ζ分別為單自由度結(jié)構(gòu)的自振圓頻率和固有阻尼比；μ，κ，ξ分別為慣容系統(tǒng)的慣質(zhì)比、剛度比和名義阻尼比。各參數(shù)的具體定義如下：

1.2 隨機振動響應(yīng)解析表達(dá)式

根據(jù)式（3）可推導(dǎo)出單自由度慣容減震結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)的頻域傳遞函數(shù)：

根據(jù)隨機振動理論[15]，白噪聲（功率譜密度為 S0）激勵下，體系響應(yīng)均方值為：

式中 H （ iω）為體系響應(yīng)傳遞函數(shù)。

將式（5）代入式（7），可得慣容減震結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)均方值的解析表達(dá)式為[12]：

基于隨機振動響應(yīng)表達(dá)式可定義慣容減震結(jié)構(gòu)的減震比γ為[11]：

式中σu（2），0為未安裝慣容系統(tǒng)的原單自由度結(jié)構(gòu)的位移均方響應(yīng)，表達(dá)式為：

將式（8），（12）代入式（11）即可得慣容減震結(jié)構(gòu)隨機響應(yīng)減震比的具體表達(dá)式為：

1.3 慣容系統(tǒng)的耗能增效特性

慣容系統(tǒng)耗能增效特性是指在動態(tài)荷載的激勵下，慣容系統(tǒng)內(nèi)部自由度的變形可大于其安裝位置處主結(jié)構(gòu)的相對變形[13]，從而高效地實現(xiàn)動力吸振與耗能減震。如圖2所示，結(jié)構(gòu)變形一定的條件下，慣容系統(tǒng)的耗能增效特性比普通阻尼器耗散更多的輸入能量，進(jìn)而降低動力響應(yīng)。

為衡量耗能增效發(fā)揮的作用大小，文獻(xiàn)[13]定義了慣容系統(tǒng)的耗能變形放大率α為：

基于隨機振動響應(yīng)解析表達(dá)式，求解白噪聲激勵下慣容系統(tǒng)耗能變形放大率α的具體表達(dá)式為[13]：

2 慣容系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計原則

為充分發(fā)揮慣容系統(tǒng)的耗能增效特性，本文以滿足性能需求為前提，以耗能變形放大率最大化為原則進(jìn)行慣容系統(tǒng)參數(shù)的優(yōu)化設(shè)計。慣容系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計問題表示為約束優(yōu)化問題，即：

式中 f為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)；慣容系統(tǒng)耗能變形放大率α按式（15）計算；減震比γ按式（13）計算；γ t 為目標(biāo)減震比，設(shè)計時可按下式確定[12]：

求解式（18）所述約束優(yōu)化問題時，若采用經(jīng)典的數(shù)值方法，由于公式繁瑣、梯度計算不便，求解效果不夠理想?？紤]到粒子群算法原理簡單且具有操作簡單、容易實現(xiàn)、全局搜索能力強等優(yōu)點，本文選擇粒子群算法來對慣容減震結(jié)構(gòu)進(jìn)行參數(shù)尋優(yōu)。

3 自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法

粒子群算法（Particle? Swarm? Optimization， PSO）是 Kennedy 和 Eberhart[16]提出的一種隨機優(yōu)化算法，其模擬的是鳥群飛行覓食的行為，通過鳥群集體之間的協(xié)作使群體達(dá)到最優(yōu)的目的，適用于求解復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題。

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法優(yōu)化存在易出現(xiàn)早熟收斂、尋優(yōu)精度低等問題。大量研究結(jié)果表明，慣性權(quán)重是粒子群算法中平衡全局搜索能力與局部搜索能力的重要參數(shù)，采用自適應(yīng)慣性權(quán)重策略計算慣性權(quán)重可改善算法的性能[17?18]?？紤]到慣容優(yōu)化設(shè)計問題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是非線性函數(shù)，故本文選用可以自動調(diào)節(jié)慣性權(quán)重的改進(jìn)粒子群算法進(jìn)行求解。

粒子群算法求解優(yōu)化問題時，單個粒子代表一個可行解，粒子適應(yīng)度值根據(jù)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)計算，種群中所有個體按一定規(guī)則不斷移動以尋求最優(yōu)解。粒子群中第i個粒子的移動規(guī)則為：

式中? t 為粒子移動時間步（t >0）；x? t ）為粒子i在t 時間步的位置向量，x i（b）est為粒子i在移動過程中的歷史最優(yōu)位置向量，xbest為整個種群的歷史最優(yōu)位置向量，v? t ）為粒子i在 t 時間步的速度向量；c1和 c2分別為粒子自身學(xué)習(xí)因子和社會學(xué)習(xí)因子；r1和 r2為0～1之間的隨機數(shù)；w （ t ）為自適應(yīng)慣性權(quán)重系數(shù)，可按下式計算：

式中wmax和wmin分別為慣性權(quán)重的最大和最小值，一般取值分別為1.0，0.3；Ps （ t ）為移動到更優(yōu)位置處粒子所占比例，可按下式計算：

式中? n 為種群規(guī)模，即種群中的粒子數(shù)量；f （ x t ））為粒子 i 在 t 時間步的適應(yīng)度值。慣容系統(tǒng)耗能增效優(yōu)化設(shè)計問題屬于約束優(yōu)化問題，而粒子群算法本質(zhì)上是一種無約束的搜索方法，因此本文采用懲罰函數(shù)法將慣容系統(tǒng)耗能增效優(yōu)化設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為無約束優(yōu)化問題后，再運用粒子群算法進(jìn)行求解。引入懲罰函數(shù)后，慣容系統(tǒng)耗能增效優(yōu)化設(shè)計問題的表達(dá)式為：

式中? h 為懲罰權(quán)重。由于合理的懲罰權(quán)重因具體問題而異，其數(shù)值不易確定，為提升算法的穩(wěn)定性與收斂性，本文采用自適應(yīng)變化的懲罰權(quán)重，即：

當(dāng)使用粒子群算法求解慣容系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計問題時，粒子適應(yīng)度值按式（25）中優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)計算，粒子位置向量 x? t ）為三維向量：

式中μ t ），ξi（ t ），κ t ）分別為粒子i在 t 時間步時慣容系統(tǒng)的慣質(zhì)比、名義阻尼比、剛度比。

根據(jù)以上論述，可總結(jié)出采用自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法求解慣容系統(tǒng)耗能增效優(yōu)化設(shè)計問題的流程（圖3）如下：

（1）根據(jù)性能需求確定結(jié)構(gòu)的目標(biāo)減震比γ t；

（2）設(shè)定粒子群最大移動次數(shù)或收斂條件，選定種群規(guī)模 n，初始化每個粒子的位置向量 x? t ）（個體歷史最優(yōu)位置 x i（b）est亦按此初始化）和速度向量 v?; t ），根據(jù)式（25）計算每個粒子的適應(yīng)度值，適應(yīng)度最好的粒子所在位置即為種群的歷史最優(yōu)位置向量xbest；

（3）根據(jù)式（25）計算每個粒子的適應(yīng)度值， f （ x t ））與歷史最優(yōu)位置相比適應(yīng)度更好時，則相應(yīng)更新每個粒子i的歷史最優(yōu)位置向量x i（b）est、種群的歷史最優(yōu)位置向量xbest；

（4）根據(jù)式（20），（21）更新各粒子的位置及速度；

（5）若粒子群達(dá)到最大移動次數(shù)或滿足收斂條件則停止移動，否則，重復(fù)步驟（3）～（5）；

（6）取最終的xbest為最優(yōu)參數(shù)，得到慣容系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)μ，ξ，κ。

據(jù)此流程，本文采用 Python 編程語言編制了面向?qū)ο蟮挠嬎銠C程序 APSOIS（Adaptive ParticleSwarm Optimization of Inerter System）用以求解慣容系統(tǒng)的參數(shù)優(yōu)化問題。

4 算例分析

4.1? 算例求解過程

某單自由度結(jié)構(gòu)，其質(zhì)量 m =1500 t，剛度 k =192 kN /mm，自振周期 T =0.56 s 。擬通過設(shè)置慣容系統(tǒng)進(jìn)行減震控制。

考慮固有阻尼比及目標(biāo)減震比需求的不同，設(shè)置如表1所示5個設(shè)計工況。采用 APSOIS 程序求解慣容系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)μ，ξ，κ的優(yōu)化設(shè)計值如表2所示，同時給出各工況優(yōu)化設(shè)計參數(shù)對應(yīng)的實際減震比γ及耗能變形放大率α。為展示 APSOIS 程序求解慣容系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)的過程，以工況4為例，AP ? SOIS 求解最優(yōu)適應(yīng)度值的迭代軌跡如圖4所示。

由圖4可知，迭代開始時種群中各粒子隨機分布，隨著粒子群移動次數(shù)的增加，粒子群不斷搜索到更好的適應(yīng)度值，整個種群逐漸向最優(yōu)解靠攏，最終大部分粒子都集中在最優(yōu)解附近。

4.2? 算法性能

為了解自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法的性能，考察了種群規(guī)模、慣性權(quán)重策略、懲罰權(quán)重策略對自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法求解過程的影響。

算法收斂曲線。由圖可知，隨著種群規(guī)模增大，種群可獲得更好的初始最佳適應(yīng)度值，且能以更少的移動次數(shù)收斂至最優(yōu)解。由此，本文建議用自適應(yīng)粒子群算法求解慣容系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計問題時，可取種群規(guī)模200，最大移動次數(shù)100。

為驗證自適應(yīng)慣性權(quán)重策略的優(yōu)勢，以工況4為例，考慮不同的慣性權(quán)重策略，即自適應(yīng)慣性權(quán)重、固定慣性權(quán)重（w=0.5，1），比較算法收斂時種群的移動次數(shù)。三種策略對應(yīng)算法進(jìn)行1000次求解（分為10組，每組100次），求解時設(shè)定粒子群種群規(guī)模為500，最大移動次數(shù)為200。收斂時每組所需平均移動次數(shù)如表3所示。

表3中每種策略對應(yīng)的求解過程（成功收斂的情況）如圖6所示。判斷收斂成功的條件為：移動次數(shù)不超過最大移動次數(shù)的前提下，所得結(jié)果與種群規(guī)模1000、移動次數(shù)100次時結(jié)果之間相對誤差小于0.1%。由表3及圖6可知，自適應(yīng)慣性權(quán)重策略下，算法的收斂移動次數(shù)小于固定慣性權(quán)重策略，表現(xiàn)出更強的求解能力。

為驗證自適應(yīng)懲罰權(quán)重策略的優(yōu)勢，表4對比了自適應(yīng)懲罰權(quán)重與固定懲罰權(quán)重為5，9，15時算法的收斂移動次數(shù)，相應(yīng)收斂曲線如圖7所示。由表4及圖7可知，采用自適應(yīng)懲罰權(quán)重策略的粒子群算法，其收斂移動次數(shù)小于固定懲罰權(quán)重策略的收斂移動次數(shù)。

4.3? 減震性能

將表2自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法優(yōu)化的慣容系統(tǒng)關(guān)鍵參數(shù)代入位移響應(yīng)頻響函數(shù)解析表達(dá)式（5）可得其頻響曲線，如圖8所示?；谧赃m應(yīng)權(quán)重粒子群算法所得參數(shù)可以有效調(diào)諧并控制單自由度結(jié)構(gòu)的地震響應(yīng)。

為驗證在有效控制地震響應(yīng)的同時是否充分發(fā)揮慣容系統(tǒng)的耗能增效作用，將其與已有簡化設(shè)計方法進(jìn)行對比。根據(jù)Ikago等[19]提出的單自由度慣容減震結(jié)構(gòu)設(shè)計方法，在已知慣容系統(tǒng)的μ后，κ和ξ可以通過下式計算：

令式（29）中名義阻尼比ξ與表2中數(shù)值相等，可反算出對應(yīng)的慣質(zhì)比μ，進(jìn)而根據(jù)式（28）計算出剛度比κ。這樣可以在名義阻尼比ξ相同的條件下對兩種方法的計算結(jié)果進(jìn)行比較。使用Ikago方法得到的詳細(xì)結(jié)果如表5所示。根據(jù)表2和5的數(shù)據(jù)，可得本文方法與Ikago方法在耗能增效程度和減震效果角度的對比情況如圖9所示。對比可得，當(dāng)二者名義阻尼比ξ一樣時，在相同的工況下，所編自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法所得優(yōu)化參數(shù)計算出的減震比γ與目標(biāo)減震比γt 更相近，更符合所需減震結(jié)構(gòu)的性能水準(zhǔn)，具體大小對比如圖9（ a ）所示。另外，如圖9（b）所示，自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法所求得耗能變形放大率α均大于定點法所得耗能變形放大率，即在名義阻尼比一定的條件下，自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法優(yōu)化的慣容參數(shù)能更大程度發(fā)揮慣容系統(tǒng)的耗能增效作用。通過與定點法對比證明了自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法優(yōu)化參數(shù)設(shè)計的慣容減震結(jié)構(gòu)能夠充分發(fā)揮慣容系統(tǒng)的耗能增效作用。

為直觀展示慣容系統(tǒng)的減震效果，取工況2的設(shè)計參數(shù)，將慣容減震結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力時程分析，通過輸入具有不同頻譜特性的地震動[14]（白噪聲、人工地震波、天然波），計算其位移響應(yīng)如圖10所示。圖 10顯示在不同頻譜地震動下慣容減震結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)均小于原結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)，且響應(yīng)均方根減震比與所設(shè)定目標(biāo)減震比均相近，證明了本文方法的有效性和設(shè)計參數(shù)的合理性。

為體現(xiàn)慣容系統(tǒng)內(nèi)阻尼器的減震效率，取工況2的設(shè)計參數(shù)，將慣容減震結(jié)構(gòu)和單獨設(shè)置黏滯阻尼器的減震結(jié)構(gòu)（二者的黏滯阻尼系數(shù)相等）進(jìn)行地震響應(yīng)對比，結(jié)果如圖11所示。由圖可知，慣容減震結(jié)構(gòu)的響應(yīng)明顯小于黏滯阻尼減震結(jié)構(gòu)的響應(yīng)，表現(xiàn)出更高的減震效率。

此外，本文還將慣容系統(tǒng)和黏滯阻尼器（二者黏滯阻尼系數(shù)相等）同時安裝在結(jié)構(gòu)中，以比較兩者的耗能情況，結(jié)果如圖12所示。通過滯回曲線的對比可知慣容系統(tǒng)內(nèi)阻尼器的變形、阻尼力明顯大于設(shè)置的黏滯阻尼器，其所耗散能量（滯回曲線所包裹的面積）也顯著增加。圖 13給出了相應(yīng)的能量響應(yīng)曲線，由圖可看出在整個地震激勵過程中，慣容系統(tǒng)吸收和耗散的能量都顯著大于黏滯阻尼器（約10倍）。

5 結(jié)論

本文采用自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法實現(xiàn)了對慣容系統(tǒng)的耗能增效優(yōu)化設(shè)計。結(jié)論如下：

（1）慣容減震系統(tǒng)的最大耗能增效優(yōu)化設(shè)計問題可描述為約束優(yōu)化問題，約束條件可采用懲罰函數(shù)的方式予以考慮。

（2）采用自適應(yīng)權(quán)重粒子群算法求解慣容系統(tǒng)優(yōu)化問題，無需復(fù)雜的數(shù)學(xué)理論，便于理解及編程實現(xiàn)。

（3）與經(jīng)典粒子群算法相比，考慮自適應(yīng)慣性權(quán)重和自適應(yīng)懲罰權(quán)重的粒子群算法在求解慣容系統(tǒng)優(yōu)化問題時具有更好的收斂性能。

（4）雖然本文僅對設(shè)置慣容系統(tǒng)的單自由度結(jié)構(gòu)進(jìn)行了討論，但將本文方法框架中的響應(yīng)求解過程和優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)、約束條件等因素根據(jù)多自由度結(jié)構(gòu)的特點進(jìn)行調(diào)整后，即可用于多自由度慣容減震結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，相關(guān)問題將在后續(xù)的研究中進(jìn)一步探討。

參考文獻(xiàn)：

[1]? Saaed T E，Nikolakopoulos G，Jonasson J E，et al . Astate-of-the-art review? of structural control systems[ J ]. Journal of Vibration & Control，2013，21（5）：919-937.

[2]? Symans M D，Charney F A，Whittaker A S，et al . En ?ergy? dissipation? systems ?for? seismic? applications ：cur? rent? practice? and? recent? developments [ J ]. Journal? of Structural Engineering，2008，134（1）：3-21.

[3] 李壯壯，申永軍，楊紹普，等.基于慣容-彈簧-阻尼的結(jié)構(gòu)減振研究[ J ].振動工程學(xué)報，2018，31（6）：157-163.

Li Zhuangzhuang，Shen Yongjun，Yang Shaopu，et al . Study? on? vibration? mitigation? based? on? inerter-spring- damping? structure [ J ]. Journal? of? Vibration? Engineer? ing，2018，31（6）：157-163.

[4] 張瑞甫，曹嫣如，潘超.慣容減震（振）系統(tǒng)及其研究進(jìn)展[ J ].工程力學(xué)，2019，36（10）：8-27.

Zhang? Ruifu， Cao? Yanru，Pan? Chao . Inerter? system and? state-of-the-art[ J ]. Engineering Mechanics ，2019，36（10）：8-27.

[5]? Ikago K，Saito K，Inoue N . Seismic control of single-degree-of-freedom? structure? using? tuned? viscous? mass damper[ J ]. Earthquake? Engineering & Structural? Dy? namics，2012，41（3）：453-474.

[6] 李超，張瑞甫，趙志鵬，等.調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器基于遺傳算法的參數(shù)優(yōu)化研究[ J ].結(jié)構(gòu)工程師，2016，32（4）：124-131.

Li Chao，Zhang Ruifu，Zhao Zhipeng，et al . Optimum study? of tuned? viscous mass dampers based? on? genetic algorithm [ J ]. Structural? Engineers ， 2016， 32（4）：124-131.

[7]? Faraj R，Holnicki-Szulc J，Knap L，et al . Adaptive in?ertial? shock-absorber [ J ]. Smart? Materials &Struc? tures，2016，25（3）：035031.

[8]? Faraj R，Jankowski U，Graczykowski C，et al . Can theinerter be? a? successful shock-absorber？The? case? of a ball-screw inerter with a variable thread lead[ J ]. Journalof the Franklin Institute，2019，356：7855-7872.

[9] 羅建南，景興建，姜政.采用網(wǎng)絡(luò)綜合分析的最優(yōu)慣容型減振器辨識方法研究[ J ].振動工程學(xué)報，2020，33（6）：1208-1215.

Luo Jiannan，Jing Xingjian，Jiang Zheng . Identification approach of optimum inerter-based absorbers using net? work? synthesis [ J ]. Journal? of? Vibration? Engineering，2020，33（6）：1208-1215.

[10]閻武通，韓冰，文永奎.新型調(diào)諧黏滯質(zhì)量阻尼器對斜拉橋的減震控制分析[ J ].土木工程學(xué)報，2016（S1）：66-71.

Yan? Wutong，Han? Bing ，Wen? Yongkui . Seismic? con ? trol analysis? of cable-stayed bridge based? on tuned? vis?cous [ J ]. China? Civil? Engineering? Journal ，2016（S1）：66-71.

[11] Pan C，Zhang R，Luo H，et al . Demand-based optimaldesign? of? oscillator? with? parallel-layout? viscous? inerter damper[ J ]. Structural Control and Health Monitoring，2018，25（1）：e2051.

[12] Pan? C，Zhang? R . Design? of structure with? inertersys?tem? based? on? stochastic? response? mitigation? ratio [ J ]. Structural Control & Health Monitoring，2018，25（6）：e2169.1-e2169.21.

[13] Zhang R，Zhao Z，Pan C，et al . Damping enhancementprinciple? ofinerter? system [ J ]. Structural? Control? and Health Monitoring，2020，27（5）：e2523.

[14]潘超，張瑞甫，王超，等.單自由度混聯(lián)Ⅱ型慣容減震體系的隨機地震響應(yīng)與參數(shù)設(shè)計[ J ].工程力學(xué)，2019，36（1）：132-140+148.

Pan Chao，Zhang Ruifu，Wang Chao，et al . Stochastic seismic response and design of structural system with se? ries-parallel-II inertersystem[ J ]. Engineering Mechan? ics，2019，36（1）：132-140+148.

[15] Crandall S H M W D . Random Vibration in MechanicalSystems [M].?? New? York： Academic? Press，1963：127-139.

[16] Kennedy? J ， Eberhart ?R . Particle? swarm? optimization[C]. ICNN95-International Conference on Neural Net? works . IEEE，1995：1942-1948.

[17]鄧愛萍，王會芳.動態(tài)改變慣性權(quán)重的自適應(yīng)粒子群算法[ J ].計算機工程與設(shè)計，2010（13）：3062-3065.?? Deng Aiping，Wang Huifang . Adaptive particle swarm optimizationalgorithm? with? dynamically? changing? iner?tia weight[ J ]. Computer Engineering and Design，2010（13）：3062-3065.

[18]周俊，陳璟華，劉國祥，等.粒子群優(yōu)化算法中慣性權(quán)重綜述[ J ].廣東電力，2013（7）：6-12.

Zhou Jun，Chen Jinghua，Liu Guoxiang，et al . Summa ? ry on inertia weightin particle swarm? optimization algo? rithm[ J ]. Guangdong Electric Power，2013（7）：6-12.

[19] Ikago K，Saito K，Inoue N . Seismic control of single-degree-of-freedom? structure? using? tuned? viscous? mass damper[ J ]. Earthquake? Engineering & Structural? Dy? namics，2012，41（3）：453-474.

Adaptively weighted particle swarm optimization for damping enhanced inerter system

PAN Chao1，HAN Xiao1，ZHANG Rui-fu2，3，ZHANG Xue1，LU Jing-zhou1

（1.College of Civil Engineering，Yantai University，Yantai 264005，China；2.State Key Laboratory of Disaster Reduction in Civil Engineering，Tongji University，Shanghai 200092，China；3.Department of Disaster Mitigation for Structures，Tongji University，Shanghai 200092，China）

Abstract： Damping enhancement is the typical characteristic of the inerter system for seismic response mitigation . To give full play to this characteristic and meet the demand of seismic performance at the same time，it is proposed to maximize the degree of damp? ing enhancement of the inerter system with the performance demand as the constraint condition during the decision of key parame ? ters . The closed-form solution of a single-degree-of-freedom structure with an inerter system under the excitation of white noise is derived based on the theory of random vibration . The mathematical expression of the equivalent constrained optimization problem for damping enhancement maximization is established . Given the complexity of the expression，the particle swarm algorithm，a ro ? bust and simple meta-heuristics method for numerical optimization，is used to solve the problem . The adaptively changed penalty weight is introduced into the particle swarm algorithm to consider the constraints，and the adaptively adjusted inertia weight is used to improve the efficiency for the search of the optimal solution . A computer program of the adaptively weighted particle swarm algo? rithm is developed to solve the design problem of the inerter system for damping enhancement maximization . The design examples reflect the effectiveness of the adaptively weighted particle swarm? algorithm? in solving the optimization problem? of the structure with inerter system . And the dynamic time-history? analyses show that the structural damping performance demands are realized with the designed parameters .

Key words ： inerter? system；damping? enhancement；performance? demand；constrained? optimization；particle? swarm? optimization； adaptive weight

作者簡介：潘超（1985—），男，副教授。電話：15953572531；E-mail：panchao@ytu .edu .cn。

通訊作者：張瑞甫（1980—），男，副教授。電話：13585903611；E-mail：zhangruifu@tongji .edu .cn。