201104 復旦大學附屬閔行實驗學校 盧 爽

1 問題解決教學的一般理論

1.1 什么是問題解決教學

所謂問題解決教學，是指教師有效指導學生提出問題、分析問題，幫助學生主動獲取知識、應用知識、解決問題的一種教學方式.

1.2 問題解決教學的三種具體設計形式

從學生問題解決學習方式的角度觀察，問題解決教學的設計可分為三種類型：知識接受型設計、規(guī)律發(fā)現(xiàn)型設計和研究型設計.三種設計本身并無主次、優(yōu)劣之分.依據(jù)不同教學內(nèi)容選擇不同的設計模式，其設計的核心目標是讓學生完整體驗提出本源問題、分析關聯(lián)問題、解決最終問題、產(chǎn)生知識遷移的思維過程，積累解決問題的學習經(jīng)驗.

數(shù)學問題解決教學是在數(shù)學領域?qū)嵺`問題解決教學的一般理論.

2 思維導圖是數(shù)學問題解決教學的有效工具

2.1 思維導圖的定義

英國心理學家東尼·博贊對思維導圖作出了如下釋義：“思維導圖表達出來了發(fā)散性思維，屬于人類思維自然功能的一部分.它作為一種圖形技術(shù)可以起到非常關鍵的作用，可以把人們的大腦潛力充分挖掘出來.思維導圖可在我們生活的方方面面加以運用，進而大大提升學習者的學習力和思維能力，并使得人們的行為表現(xiàn)有一個較大的改觀.”

2.2 思維導圖的工作形式

思維導圖模擬人腦的工作方式，又被稱為心智圖或腦圖.繪制時焦點清晰地集中在中央圖形上，主題的主干以脈絡分支的形式延伸，延伸出一個關鍵圖像或關鍵詞，各分支形成一個按層級連接的節(jié)點結(jié)構(gòu)，最終將大腦的發(fā)散思維可視化和圖解化，形成一種樹狀思維.

2.3 在數(shù)學問題解決教學中運用思維導圖的優(yōu)勢

思維導圖作為一種思維工具具備簡單、高效、發(fā)散性和形象化的特點，能夠全面調(diào)動左右腦的不同功能，最大限度地挖掘大腦潛能，激發(fā)更高層次的思維.用思維導圖進行數(shù)學問題解決教學可以凸顯問題的思維過程，形象表征數(shù)學知識，呈現(xiàn)知識之間的關聯(lián).近年來，思維導圖在學科教學過程中被逐漸應用.

3 借助思維導圖，輔助數(shù)學問題的提出

3.1 借助思維導圖的起點提出本源性問題

本源是指構(gòu)成一切事物的最初根源.本源性問題是指最為原始、最為本質(zhì)的問題.數(shù)學本源性問題是指對數(shù)學知識的認知所提出的最基本的問題，是數(shù)學知識生長的起點，也是數(shù)學知識發(fā)展的根源.在數(shù)學教學中，教師常常從本源性問題出發(fā)，揭示概念的本質(zhì)，啟發(fā)學生思考，傳遞思想方法，構(gòu)建知識體系.本源性問題是數(shù)學知識的最初載體，其產(chǎn)生和發(fā)展與數(shù)學思維導圖學習模式高度相似，因此，教學時可以借助思維導圖的起點提出數(shù)學本源性問題.

3.2 借助思維導圖進行問題鏈設計

問題鏈是本源性問題發(fā)展的具體形式，更多的問題意味著承載更多的知識.問題鏈設計是目前被教師廣為應用的教學設計之一.借助思維導圖的各級及其分支，從整體上系統(tǒng)地考慮問題間的層次性與關聯(lián)性，避開問題解決教學在提問內(nèi)容、方式和時機上的弊端，通過預先的設計和后續(xù)的生成，讓課堂提問設計更加有的放矢，學生的思維處于連續(xù)活躍狀態(tài)，思考更加有深度.

3.3 科學的問題鏈設計應滿足三個原則

一，提問的時機要恰當，提出問題的跨度不宜過大或過小.二，提問的脈絡需清晰且具有導向性，引導學生循著線索去解決問題，除教師的特殊設計外，要跟著學生的思路去生成問題，找尋知識的增長點.三，提問的內(nèi)容要明確且具有邏輯性，引導學生關聯(lián)知識結(jié)構(gòu)，建構(gòu)知識體系.

4 三種教學設計模型下的思維導圖教學模式

三種教學設計模型下的思維導圖教學模式，指的是以知識的邏輯(知識的產(chǎn)生、發(fā)展、聯(lián)系、關系等)與學生的認知相結(jié)合構(gòu)建起來的雙邏輯模式下的設計形式.

4.1 知識接受型設計

知識接受型設計包括概念接受型設計和方法接受型設計.一般針對教材中規(guī)定的公理、定義或特殊問題的方法，例如公理“兩點之間線段最短”、有理數(shù)的定義、絕對值的定義(幾何意義)、二元一次方程的定義、分母有理化的方法等.

以二元一次方程的相關概念教學為例(如圖1所示)，在這個設計中，思維導圖教學模式主要從研究“方程”相關概念的一般路徑“定義-一般式-解法-應用”設計問題鏈，復習舊知，學習新知.

圖1

4.2 規(guī)律發(fā)現(xiàn)型設計

類比發(fā)現(xiàn)、歸納發(fā)現(xiàn)、猜想驗證是解決數(shù)學規(guī)律型問題時普遍應用的三種方法，其差異在于它們的思考方向不同，因此，相應的教學設計模式也有所區(qū)別，以下結(jié)合具體設計片段進行說明.

4.2.1 類比發(fā)現(xiàn)型

類比發(fā)現(xiàn)型教學設計的關鍵是選好類比教學的對象.這個對象必須是已經(jīng)學過的知識或?qū)W習經(jīng)驗，并且，它與新知識之間具有共同點和相似之處，這些共同點或相似屬性關聯(lián)的程度越高，類比就越明顯.例如滬教版八年級第二學期“19.8(1) 直角三角形的性質(zhì)”一課的教學設計就可以采用類比發(fā)現(xiàn)型設計，將問題鏈以思維導圖模式呈現(xiàn)如下(如圖2所示).

圖2

問題1同學們已經(jīng)學過哪些特殊的三角形？

問題2它們是如何定義的？

問題3它們具有哪些性質(zhì)？(填寫表1)

表1

問題4等腰三角形兩腰所對的底角相等，那么直角三角形兩條直角邊所對的角有何數(shù)量關系？

問題5等腰三角形頂角的角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線互相重合，那么直角三角形直角的角平分線、斜邊上的中線、斜邊上的高線是否也互相重合？

問題6顯然它們不重合，既然位置關系不重合，就再來研究一下它們有無特殊的數(shù)量關系.請思考，這三線將直角三角形分得的線段之間有沒有確定的數(shù)量關系？

問題7直角的角平分線和斜邊上的高線所分得的線段存在確定的數(shù)量關系，我們在初三年級會進一步學習，直角的角平分線和斜邊上的高線所分得的圖形中存在相等的角或互余的角.請猜想斜邊上的中線分得的圖形中，角是否也存在特殊的數(shù)量關系？你能驗證猜想嗎？

此例中，在思維導圖教學模式下，一方面，可以清晰看到直角三角形在新知(性質(zhì))上缺失，進而提出了問題；另一方面，對于新知識(直角三角形)與舊知識(等腰三角形)，通過兩者所具有的角元素的位置關系和數(shù)量關系、內(nèi)部三線的位置關系和數(shù)量關系的類比，以問題鏈(問題4-問題7)的設計對它們加以引導，揭示直角三角形“兩銳角互余”和“斜邊的中線等于斜邊的一半”的性質(zhì)，解決問題.

4.2.2 歸納發(fā)現(xiàn)型

歸納發(fā)現(xiàn)教學是發(fā)現(xiàn)學習中較多運用的一種教學方法，往往用觀察、試驗、分析、比較、歸納、概括等方法獲得歸納的思維過程.在教學設計過程中，要有效實施歸納發(fā)現(xiàn)學習，必須體現(xiàn)學科知識的特征，遵循學生的認知規(guī)律，了解學生歸納發(fā)現(xiàn)學習的心理過程，并根據(jù)其學習的心理過程進行教與學的設計.有效的歸納發(fā)現(xiàn)學習主要分為感知、想象、抽象、概括四個思考階段，以多邊形的外角和教學為例(如圖3所示).

圖3

問題1你會計算四邊形的內(nèi)角和嗎？(感知)

問題2你會算五邊形、六邊形、n邊形的內(nèi)角和嗎？(想象)

問題3以五邊形為例，試一試.(抽象)

問題4以上各種方法中，哪種方法最易理解？(對比)

問題5請你用這種方法試著歸納n邊形的內(nèi)角和，并填寫表2.(概括)

表2

問題6你還有其他分割方法嗎？(遷移)

此例中，借助思維導圖可以看出教學中需要解決的兩個問題.一是在幾種作輔助線的方法中，哪種最易理解，計算最快，解決問題最便利？二是如何從特殊到一般歸納總結(jié)n邊形的內(nèi)角和公式？圍繞這兩個問題進行問題鏈設計.

4.2.3 猜想驗證發(fā)現(xiàn)型

猜想發(fā)現(xiàn)的途徑，可以是試驗、類比、歸納、構(gòu)造、聯(lián)想以及它們之間的組合應用等.數(shù)學猜想是

有一定規(guī)律的(如類比的規(guī)律、歸納的規(guī)律等)，并且要以數(shù)學知識和經(jīng)驗為支撐.在證明一個數(shù)學問題之前，應猜想這個問題的內(nèi)容，在完全做出詳細證明之前，應先有猜想證明的思路.例如在前文關于直角三角形的性質(zhì)的教學設計中，教師首先引導學生猜想直角三角形斜邊上的中線將直角三角形分割成兩個等腰三角形，進而猜想“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”，之后驗證(論證).這樣獲得的知識就不再是由教師講解分析，學生理解記憶而得到的，而是學生通過“猜想-驗證”的方法自主獲得的.在如圖4所示的思維導圖中，舉例等腰梯形性質(zhì)的教學經(jīng)歷了“‘對稱性’(直觀觀察)-元素的數(shù)量關系(合情猜想)-性質(zhì)定理(合理證明)”的過程，給出了提出問題的依據(jù)、具體問題以及解決問題的方法，可以此作為問題鏈設計的主線.

圖4

4.3 研究型設計

研究型設計的核心是研究型問題.所謂研究型問題，是相對題設與結(jié)論都明確給出的常規(guī)問題而言的，往往需要在問題給定的題設條件中探索其可能的結(jié)論并加以證明，或是從成立的結(jié)論中探索其需要滿足的條件，也可以是變更題設、結(jié)論的一部分探索題目產(chǎn)生的變化等.解答常規(guī)問題大多只需要展示由題設條件向結(jié)論轉(zhuǎn)換的思維走向過程，而研究型問題大多知識覆蓋較廣、綜合性較強，教師教學設計應結(jié)合具體問題進行觀察、分析、比較、概括，探究合理的思路.

如圖5所示的思維導圖是進行研究型問題設計和解決的一般思路.對于研究型問題的問題鏈設計，需要從具體問題出發(fā)，一般可以從“什么類型的問題？(思考研究方法)-涉及哪些知識？(提煉已知條件及其隱含的知識)-問題解決的障礙有哪些？(推理或猜想須知的條件以及求解的方法)-可否解決問題？(驗證因果關系成立)”的問題路徑進行設計.

圖5

思維導圖是數(shù)學問題提出、解決的一種思維體驗形式.思維導圖輔助問題解決的教學設計可以更好地將知識的邏輯(知識的產(chǎn)生、發(fā)展、聯(lián)系、關系等)與學生的認知相結(jié)合，將教師的教與學生的學相融合.