高天宇，高 鵬，王立軍

（1.遼寧石油化工大學 機械工程學院，遼寧 撫順 113001；2.撫順新鋼鐵有限責任公司，遼寧 撫順 113001）

旋轉(zhuǎn)機械廣泛應(yīng)用于許多行業(yè)和工程領(lǐng)域。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是旋轉(zhuǎn)機械的核心部件，其可靠性決定旋轉(zhuǎn)機械的質(zhì)量。由于機械在加工過程中不可避免地存在一些缺陷，而且轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在工作中長期受到載荷、扭矩和腐蝕等因素的影響，一些轉(zhuǎn)軸比較容易出現(xiàn)裂紋。轉(zhuǎn)子裂紋是旋轉(zhuǎn)機械的一種常見的故障，由于裂紋的存在，整個轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性行為更加復(fù)雜，會導致設(shè)備的異常振動，情況嚴重時疲勞裂紋會進一步擴展，引起設(shè)備損壞，造成巨大的經(jīng)濟損失。因此，開展裂紋對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響尤為重要。

對裂紋轉(zhuǎn)子的動力學特性，大多數(shù)學者還是以Jeffcott模 型 為 基 礎(chǔ) 進 行 研 究[1]。A.K.Darpe等[2‐3]推導了完整的柔度矩陣，分析了裂紋轉(zhuǎn)子的振動特性及裂紋開閉規(guī)律。同時，研究了含橫向裂紋的Jeffcott轉(zhuǎn)子在軸向激勵作用下的響應(yīng)特性，采用線性斷裂力學中的應(yīng)變能量釋放率理論計算裂紋轉(zhuǎn)子剛度，利用應(yīng)力強度因子為零模型中的裂紋閉合線位置模型（CCLP）模擬裂紋的呼吸作用。A.S.Sekhar等[4‐5]研究了裂紋檢測和監(jiān)控，并對比了直裂紋與斜裂紋轉(zhuǎn)子的不平衡響應(yīng)特性，分析了裂紋轉(zhuǎn)子通過其臨界速度時的瞬態(tài)振動響應(yīng)。P.N.Saavedra等[6]通過線性斷裂力學計算了裂紋引起的附加柔性，應(yīng)用應(yīng)力強度因子為零的方法建立了呼吸裂紋轉(zhuǎn)子動力學模型，在Matlab平臺上求解了運動方程并進行了實驗驗證。結(jié)果表明，2X成分（二倍工頻）以及1/2一階臨界轉(zhuǎn)速附近的軸心軌跡可作為裂紋檢測的重要指標。進入21世紀以來，對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究不再局限于簡單的理想狀態(tài)，耦合故障、復(fù)雜支承等多種因素也被考慮進來，同時診斷技術(shù)也更加全面。向玲等[7]基于軸心軌跡的形態(tài)，對裂紋與碰摩的耦合故障進行研究，并進行了實驗對比。萬方義等[8]分析了非線性油膜力作用下裂紋轉(zhuǎn)子的動力學特性，并將此結(jié)果與剛性支承情況進行了對比。劉桂珍等[9]建立了非穩(wěn)態(tài)油膜力作用下的裂紋轉(zhuǎn)子力學模型，應(yīng)用數(shù)值仿真的方法計算了偏心量變化時的非線性動力學行為，揭示了系統(tǒng)分岔特性和進入混沌的途徑。張星雨等[10]假設(shè)裂紋深度不變，在現(xiàn)有Jeffcott轉(zhuǎn)子模型的基礎(chǔ)上加入裂紋擴展變量，將裂紋擴展與轉(zhuǎn)子振動耦合，觀測了裂紋擴展中的動力學特性以及影響裂紋擴展速度的因素。文獻[11?14]使用有限元分析軟件ABAQUS，對裂紋轉(zhuǎn)子動力學特性以及裂紋診斷進行了進一步研究。劉明岳等[15]基于J2積分和材料力學中的彎曲理論，探討了六棱柱結(jié)構(gòu)的橫向裂紋，給出了求解復(fù)雜結(jié)構(gòu)應(yīng)力強度因子的一個方法。

本文根據(jù)Jeffcott轉(zhuǎn)子動力學模型，結(jié)合斷裂力學理論，建立了裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的有限元模型，并對不同裂紋深度、裂紋角度和不同轉(zhuǎn)速進行了仿真分析，從時域圖、頻域圖和軸心軌跡圖三個角度對不同裂紋參數(shù)的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性進行了探究。然后，采用機械綜合故障臺對部分裂紋轉(zhuǎn)子進行實驗分析，將實驗結(jié)果與仿真數(shù)據(jù)進行對比，驗證了仿真及建模的結(jié)論。

1 裂紋單元剛度矩陣及轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學方程

1.1 裂紋單元剛度矩陣

轉(zhuǎn)子裂紋單元模型示意圖如圖1所示。圖1中，l為裂紋單元長度；N1、N7為軸段所受的軸向力；N2、N3、N8、N9為剪力；N4、N10為扭矩；N5、N6、N11、N12為彎矩。

圖1 轉(zhuǎn)子裂紋單元模型示意圖

由Castingliano定理可得裂紋單元各自由度的位移：

式中，U=U0+Uc；U為裂紋單元總應(yīng)變能，J；U0為無裂紋軸單元應(yīng)變能，J；Uc為裂紋引起的附加應(yīng)變能，J；Ni為外力，N；ui為節(jié)點自由度上的廣義位移，mm；為無裂紋軸單元位移，mm；為裂紋引起的附加位移，mm。

考慮軸向力、扭矩、彎矩以及裂紋截面的剪切效應(yīng)，無裂紋軸單元應(yīng)變能U0為：

式中，V1、V2分別為無裂紋軸單元所受水平與豎直方向上的剪切力，N；M1、M2分別為無裂紋軸單元所受水平與豎直方向上的彎矩，N·m；T為扭矩，N·m；F為軸向力，N；E為材料的彈性模量，MPa；Ip為極慣性矩，m4；A為圓截面面積，m2；αs為剪切系數(shù)；Iz為橫截面慣性矩，m4；Ge為切變模量，MPa。此時，載荷為軸單元局部載荷，根據(jù)單元力和力矩平衡可得式（3）。

無裂紋單元體柔度為：

根據(jù)斷裂力學理論，由裂紋擴展引起的附加應(yīng)變能為：

式中，G(A)為應(yīng)變能密度函數(shù)，其表達式為：

式中，Ni、Nj均為外力，i,j=1,2,…,6，N。

由式（4）、式（7）可得裂紋單元體的柔度矩陣：

該柔度矩陣為對稱矩陣，將其整合到裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的模型中，便可得到裂紋軸的剛度矩陣。由靜平衡條件知：

可得轉(zhuǎn)換矩陣：

裂紋單元剛度矩陣為：

1.2 裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學方程

在靜止坐標系下，裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學方程為：

2 裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性仿真分析

為了進一步了解裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動效果，在建立動力學方程的基礎(chǔ)上，對系統(tǒng)以恒定轉(zhuǎn)速運行時的穩(wěn)定工況進行分析。通過仿真計算得到系統(tǒng)上某一點的時域、頻域和軸心軌跡曲線；增加裂紋深度、改變裂紋傾斜角度（裂紋角度，下同）、調(diào)整系統(tǒng)的運轉(zhuǎn)速度（轉(zhuǎn)速，下同），分析上述參數(shù)對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)的影響，探究其內(nèi)在規(guī)律。

有限元模型的參數(shù)與實驗條件保持一致。裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的基本參數(shù)為：轉(zhuǎn)軸直徑d1=18.8 mm，長度l1=860.0 mm，材料為45#鋼，密度ρ1=7 850 kg/m3，彈性模量E=206 GPa，泊 松比v=0.3，兩個圓盤各自距離軸兩側(cè)250.0 mm，直徑d2=150.0 mm，厚度l2=10.0 mm，密度ρ2=2 700 kg/m3。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型示意圖如圖2所示。

圖2 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型示意圖（單位：mm）

2.1 裂紋深度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動的影響

在實際工程中，裂紋的出現(xiàn)會使轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性發(fā)生改變。當系統(tǒng)受到較大的交變載荷時，裂紋會迅速擴展產(chǎn)生疲勞失效，導致系統(tǒng)可靠度降低。因此，研究裂紋深度對動力學特性的影響具有重要意義。在轉(zhuǎn)軸正中部建立裂紋深度比（用裂紋深度與轉(zhuǎn)軸半徑之比即裂紋深度比表示裂紋深度）分 別 為0.3、0.5、0.7、1.0的 直 裂 紋，設(shè) 置 轉(zhuǎn) 速 為1 200 r/min，通過仿真分析得到振動曲線圖。不同深度裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時域圖及頻域圖（仿真結(jié)果）如圖3所示，其軸心軌跡（仿真結(jié)果）如圖4所示。

圖3 不同深度裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時域圖及頻域圖（仿真結(jié)果）

由圖3—4可知，當裂紋較淺時，系統(tǒng)的時域波形比較平穩(wěn)，振動分量以頻為主，且軸心軌跡近似于一個橢圓形，與無裂紋時相似；隨著裂紋慢慢加深，系統(tǒng)的振動幅值也隨之變大；由于轉(zhuǎn)軸上的裂紋在轉(zhuǎn)動過程中不斷地打開閉合，系統(tǒng)在一個旋轉(zhuǎn)周期內(nèi)出現(xiàn)多次振動，故頻域圖中出現(xiàn)了由裂紋引起的二倍工頻振動分量，時域圖中也出現(xiàn)了波形頻率的疊加；隨著裂紋深度比增加，軸心軌跡逐漸變得不穩(wěn)定，出現(xiàn)了向內(nèi)凹陷的現(xiàn)象；當裂紋深度比由0.7增加到1.0時，系統(tǒng)的更多高倍頻被激發(fā)，振動幅值和二倍工頻振動分量大幅度增加，軸心軌跡出現(xiàn)多個凹陷。這說明轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定性迅速增強，若裂紋繼續(xù)擴展，系統(tǒng)會有失效的風險。

2.2 裂紋角度對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動的影響

針對振動響應(yīng)最為強烈的裂紋深度比為1.0的裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，設(shè)置裂紋深度比為1.0，裂紋位于轉(zhuǎn)軸正中間，設(shè)置轉(zhuǎn)速為1 200 r/min，選取裂紋角度為30°、45°的斜裂紋，對裂紋角度不同的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了仿真分析，其時域圖及頻域圖（仿真結(jié)果）如圖5所示，其軸心軌跡（仿真結(jié)果）如圖6所示。

圖5 裂紋角度不同的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時域圖及頻域圖（仿真結(jié)果）

圖6 裂紋不同角度的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡（仿真結(jié)果）

對比圖5—6及圖3—4中裂紋深度比為1.0的直裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)數(shù)據(jù)可知，當裂紋深度和位置相同時，30°裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動幅值與直裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相比略有增加，軸心軌跡向內(nèi)凹陷的程度進一步加深；當裂紋角度增加至45°時，其振動響應(yīng)變得更為強烈，高倍頻振動分量的幅值明顯增加，且軸心軌跡繼續(xù)向內(nèi)凹陷以至出現(xiàn)套圈現(xiàn)象。由此可知，裂紋角度的增加會加劇裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動響應(yīng)，裂紋角度為45°時變化尤為突出。對裂紋角度大于45°的情況，文獻[12]進行了進一步探討，結(jié)果發(fā)現(xiàn)裂紋角度為45°的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)響應(yīng)最為劇烈，雖然裂紋角度大于45°時隨著裂紋角度的增加系統(tǒng)振動響應(yīng)緩慢減小，但減小幅度遠低于裂紋角小于45°時的增加量。

2.3 轉(zhuǎn)速對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

轉(zhuǎn)速不同時轉(zhuǎn)子重力與不平衡力之比不同，因此在不同轉(zhuǎn)速下裂紋對系統(tǒng)的影響也不同。選取裂紋深度比為1.0且位于轉(zhuǎn)軸正中間的直裂紋，裂紋深度、裂紋角度保持不變，分析了轉(zhuǎn)速為1 800、3 000、4 200、5 400 r/min的系統(tǒng)時域、頻域和軸心軌跡，總結(jié)了不同轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動響應(yīng)規(guī)律。不同轉(zhuǎn)速下裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時域圖及頻域圖（仿真結(jié)果）如圖7所示，其軸心軌跡（仿真結(jié)果）如圖8所示。

圖7 不同轉(zhuǎn)速下裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的時域圖及頻域圖（仿真結(jié)果）

圖8 不同轉(zhuǎn)速下裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的軸心軌跡（仿真結(jié)果）

由圖7—8可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增大，由偏心質(zhì)量引起的工頻逐漸增加，振動幅值隨之變大；由裂紋引起的二階、三階倍頻等高階倍頻增加量不明顯，其效果被削弱，時域波形逐漸變得平穩(wěn)，軸心軌跡由向內(nèi)凹陷逐漸變得平滑，但出現(xiàn)了多個圖形重疊的現(xiàn)象；當轉(zhuǎn)速較大時，圓盤上的偏心質(zhì)量是引起振動的主要原因，裂紋效果幾乎消失，軸心軌跡由多個大小不一的橢圓形組成，具有一定規(guī)律性，復(fù)雜但不紊亂。這表明此時系統(tǒng)作擬周期運動，期間伴隨著許多周期窗；如果轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)將以倍周期分岔進入混沌運動[16]。

3 裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動實驗研究

在對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性進行仿真分析的基礎(chǔ)上，利用機械綜合故障實驗臺，設(shè)計相應(yīng)的實驗方案，對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行振動響應(yīng)實驗。根據(jù)已有條件，搭建與上述模型相似的實驗臺，對不同裂紋角度和不同轉(zhuǎn)速進行實驗研究，測得其時間歷程曲線和頻域圖形，并將實驗結(jié)果與仿真數(shù)據(jù)進行比較，揭示裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性。

裂紋轉(zhuǎn)子實驗裝置使用長興昇陽科技設(shè)備有限公司提供的機械故障綜合實驗臺（MCDS）。該實驗臺由電動機、倫茨SMV變頻器、實驗臺基座、油路系統(tǒng)、分體軸承座以及卡環(huán)式軸承、卡環(huán)式轉(zhuǎn)子、多種正常及故障轉(zhuǎn)軸、聯(lián)軸器、齒輪箱數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)和傳感器等實驗零件組成。實驗裝置示意圖如圖9所示。

圖9 實驗裝置示意圖

3.1 直裂紋與斜裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動實驗分析

由于受實驗條件的限制，選用位于轉(zhuǎn)軸正中間的裂紋深度比為1.0的直裂紋與裂紋角度為45°的裂紋開展實驗研究。分別將2根轉(zhuǎn)軸安裝在實驗臺上，檢查并連接設(shè)備，設(shè)置轉(zhuǎn)速為1 200 r/min。裂紋角度不同的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時域圖及頻域圖（實驗結(jié)果）如圖10所示。將實驗數(shù)據(jù)保存并導入MATLAB軟件中，得到了系統(tǒng)的軸心軌跡圖（實驗結(jié)果），結(jié)果如圖11所示。由圖10—11可知，直裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的振動特性較45°裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相對簡單，其振動幅值較小，時間歷程圖更加光滑，軸心軌跡也相對平穩(wěn)。與仿真數(shù)據(jù)對比，兩者振動變化趨勢大致相同，即45°裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動更加復(fù)雜，圖像變形程度較高。

圖10 裂紋角度不同的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)時域圖及頻域圖（實驗結(jié)果）

圖11 裂紋角度不同的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)軸心軌跡（實驗結(jié)果）

3.2 轉(zhuǎn)速對裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響

為了實驗臺運行的安全，裂紋軸在運行時轉(zhuǎn)速不宜過高。由于直裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性較為簡單，固選擇直裂紋軸來研究不同轉(zhuǎn)速下的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性。分別設(shè)置轉(zhuǎn)速為1 650、1 500、1 200、1 125 r/min進行實驗，結(jié)果如圖12所示。由圖12可以看出，隨著轉(zhuǎn)速的增加，時域波形趨于平滑，振動幅值增加，以工頻分量最為明顯，而由裂紋引起的高階倍頻分量效果被削弱；當轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在1 650 r/min和1 125 r/min轉(zhuǎn)速下運轉(zhuǎn)時，恰好處在該系統(tǒng)固有頻率的1/2和1/3處，所以二階和三階倍頻分量特別明顯。與仿真結(jié)果相比，兩者振動趨勢幾乎完全符合，驗證了仿真結(jié)果及有限元模型的可靠性。

圖12 不同轉(zhuǎn)速下裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)實驗結(jié)果

4 結(jié) 論

（1）在裂紋較淺時，系統(tǒng)的振動特性與無裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相似。隨著裂紋的加深，裂紋對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的影響越來越大，時域圖出現(xiàn)波形頻率疊加現(xiàn)象，頻域圖出現(xiàn)由裂紋引起的高階振動分量，軸心軌跡不再是光滑的橢圓，而是出現(xiàn)一個甚至多個向內(nèi)的凹陷。此現(xiàn)象在裂紋深度比由0.7增至1.0時尤為明顯。

（2）當轉(zhuǎn)子裂紋角度變大時，系統(tǒng)受裂紋影響變大。30°裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)與直裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性相似；當裂紋角度增至45°時，系統(tǒng)的響應(yīng)出現(xiàn)劇烈變化。隨著裂紋角度變大，振動幅值明顯升高，由裂紋引起的高階振動分量也在變大，裂紋效果得到增強，軸心軌跡繼續(xù)向內(nèi)凹陷以至出現(xiàn)“套圈”現(xiàn)象。

（3）當轉(zhuǎn)速發(fā)生變化時，系統(tǒng)的振動特性也發(fā)生改變。當轉(zhuǎn)速較低時，裂紋對系統(tǒng)的影響較大；當轉(zhuǎn)速為系統(tǒng)固有頻率的1/3、1/2時，系統(tǒng)的3X、2X振動分量十分明顯；隨著轉(zhuǎn)速的升高，系統(tǒng)受裂紋的影響越來越小，時域圖逐漸變得光滑，軸心軌跡逐漸變成橢圓形，但出現(xiàn)了多個圖形重疊的現(xiàn)象。若轉(zhuǎn)速繼續(xù)增大，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)將進入混沌運動。