余桃

【摘要】圓錐曲線的軌跡問題是高考數(shù)學試題的常見問題之一，但圓錐曲線的內(nèi)容對于大部分學生來說是學習的難點.筆者整理分析發(fā)現(xiàn)歷年高考數(shù)學試題中均能在教材中找到相應例題或習題的縮影.通過對此類問題的歸納總結，可以有效提升學生的學習效率.

【關鍵詞】圓錐曲線；定值；軌跡

1.習題展現(xiàn)

題目△ABC的兩個頂點A，B的坐標分別為（-6，0），（6，0），邊AC，BC所在直線的斜率之積等于-49.求頂點C的軌跡方程.（北師大版選修2-1）

這里可以設頂點C的坐標為（x，y），進而表示出邊AC，BC所在直線的斜率

kAC=yx+6和kBC=yx-6.

根據(jù)題意可知kAC·kBC=-49，

即yx+6·yx-6=-49，

整理得x236+y216=1.

當y=0，點C和點A（或點B）重合，不符合題意.故所求點C的軌跡方程為x236+y216=1（y≠0）.

根據(jù)上述解析過程可知，如果邊AC，BC所在直線的斜率之積等于-49，則頂點C的軌跡是一個橢圓（除去頂點A，B）.

2.習題推廣

現(xiàn)將此題做一般化處理，即設兩個頂點A，B的坐標分別為（-a，0），（a，0），若兩條直線AC，BC相交于點C，且它們的斜率之積等于定值m（m≠0），那么交點C的軌跡是什么？接下來我們進行嚴格的證明：

證明設交點C的坐標為（x，y），

當x≠±a時，根據(jù)題意得

kAC·kBC=yx+a·yx-a=m（m≠0），

即mx2-y2=ma2（x≠±a）.

因為當x≠±a時，點C和點A（或點B）重合，不符合題意，

故點C的軌跡方程為

x2a2-y2ma2=1（x≠±a）.

當m>0時，點C的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線（除去A，B）；

當-1<m<0時，點C的軌跡是焦點在x軸上的橢圓（除去A，B）；

當m=-1時，點C的軌跡是以原點為圓心、以|a|為半徑的圓（除去A，B）；

當m<-1時，點C的軌跡是焦點在y軸上的橢圓（除去A，B）.

m取不同值時點C的軌跡

m的取值范圍交點C的軌跡圓錐曲線類型m>0雙曲線-1<m<0橢圓m=-1圓m<-1橢圓

有趣的是，如圖1所示，在該曲線上任取一點G，將點G繞原點O旋轉180°得到點G′，即點G，G′是該曲線上關于原點對稱的兩點.圖1然后在該曲線上另取一個異于G，G′的點H，分別連接HG和HG′，計算發(fā)現(xiàn)kHG·kHG′=m，如果改變m的值，上述結論保持不變.這里，我們可以得到一個結論：

性質1設G，G′是圓錐曲線mx2-y2=ma2（x≠±a）上關于原點對稱的兩點，點H是該曲線上不同于G，G′的任一點，則kHG·kHG′為定值m.

證明設H（x0，y0），G（x1，y1），

因為點G和G′是該曲線上關于原點對稱的兩點，

所以G′（-x1，-y1）.

又因為點H，G′在曲線mx2-y2=ma2（x≠±a）上，

所以mx20-y20=ma2，mx21-y21=ma2，

由此可得m（x20-x21）=y20-y21，

即y20-y21x20-x21=m，

而kHG=y0-y1x0-x1，kHG′=y0-（-y1）x0-（-x1）=y0+y1x0+x1，

所以kHG·kHG′=y0-y1x0-x1·y0+y1x0+x1=y20-y21x20-x21=m.

接下來，我們對斜率之積為定值問題做進一步探究：

圖2

當kAC·kBC=m，m∈（-1，0）時，過原點O作OM∥AC，ON∥BC，與橢圓分別交于點M，M′，N，N′，連接ON，NM，MO，得到△OMN（如圖2），直線AC繞著點A轉動，可以發(fā)現(xiàn)△OMN的面積始終保持不變.進一步研究可發(fā)現(xiàn)，該定值是-m·a22，并且當kAC·kBC=m，m∈（-∞，0）時，此結論恒成立，因此我們可以得到一個結論：

性質2若橢圓方程為x2a2+y2b2=（a>b>0），過原點的兩條直線l1和l2分圖2別交橢圓于點M，M′和N，N′，則直線l1和l2的斜率之積為-b2a2，這是S△OMN=12ab的充要條件.

證明在仿射變換x′=xa和y′=yb下，橢圓變?yōu)閳Ax′2+y′2=1.

（1）充分性.

由x2a2-y2ma2=1（-1<m<0），x2a2+y2b2=1（a>b>0），

可知kl1·kl2=m=-b2a2=e2-1，-m·a=b，

所以仿射變換后直線l′1和l′2的斜率之積等于-1，

因此△O′M′N′是邊長為1的等腰直角三角形，

故S△OMN=abS△O′M′N′=-m·a22=12ab.

（2）必要性.

當S△OMN=12ab時，進行仿射變換后，△O′M′N′在圓x′2+y′2=1中是邊長為1的等腰直角三角形.

由kM′O′·kN′O′=-1，知kl1·kl2=-b2a2.

上述結論當該曲線變化為焦點在y軸上的橢圓或者圓時，結論仍然成立.

3習題的再推廣

更一般地，如果直線AC，BC的斜率之和（或差或商）等于定值m時，交點C的軌跡是什么？接下來，我們探究當kAC和kBC的和、差、商也為定值m（m≠0）時交點C的軌跡.

當kAC+kBC=m（m≠0）時，

設點C（x，y），x≠±a，

根據(jù)題意有

kAC+kBC=yx+a+yx-a=m（m≠0），

即mx2-2yx-ma2=0（x≠±a），

故所求點C的軌跡方程為

mx2-2yx-ma2=0（x≠±a），

該曲線是二次曲線（如圖3）.

圖3

當kAC-kBC=m（m≠0）時，

yx+a-yx-a=-2yax2-a2=m（m≠0），

即-2ya=m（x2-a2）（x≠±a），

故所求點C的軌跡方程為

y=-m2a（x2-a2）（x≠±a），

當m>0時，該曲線是開口向下的拋物線；

當m<0時，該曲線是開口向上的拋物線（如圖4）.

圖4

當kBC-kAC=m（m≠0）時，

yx-a-yx+a=2yax2-a2=m，

即2ya=m（x2-a2）（x≠±a），

故所求點C的軌跡方程為

y=m2a（x2-a2）（x≠±a），

當m>0時，該曲線是開口向上的拋物線；

當m<0時，該曲線是開口向下的拋物線（如圖5）.

當kACkBC=m（m≠0）時，

yx+ayx-a=x-ax+a=m，

即x-a=m（x+a）（x≠±a），

圖5

故所求點C的軌跡方程為

x=1-m1+ma，

當m>0時，該直線位于y軸右側且垂直于x軸；

當m<0時，該直線位于y軸左側且垂直于x軸；

當kBCkAC=m（m≠0）時，點C的軌跡方程為

x=1+mm-1a，

當m>0時，該直線位于y軸左側且垂直于x軸；

當m<0時，該直線位于y軸右側且垂直于x軸（如圖6）.

圖6

上述問題可歸納為“三定（兩個定點，一個定值）兩動（兩條動直線）一軌跡（交點軌跡）”問題.

接下來看一道高考題：

已知橢圓x2+2y2=1，過原點的兩條直線l1和l2分別交橢圓于點A，B和C，D，記平行四邊形ACBD的面積為S.

（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），用A，C的坐標表示點C到直線l1的距離，并證明

S=2|x1y2-x2y1|；

（2）設l1與l2的斜率之積為-12，求面積S的值.

解（1）由題意知，A，C兩點的橫坐標不能同時等于零，

當A，C兩點的橫坐標有一個等于零時，不防設x1=0，x2≠0，不失一般性，此時直線l1與y軸重合，點C到直線l1的距離為|x2|，平行四邊形ACBD的面積為S=2|x2y1|；

當A，C兩點的橫坐標均不等于零時，即直線l1和l2的斜率均存在時，

設直線l1的方程為y=kx，其中k=y1x1，

由y=kx，x2+2y2=1，得（2k2+1）x2-1=0，

所以x1+x2=0，x1·x2=-12k2+1.

故|AB|=|x1-x2|

=1+k2·（x1+x2）2-4x1x2

=21+k22k2+1=2x21+y212y21+x21

=2x21+y21，

點C到直線l1的距離為

d=|kx2-y2|1+k2=|y1x2-y2x1|x21+y21，

所以平行四邊形ACBD的面積為

S=|AB|·d=2|x1y2-x2y1|.

綜上知，點C到直線l1的距離為

|y1x2-y2x1|x21+y21，

平行四邊形ACBD的面積為

2|x1y2-x2y1|.

（2）解法1由直線l1和l2的斜率之積為

-b2a2=-12，

知平行四邊形的面積為

S=4S△AOC=2ab=2.

解法2易知兩條直線的斜率分別為

kl1=y1x1，kl2=y2x2，

由直線l1和直線l2的斜率之積為-12，

得x1x2=-2y1y2，

又因為x21=1-2y21，x22=1-2y22，

所以x21x22=（-2y1y2）2

=1-2（y21+y22）+4y21y22，

即y21+y22=12，

S2=（2|x1y2-x2y1|）2

=4（x21y22+x22y21-2x1y1x2y2）

=4［y22（1-2y21）+y21（1-2y22）+4y21y22］，

化簡得S2=4（y21+y22）=2，

所以平行四邊形的面積為2.

解法3設直線l1的斜率為k，

則直線l2的斜率等于-12k.

設直線l1的方程為y=kx，

聯(lián)立方程組y=kx，x2+2y2=1，

消去y，得x=±11+2k2，

根據(jù)對稱性，設x1=11+2k2，

則y1=k1+2k2，

同理x2=2k1+2k2，y2=-221+2k2，

所以S=2|x1y2-x2y1|=2.

圓錐曲線的“三定兩動一軌跡”問題，可以考查學生數(shù)學運算、邏輯推理和直觀想象的數(shù)學核心素養(yǎng).掌握該類問題有助于提升學生具有較強的綜合能力和應變能力.