相劍利

【摘要】中位數(shù)是刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的統(tǒng)計量之一，反映數(shù)據(jù)集中趨勢的位置代表值.由中位數(shù)的定義可以得到結(jié)論：這組數(shù)據(jù)中大于等于中位數(shù)的至少有一半，大于中位數(shù)的至多有一半.

【關(guān)鍵詞】中位數(shù)；大于中位數(shù)；大于等于中位數(shù)

1中位數(shù)的意義

將一組數(shù)據(jù)按照由小到大（或由大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則稱處于中間位置的數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則稱中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

例如：一組數(shù)據(jù)有20個，這些數(shù)據(jù)由小到大排列后分別記為a1，a2，a3，…，a20.

根據(jù)中位數(shù)的定義，這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為

a10+a112，

那么a11≥a10+a112，a10≤a10+a112.

于是可以得到結(jié)論：

（1）這組數(shù)據(jù)中大于等于中位數(shù)的至少有一半.因為后10個數(shù)據(jù)a11，a12，…，a20都大于等于中位數(shù)，而且前10個數(shù)據(jù)a1，a2，…，a10中也可能有等于中位數(shù)的，所以這組數(shù)據(jù)中大于等于中位數(shù)的至少有一半.

（2）這組數(shù)據(jù)中大于中位數(shù)的至多有一半.因為后10個數(shù)據(jù)a11，a12，…，a20有可能都大于中位數(shù)，但前10個數(shù)據(jù)a1，a2，…，a10中不可能有大于中位數(shù)的，所以這組數(shù)據(jù)中大于中位數(shù)的至多有一半.

2應(yīng)用結(jié)論解決問題

例1為了解甲、乙兩座城市的郵政企業(yè)4月份收入的情況，從這兩座城市的郵政企業(yè)中，各隨機(jī)抽取了25家郵政企業(yè)，獲得了它們4月份收入（單位：百萬元）的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析．下面給出了部分信息．

a．甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖1（數(shù)據(jù)分成5組：6≤x＜8，8≤x＜10，10≤x＜12，12≤x＜14，14≤x≤16）：

b．甲城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)在10≤x＜12這一組的是：

10.010.010.110.911.411.511.611.8

c．甲、乙兩座城市郵政企業(yè)4月份收入的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)甲城市10.8m乙城市11.011.5

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中m的值；

（2）在甲城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為p1．在乙城市抽取的郵政企業(yè)中，記4月份收入高于它們的平均收入的郵政企業(yè)的個數(shù)為p2．比較p1，p2的大小，并說明理由.

解（1）由題意可得m為甲城市的中位數(shù)，由于總共有25家郵政企業(yè)，所以第13家郵政企業(yè)的收入作為該數(shù)據(jù)的中位數(shù)，

因為6≤x<8有3家，8≤x<10有7家，10≤x<12有8家，

所以中位數(shù)落在10≤x<12上，

所以m=10.1.

（2）甲城市由4月份收入的數(shù)據(jù)可得p1=12；乙城市中位數(shù)為11.5，說明大于等于11.5的至少有13家，這些數(shù)據(jù)都高于平均數(shù)11.0，則p2至少為13個.

所以p1<p2.

例2某商場為了解甲、乙兩個部門的營業(yè)員在某月的銷售情況，分別從兩個部門中各隨機(jī)抽取了20名營業(yè)員，獲得了這些營業(yè)員的銷售額（單位：萬元）的數(shù)據(jù)，并對數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析.下面給出了部分信息．

a.設(shè)營業(yè)員該月的銷售額為x（單位：萬元），甲部門營業(yè)員銷售額數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖2（數(shù)據(jù)分成5組：10≤x＜15，15≤x＜20，20≤x＜25，25≤x＜30，30≤x≤35）：

b.甲部門營業(yè)員該月的銷售額數(shù)據(jù)在20≤x＜25這一組的是：

21.322.122.623.724.324.324.824.9

c.甲、乙兩部門營業(yè)員該月銷售額數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)甲部門22.8m乙部門23.022.7

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中m的值；

（2）在甲部門抽取的營業(yè)員中，記該月銷售額超過23.0萬元的人數(shù)為n1．在乙部門抽取的營業(yè)員中，記該月銷售額超過23.0萬元的人數(shù)為n2．比較n1，n2的大小，并說明理由.

解（1）24.0.

（2）n1＞n2．理由如下：

由甲部門抽取的營業(yè)員該月的銷售額的數(shù)據(jù)可知n1＝11.

因為在乙部門抽取的20名營業(yè)員該月銷售額數(shù)據(jù)的中位數(shù)是22.7萬元，說明大于22.7萬元的至多有10家，那么大于23.0萬元的也至多有10家，所以n2≤10.

所以n1＞n2.

例32022年是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)建團(tuán)100周年.某校團(tuán)委組織七、八年級學(xué)生開展主題為“成團(tuán)百年，勇當(dāng)先鋒”的團(tuán)史知識學(xué)習(xí)活動.為了解這兩個年級學(xué)生團(tuán)史知識的學(xué)習(xí)情況，從七、八年級的學(xué)生中，各隨機(jī)抽取了20名學(xué)生進(jìn)行測試，獲得了他們的成績（百分制，且成績均為整數(shù)），并對數(shù)據(jù)（成績）進(jìn)行了整理、描述和分析，下面給出了部分信息.

a.該校七年級抽取的學(xué)生測試成績的數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布直方圖如圖3（數(shù)據(jù)分為5組：75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95，95≤x≤100）：

b.該校七年級抽取的學(xué)生測試成績的數(shù)據(jù)在85≤x＜90這一組的是：

858585868788

c.該校七、八年級抽取的學(xué)生的測試成績的數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下：

平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級85.2m85八年級87.189.590

根據(jù)以上信息，回答下列問題：

（1）寫出表中m的值；

（2）此次測試成績90分及90分以上為優(yōu)秀．記該校七年級抽取的學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù)是x1，八年級抽取的學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù)為x2．比較x1，x2的大小，并說明理由.

解（1）85；

（2）x1<x2.理由如下：

由七年級抽取的學(xué)生測試成績的數(shù)據(jù)可知

x1=5.

由八年級抽取的20名學(xué)生測試成績的數(shù)據(jù)的中位數(shù)是89.5分可知成績大于89.5分的至多10個，

因為成績均為整數(shù)，而且眾數(shù)等于90分，說明成績從小到排第11個恰好是90分，

于是成績90分及90分以上的恰好為10個，

故x2=10.

所以x1<x2.