郭州雄

【摘要】數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中的重要思想，特別是自從笛卡爾發(fā)明了直角坐標(biāo)系，把平面上的點和有序?qū)崝?shù)對對應(yīng)起來以后，數(shù)形結(jié)合思想才有了嶄新的面貌.在笛卡爾和費馬創(chuàng)立解析幾何的過程中，數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)得淋漓盡致.數(shù)形結(jié)合思想也是高中數(shù)學(xué)中學(xué)生必須要熟練掌握的一種數(shù)學(xué)思維，本文淺談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的一些應(yīng)用，包括在解析幾何、函數(shù)、概率論、集合論中的應(yīng)用等.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；函數(shù)；解析幾何

數(shù)和形是數(shù)學(xué)中的兩個基本對象，一直以來在數(shù)學(xué)中沒有很好地把這兩者聯(lián)系起來.自從法國數(shù)學(xué)家笛卡爾發(fā)明了直角坐標(biāo)系，才真正地把數(shù)和形聯(lián)系起來了[1].通過笛卡爾直角坐標(biāo)系，空間中的點和有序?qū)崝?shù)對做到了一一對應(yīng).于是可以用一個代數(shù)方程來表示一個圖形，反過來也可以用一個圖形來表示一個代數(shù)方程.具體地說，如果圖形上的點和方程的解集能夠通過笛卡爾直角坐標(biāo)系建立一個一一對應(yīng)，我們就說方程是圖形的方程，圖形是方程的圖形，有了這種數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，我們就可以運用代數(shù)的方法來研究幾何圖形，反過來也可以用幾何圖形來解決代數(shù)問題.數(shù)與形結(jié)合的思想在高中階段主要有以下運用.

1 數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何部分的應(yīng)用

解析幾何包括平面和空間兩個部分.所謂平面解析幾何，就是通過平面直角坐標(biāo)系，使點和有序?qū)崝?shù)對間有一個自然的一一對應(yīng)關(guān)系[2]，進(jìn)而使得平面曲線和二元方程的解構(gòu)成的集合之間有一個自然的一一對應(yīng)關(guān)系.所謂空間解析幾何，就是通過建立空間笛卡爾直角坐標(biāo)系，使得點與有序?qū)崝?shù)三元組之間有一個自然的一一對應(yīng)關(guān)系，進(jìn)而使得空間曲線和三元方程的解構(gòu)成的集合之間有一個自然的一一對應(yīng)關(guān)系.這樣就可以利用代數(shù)的方法研究相關(guān)的幾何問題，反之也可以利用幾何的方法研究相應(yīng)的代數(shù)問題.

自17世紀(jì)開始，由于航海、生產(chǎn)的發(fā)展，大大促進(jìn)了解析幾何學(xué)的創(chuàng)立，并把解析幾何中的方法廣泛運用于數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域.在解析幾何創(chuàng)立之前，幾何和代數(shù)是兩個彼此獨立的互不相干的數(shù)學(xué)分支.而解析幾何的創(chuàng)立第一次在真正意義上實現(xiàn)了幾何和代數(shù)的融合，使得形與數(shù)真正的統(tǒng)一了起來，這絕對算得上是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的一個重要的里程碑.

解析幾何的誕生對變量數(shù)學(xué)的發(fā)展有巨大的促進(jìn)作用，對微積分的建立有著重要的作用[3].解析幾何是數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用的典范，自從笛卡爾和費馬創(chuàng)立解析幾何以來，在解析幾何部分總是能看見數(shù)形結(jié)合的影子，當(dāng)人們在計算上遇到困難時，就可以用圖形來直觀化，對圖形一些細(xì)微的地方難以把握時，就可以通過代數(shù)計算來使其精確化.具體地講，在二維平面上，就是通過笛卡爾坐標(biāo)系，把平面上的點與有序數(shù)對作一個一一對應(yīng)，即平面上點的集合和有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的集合具有相同的基數(shù).現(xiàn)在如果有一個平面圖形和一個二元代數(shù)方程，如果圖象上的點的坐標(biāo)構(gòu)成的集合和二元代數(shù)方程的解構(gòu)成的集合有一個一一對應(yīng)關(guān)系，也就是說圖象上的點的坐標(biāo)構(gòu)成的集合和二元代數(shù)方程的解構(gòu)成的集合有相同的基數(shù)，我們就說圖形是方程的圖形，方程是圖形的方程.圖形之間的關(guān)系也對應(yīng)著代數(shù)關(guān)系，例如兩條直線垂直對應(yīng)著斜率是負(fù)倒數(shù)關(guān)系，或者一條直線斜率為零、一條直線斜率不存在；兩條直線平行對應(yīng)著斜率相等（如果斜率存在的話）或者斜率都不存在.

當(dāng)然除了笛卡爾坐標(biāo)系，還有極坐標(biāo)系、球面坐標(biāo)系、柱面坐標(biāo)系等等，它們用起來各有優(yōu)缺點，同樣一個幾何圖形在不同的坐標(biāo)框架下有著不同的代數(shù)方程，代數(shù)方程的復(fù)雜程度也大不相同.例如，在極坐標(biāo)系里，圓心在原點的圓的極坐標(biāo)方程就非常簡單，但是在笛卡爾直角坐標(biāo)系中就稍微復(fù)雜一些.這就需要我們具體情況具體分析，遇到具體的問題時，我們可以選擇最適合的坐標(biāo)系，這些不同的坐標(biāo)系都是聯(lián)系數(shù)與形的一些框架.通過數(shù)與形的對應(yīng)關(guān)系，我們就可以利用代數(shù)方法來研究幾何圖形，利用幾何圖形來使代數(shù)問題直觀化.

2 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)的概念是高中數(shù)學(xué)中一個非常重要的概念，它的定義如下：設(shè)有非空集合H和F，若有一對應(yīng)使集合H中任一元素在另一個集合F中有唯一的確定的元素和它相對應(yīng)，則這樣一個對應(yīng)就稱為函數(shù).當(dāng)然可用幾何的方法來重新對函數(shù)定義，即函數(shù)圖象就是這樣的圖形：如果用任何一條與縱軸平行的直線去截，至多只有一個交點的圖形.函數(shù)圖象與函數(shù)解析表達(dá)式就是數(shù)與形的一種對應(yīng)關(guān)系，函數(shù)圖象在函數(shù)的研究中起著至關(guān)重要的作用，利用函數(shù)圖象可以使問題直觀化，使人的思路更加清晰，還可以對人的解題思路有一定的啟發(fā)，進(jìn)而找到解決問題的突破點.例如曲線的切線這個幾何直觀就是微分學(xué)的來源之一，實際上函數(shù)在某一個點的切線的斜率正好就是函數(shù)在這個點處的導(dǎo)數(shù)值，萊布尼茨當(dāng)時就是從曲線的切線出發(fā)來研究微分的，而函數(shù)曲線的切線斜率就給了函數(shù)導(dǎo)數(shù)值一個明確的幾何意義.

通過函數(shù)圖象可以直觀地看到函數(shù)的增減性、定義域、值域等等.函數(shù)圖象和函數(shù)的一些性質(zhì)都有對應(yīng)關(guān)系，比如函數(shù)的定義域就對應(yīng)于函數(shù)圖象在橫軸的投影；函數(shù)值域就對應(yīng)于函數(shù)圖象在縱軸的投影；增函數(shù)就對應(yīng)一條上升（從左往右看）的曲線，減函數(shù)就對應(yīng)一條下降（從左往右看）的曲線；奇函數(shù)是對應(yīng)一個關(guān)于原點對應(yīng)的圖象，偶函數(shù)是對應(yīng)一個關(guān)于縱軸對應(yīng)的圖象；如果一個函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)大于零，那么函數(shù)圖象就是上升的，如果一個函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)小于零，那么函數(shù)圖象就是下降的.

在解不等式的時候也可以運用幾何方法，例如要解一個一元二次不等式x2+2x－3>0，轉(zhuǎn)化成圖形問題就是只需要找出橫軸上方圖形上點的橫坐標(biāo)即可，或者說對上方圖形在橫軸上做個投影，那個陰影部分就是不等式的解集.如果一個不等式兩邊都對應(yīng)著一個函數(shù)，不妨設(shè)左邊的函數(shù)大于右邊的函數(shù)，那解這個不等式的時候我們可以這樣做：在同一個平面直角坐標(biāo)系中分別畫出左邊的圖象和右邊的圖象，然后觀察圖象找出左邊圖象比右邊圖象高的那一部分圖象，則比較高的那部分圖象上點的橫坐標(biāo)的集合就是這個不等式解的解集合.如果要解一個含有絕對值的不等式，我們就可以把兩個實數(shù)差的絕對值當(dāng)成數(shù)軸上兩個數(shù)之間的距離，一個實數(shù)的絕對值就是這個實數(shù)到原點的距離，然后把不等式問題轉(zhuǎn)換成一個圖形問題再加以解決.所以學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)這部分內(nèi)容的時候，只要心中時時刻刻想著圖象，那學(xué)習(xí)函數(shù)這部分內(nèi)容的時候就一定會收到良好的效果，而這正是數(shù)形結(jié)合思想的魅力.

3 數(shù)形結(jié)合思想在概率與統(tǒng)計中的應(yīng)用

在現(xiàn)實世界中，所有的現(xiàn)象可以分為兩類，一類現(xiàn)象是事先知道發(fā)生的結(jié)果，例如太陽肯定從西方落下，我們把這類現(xiàn)象叫做確定性事件.這個世界上還有一類事件，它發(fā)生的結(jié)果并不確定，比如擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面或反面是不確定的，我們把這類現(xiàn)象叫做隨機現(xiàn)象.而概率論就是研究這些隨機現(xiàn)象的，它是數(shù)學(xué)中的一個重要分支，它起源于生活中的一些隨機現(xiàn)象，如擲骰子，擲硬幣等等，而概率論的目標(biāo)之一是要對隨機現(xiàn)象出現(xiàn)的可能性的大小給出一個恰當(dāng)?shù)亩攘?，也就是說要給這些隨機現(xiàn)象給出一個介于0和1之間的概率值.

下面就分兩部分來討論一下數(shù)形結(jié)合思想在概率論中的應(yīng)用.一個應(yīng)用就是幾何概型問題，分為一維直線上的幾何概型問題、二維平面上的幾何概型問題、三維空間上的幾何概型問題.例如在閉區(qū)間0到10上隨機抓取一個點，抓到的點正好位于閉區(qū)間0到1之間的概率就是十分之一；對二維平面舉一個例子，假設(shè)平面上有一個邊長為1的正方形，里面內(nèi)切一個圓，現(xiàn)在從這個正方形里面抓取一個點，這個點正好位于圓內(nèi)的概率就是圓面積與正方形面積的比值；對于三維空間的情形，我們假設(shè)有一個棱長為1的正方體，里面有一個內(nèi)切球，現(xiàn)在從這個立方體中隨機抓取一個點，這個點正好位于球內(nèi)的概率就是球體的體積與立方體的體積之比.于是就把求概率的問題轉(zhuǎn)化成了求長度、面積、體積的比值，而現(xiàn)實世界中許許多多表面上看起來與長度、面積、體積無關(guān)的隨機現(xiàn)象，經(jīng)過轉(zhuǎn)化都可以化成上述三種類型之一.

數(shù)形結(jié)合思想在概率論中的另一個應(yīng)用是與密度函數(shù)有關(guān)的.隨機變量就是樣本點到實數(shù)集合的一個對應(yīng)，正是因為有了隨機變量概念的提出，這樣才把隨機現(xiàn)象與分析聯(lián)系了起來，我們就可以運用數(shù)學(xué)分析里面的一些方法來研究概率論.這里以連續(xù)型隨機變量為例來討論一下數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.對于概率空間上的連續(xù)型隨機變量而言，密度函數(shù)就決定了其分布，隨機變量在某一個區(qū)間上的取值概率等于這個區(qū)間對應(yīng)的曲邊梯形的面積，也就是說，要求隨機變量在某個區(qū)間上取值的概率，就相當(dāng)于在這個區(qū)間上求積分，這樣就把求概率這個問題轉(zhuǎn)化為一個求定積分的問題，在高中階段最常見的例子就是正態(tài)分布.

4 數(shù)形結(jié)合思想在集合中的應(yīng)用

集合是高中數(shù)學(xué)的第一個基本概念，自從康托爾創(chuàng)立集合論以來，集合思想慢慢滲透到數(shù)學(xué)的各個分支，對穩(wěn)固數(shù)學(xué)的基石有很重要的意義.高中階段學(xué)習(xí)的集合知識都是一些集合論中很基本的概念.集合論是數(shù)學(xué)中的一個分支，在整個數(shù)學(xué)中占有很關(guān)鍵的地位，如果把數(shù)學(xué)比作是一座宏偉的高樓大廈的話，集合論就是這座大廈的地基，故學(xué)好集合知識對以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)特別重要.

所謂集合就是由一些確定的元素構(gòu)成的一個整體，元素與集合之間有屬于和不屬于的關(guān)系，集與集之間有包含、不包含、相等的關(guān)系，集合與集合之間運算有交、并、補、差等運算.集合概念是高中數(shù)學(xué)中一個很基本的概念，要求學(xué)生很熟練地掌握，但是如果只講抽象的集合概念，學(xué)生接受起來就比較困難，所以如果能用比較直觀的圖形的方法來說明就比較容易接受.通過一維數(shù)軸和韋恩圖表示集合可使有關(guān)集合的問題變得直觀易懂.比如，在分析集合之間的關(guān)系時，常常使用韋恩圖來表示集合之間包含或不包含的關(guān)系，兩個集合的關(guān)系通過韋恩圖一眼就能看出來，韋恩圖使得集合之間的關(guān)系非常清楚，使人一目了然，并且通過韋恩圖還可以發(fā)現(xiàn)一些之前我們不知道的集合關(guān)系.利用一維數(shù)軸求數(shù)集之間的并集、交集、補集較為直觀且容易理解.

5 結(jié)語

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想作為一種很重要的數(shù)學(xué)思想，在解析幾何、函數(shù)、概率論、集合這些數(shù)學(xué)分支中有著廣泛的應(yīng)用，運用數(shù)形結(jié)合的辦法，能將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為直觀的幾何問題，從而使問題得以簡化、直觀，如果教師能夠把數(shù)形結(jié)合思想貫穿于具體的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐當(dāng)中，把一些很抽象的數(shù)學(xué)概念用合適的幾何圖形恰當(dāng)?shù)乇憩F(xiàn)出來，那對數(shù)學(xué)教學(xué)是很有益處的，學(xué)生也比較容易接受，這樣的話學(xué)生也能夠比較深刻地領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想，在解題過程中也會漸漸地感受到數(shù)形結(jié)合思想的魅力.

參考文獻(xiàn)：

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