孔企平 許添舒

張景中是我國(guó)著名數(shù)學(xué)家、計(jì)算機(jī)科學(xué)家、中國(guó)科學(xué)院院士，在定理的機(jī)器證明、教育數(shù)學(xué)、距離幾何及動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域做出了杰出的貢獻(xiàn)。在數(shù)學(xué)教育方面，他創(chuàng)立了教育數(shù)學(xué)的思想和方法。20世紀(jì)90年代，他將自動(dòng)推理領(lǐng)域的成果應(yīng)用于計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)研究，開發(fā)出新一代的教育軟件。其代表作有《數(shù)學(xué)傳奇》《數(shù)學(xué)家的眼光》《教育數(shù)學(xué)叢書》《院士數(shù)學(xué)講座》《數(shù)學(xué)與哲學(xué)》等，均廣受好評(píng)。幾十年來(lái)張景中院士致力于改造數(shù)學(xué)，為數(shù)學(xué)教育做出了突出貢獻(xiàn)。把難學(xué)的數(shù)學(xué)變?nèi)菀资撬L(zhǎng)期的研究目標(biāo)，為此他提出了教育數(shù)學(xué)的理念和方法，并探索出如何把幾何、三角和微積分等數(shù)學(xué)知識(shí)變得更容易學(xué)的新概念、新思路和新方法，有關(guān)教育數(shù)學(xué)的理論與方法在多地長(zhǎng)期的教學(xué)實(shí)驗(yàn)中也顯示出較好的實(shí)踐效果。

一、 如何看待當(dāng)前國(guó)內(nèi)外的數(shù)學(xué)教育改革

筆者:當(dāng)前世界各國(guó)都在進(jìn)行數(shù)學(xué)課程與教學(xué)改革，我國(guó)也在推進(jìn)數(shù)學(xué)教育的改革。各國(guó)各地區(qū)的數(shù)學(xué)教育改革取得了一定成績(jī)，但是也遇到了一些困難，您如何看待當(dāng)前國(guó)內(nèi)外數(shù)學(xué)教育改革？

張景中院士:數(shù)學(xué)教育是大事，全世界都關(guān)心。七十年來(lái)，數(shù)學(xué)教育在世界各國(guó)遭遇到了不同程度的困難。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣降低，解題能力下降。一位著名的美國(guó)數(shù)學(xué)家在一篇有關(guān)數(shù)學(xué)教育的長(zhǎng)文中提到，“數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)狀令人失望”，“我們所缺乏的不是奉獻(xiàn)、資源或者才智: 我們沒(méi)有方向”，“垂頭喪氣是美國(guó)的成年人遇到數(shù)學(xué)家時(shí)的典型反應(yīng)。他們抱歉地回憶起上過(guò)的最后一門數(shù)學(xué)課，通常也就是讓他們從此對(duì)數(shù)學(xué)失去信心的那門課?！?/p>

數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育家們?cè)诒姸嗟母母锓桨钢g徘徊爭(zhēng)論而莫衷一是。例如，張奠宙先生在回憶自己從事數(shù)學(xué)教育歷程的一本書中寫道：“我一直覺(jué)得數(shù)學(xué)教育還沒(méi)有總結(jié)出本學(xué)科的基本原理，還沒(méi)有站起來(lái)成為一門獨(dú)立的學(xué)科?！薄?1世紀(jì)以來(lái)，建構(gòu)主義學(xué)習(xí)的理論被捧上了天。諸如學(xué)習(xí)理論的新紀(jì)元，認(rèn)識(shí)論的革命等等，不一而足。似乎建構(gòu)主義是絕對(duì)真理，以為建構(gòu)主義能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平，解決數(shù)學(xué)教學(xué)中的各種問(wèn)題。但是，真要舉一個(gè)用建構(gòu)主義理論能夠提高教學(xué)質(zhì)量的案例都非常困難?！盵1]大家都重視數(shù)學(xué)教育，七十年來(lái)花了很大力氣來(lái)研究改革，為何收效不大呢？幾十年來(lái)，人們付出了很大的努力，以改善數(shù)學(xué)教育。一方面下了很大功夫改革數(shù)學(xué)教材，另一方面不遺余力地研究和改革數(shù)學(xué)教學(xué)的方法。但如果有些困難來(lái)自于數(shù)學(xué)知識(shí)本身的缺陷或不足，這困難就不可能通過(guò)數(shù)學(xué)教育的努力從根本上克服。

筆者:很多人認(rèn)為，現(xiàn)在基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)內(nèi)容都是經(jīng)過(guò)千錘百煉，已經(jīng)相當(dāng)成熟了，對(duì)于這樣的教學(xué)內(nèi)容您覺(jué)得還有優(yōu)化改革的空間嗎？

張景中院士:現(xiàn)在基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，都是幾百年甚至幾千年前創(chuàng)造出來(lái)的，經(jīng)過(guò)千錘百煉，相當(dāng)成熟了。這樣相當(dāng)成熟的教學(xué)內(nèi)容，是在不同的年代、不同的地方，由不同的人，為不同的目的而創(chuàng)造出來(lái)的,而且其中很多不是為教學(xué)的目的而創(chuàng)造出來(lái)的。但這些都是要進(jìn)入課堂的數(shù)學(xué)，難道它們會(huì)自然而然地配合默契，適于教學(xué)和學(xué)習(xí)嗎？除了選擇取舍，除了教學(xué)法的加工，實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn)，只有通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，才能獲得真知。四十多年來(lái)的思考和教學(xué)實(shí)踐表明，數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的部分，經(jīng)過(guò)了千錘百煉的數(shù)學(xué)知識(shí)，仍然可以優(yōu)化，可以變得更適宜于教學(xué)，更容易學(xué)習(xí)和理解。

二、 教育數(shù)學(xué)的基本理念

筆者:您的教育數(shù)學(xué)的理念在全國(guó)有很大的影響力，請(qǐng)問(wèn)您提出這一理念的背景和基本想法是什么？

張景中院士:教育數(shù)學(xué)的基本想法就是使數(shù)學(xué)變得容易。認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)可以變?nèi)菀祝菑?974年在新疆教中學(xué)數(shù)學(xué)開始的。我們?cè)诮虒W(xué)中發(fā)現(xiàn)，改變定義能把三角概念變得容易掌握；引入面積法能把幾何解題變得有章可循。其間，我用小學(xué)知識(shí)解出了兩道題，認(rèn)識(shí)到面積法的重要，開始想到幾何可能變?nèi)菀住?989年，我在15年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，提出了教育數(shù)學(xué)的概念。教育數(shù)學(xué)，如果從《幾何原本》開始，已有2300多年了。而從我自己教中學(xué)有想法開始，也有46年了。32年前我提出了“教育數(shù)學(xué)”這個(gè)名字，而后于2018年前后成立了學(xué)會(huì)。教育數(shù)學(xué)，想的是教育，做的是數(shù)學(xué)；為了教育，改良數(shù)學(xué)。改良也要?jiǎng)?chuàng)新。這包括提出數(shù)學(xué)的新定義、新概念，建立新方法、新體系，發(fā)掘新問(wèn)題、新技巧，尋求新思路、新趣味。

筆者:您能否概括一下教育數(shù)學(xué)的基本理念是什么？

張景中院士:所謂教育數(shù)學(xué)，也就是為教育的數(shù)學(xué)。改造數(shù)學(xué)使之更適宜于教學(xué)和學(xué)習(xí)，是教育數(shù)學(xué)為自己提出的任務(wù)。簡(jiǎn)單而通俗地說(shuō)，教育數(shù)學(xué)就是要把數(shù)學(xué)變?nèi)菀?。?shí)際上，有些杰出的數(shù)學(xué)家，早就認(rèn)為數(shù)學(xué)可以變得更容易。阿蒂亞(M. Atiyah)在1976年就任倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)主席時(shí)的演說(shuō)中說(shuō)，“如果我們積累起來(lái)的經(jīng)驗(yàn)要一代一代傳下去，就必須不斷努力把它們簡(jiǎn)化和統(tǒng)一”，“過(guò)去曾經(jīng)使成年人困惑的問(wèn)題，在以后的年代里，連孩子們都能容易地理解?！?/p>

筆者:從數(shù)學(xué)家的角度，您覺(jué)得怎么樣才能把數(shù)學(xué)變得更加容易？

張景中院士:把數(shù)學(xué)變?nèi)菀谆镜南敕ㄊ? 一是熟悉了就容易。盡可能把要學(xué)的新知識(shí)和學(xué)生已經(jīng)熟悉的東西串通起來(lái)，舊瓶新酒，推陳出新。其次是簡(jiǎn)單了就容易。尋求更簡(jiǎn)單的表述方式，更通用、更有力的解題方法，為大量問(wèn)題提供有章可循的解決途徑。此外，想通了就容易，要盡量把前后左右的知識(shí)串通起來(lái)，把道理說(shuō)清楚。還有就是直觀了就容易。形數(shù)結(jié)合，動(dòng)靜結(jié)合，充分利用教育信息技術(shù)提供的工具和環(huán)境，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中變抽象為具體，體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美。

為此，就要做切實(shí)的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的研究。凡此總總，無(wú)不是為教育而做數(shù)學(xué)。基礎(chǔ)教育中的數(shù)學(xué)，講的是普適的、最一般的數(shù)學(xué)事實(shí)。大道至簡(jiǎn)，最一般的道理應(yīng)當(dāng)是易于表達(dá)和理解的。

三、 如何使數(shù)學(xué)變得容易

筆者:您剛才提到了教育數(shù)學(xué)的基本理念，指出要把數(shù)學(xué)變得更容易，對(duì)于當(dāng)前數(shù)學(xué)教育改革具有十分重要的意義。大家在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中感覺(jué)到幾何是比較困難的部分，如何使幾何變得容易？

張景中院士:幾何的難點(diǎn)可以通過(guò)創(chuàng)新的方法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，例如基于小學(xué)知識(shí)總結(jié)出的“三共定理”: 共高定理、共角定理、共邊定理。 這些定理易學(xué)好用，使大量幾何題變?nèi)菀琢?。其中前兩個(gè)是人們熟知的古老命題，但沒(méi)有得到重視，共邊定理則是新的發(fā)現(xiàn)。一些復(fù)雜的幾何題通過(guò)運(yùn)用共邊定理就能迎刃而解，但為何共邊定理如此好用，我到1992年才理解其中的奧妙。那年應(yīng)周咸青博士邀請(qǐng)到美國(guó)合作研究幾何定理機(jī)器證明，我提出用面積方法，他問(wèn)如何把面積方法實(shí)現(xiàn)為計(jì)算機(jī)可執(zhí)行的算法呢？夜里我想了一個(gè)例子，用面積法機(jī)械地證明平行四邊形對(duì)角線相互平分，并由此認(rèn)識(shí)到，原來(lái)共邊定理的作用在于消去直線的交點(diǎn)。幾何解題的傳統(tǒng)思路是做輔助圖形，做不出來(lái)就設(shè)法添加?xùn)|西，現(xiàn)在反其道而行，從圖中減少一些東西，使之簡(jiǎn)化；最后不能再簡(jiǎn)化了，就水落石出。數(shù)學(xué)教育和人工智能有密切聯(lián)系。最近，在第13屆幾何自動(dòng)推理國(guó)際會(huì)議上，Wolfram公司的一個(gè)報(bào)告詳細(xì)介紹了他們實(shí)現(xiàn)面積消點(diǎn)法的情形。

筆者:您在研究教育數(shù)學(xué)體系時(shí)一直很重視三角的作用，三角與整體的數(shù)學(xué)是一個(gè)怎樣的聯(lián)系？

張景中院士:在數(shù)學(xué)教育中，三角比幾何更重要。三角是聯(lián)系幾何與代數(shù)的一座橋梁，是溝通初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一條通道。函數(shù)、向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)等許多重要的知識(shí)都與三角有關(guān)，大量實(shí)際問(wèn)題的解決要用到三角。為了配合物理教學(xué)，弗賴登塔爾(Freudenthal)主張?zhí)崆皟赡陮W(xué)三角，一開始只學(xué)正弦。我們?cè)谛W(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上，用單位菱形的面積定義正弦，實(shí)現(xiàn)了他的設(shè)想。1974年我在新疆教中學(xué)，用這種定義方法引入正弦，學(xué)生感到很容易掌握。

在直角三角形情形中用正弦定理，推出銳角正弦等于對(duì)邊比斜邊。把余角的正弦簡(jiǎn)稱余弦，接著可以研究余弦的性質(zhì)和應(yīng)用。正弦定理按課程標(biāo)準(zhǔn)是高中的學(xué)習(xí)內(nèi)容，可是高中學(xué)了用處不大。初中一年級(jí)如果懂了正弦定理，再通過(guò)面積計(jì)算得到和角公式，就有很多應(yīng)用，帶來(lái)不少樂(lè)趣。幾何和代數(shù)聯(lián)系起來(lái)，對(duì)解決幾何問(wèn)題也有幫助。早在公元前2世紀(jì)，古希臘天文學(xué)家希帕霍斯(Hipparchus of Nicaea)為了天文觀測(cè)的需要，將一個(gè)固定的圓內(nèi)給定度數(shù)的圓弧所對(duì)的弦的長(zhǎng)度，叫做這條弧的正弦?，F(xiàn)在初中三年級(jí)課本上，把直角三角形中銳角的對(duì)邊與斜邊的比值，叫做這個(gè)銳角的正弦，是16世紀(jì)形成的概念。但是，幾何中的計(jì)算就常常用到鈍角的正弦了，進(jìn)一步的學(xué)習(xí)更需要任意角的正弦。因此到高中階段，要引進(jìn)18世紀(jì)大數(shù)學(xué)家歐拉(Euler)所建立的三角函數(shù)的定義，把正弦與坐標(biāo)系、單位圓以及任意角的終邊聯(lián)系起來(lái)。

按照兩百年來(lái)形成的數(shù)學(xué)教學(xué)體系，正弦是一個(gè)層次較深的概念。即使僅僅提到銳角的正弦，就要先有相似形的知識(shí)，所以要到初中三年級(jí)才講。但是，初中一二年級(jí)的學(xué)生，從算術(shù)進(jìn)入幾何和代數(shù)，正是邏輯思維形成的關(guān)鍵時(shí)期。這時(shí)，向他們展示不同類型知識(shí)之間的聯(lián)系以激發(fā)其思考非常重要。三角概念，首先是正弦概念，是形數(shù)結(jié)合的紐帶，是幾何與代數(shù)之間的橋梁。如果能夠不失時(shí)機(jī)地在初中一年級(jí)引入正弦，使學(xué)生有機(jī)會(huì)把幾何、代數(shù)、三角串通起來(lái)，進(jìn)而體會(huì)近現(xiàn)代函數(shù)思想的威力，應(yīng)當(dāng)有很大好處。

“有一個(gè)角為α、邊長(zhǎng)為1的菱形的面積”正好等于α的正弦，而且不論銳角直角鈍角都是成立的。信手拈來(lái)，用它引進(jìn)正弦，就無(wú)須到初三，初一甚至小學(xué)五、六年級(jí)都可以講正弦了。進(jìn)一步思考，如果引入任意角和帶號(hào)面積，還可以在引入坐標(biāo)前就定義任意角的正弦，不過(guò)這想法還沒(méi)有做過(guò)教學(xué)實(shí)踐。

這樣引進(jìn)的正弦，所聯(lián)系的幾何量不是兩千年前引入的弦長(zhǎng)，不是四百多年前引入的線段比，也不是兩百多年前數(shù)學(xué)大師歐拉建議的任意角終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)，而是小學(xué)生非常熟悉的面積。這樣定義正弦好像是離經(jīng)叛道，但在客觀上，在數(shù)學(xué)中是成立的。寫在科普讀物里，不但沒(méi)錯(cuò)，還能夠讓讀者開眼界，活思考，提興趣，鏈知識(shí)，學(xué)方法。這樣的正弦定義，比起目前初中三年級(jí)課本上的定義，至少有四個(gè)好處: 更簡(jiǎn)單，更直觀，更嚴(yán)謹(jǐn)(這里直角的正弦為1，因?yàn)樗褪菃挝徽叫蔚拿娣e；課本上要用極限來(lái)解釋)，更一般(這里的定義覆蓋了銳角、直角、鈍角和平角的情形；課本上只包括銳角)。

1980年，我正式提出了用單位菱形面積定義正弦[2]，此后多次在期刊和科普講座中提起這樣引入三角的新方法。1989年，《從數(shù)學(xué)教育到教育數(shù)學(xué)》在四川教育出版社出版。這本書提出了“教育數(shù)學(xué)”的概念(15年后，即2004年，中國(guó)高等教育學(xué)會(huì)增設(shè)了“教育數(shù)學(xué)專業(yè)委員會(huì)”)，從單位菱形面積定義正弦出發(fā)，形成了設(shè)想中的幾何推理體系的方案之一。為了促進(jìn)這個(gè)新方法進(jìn)入課堂，2006—2007年我提出用單位菱形面積引入正弦的辦法讓初中一年級(jí)學(xué)習(xí)三角。我國(guó)數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的著名學(xué)者張奠宙先生當(dāng)即發(fā)文回應(yīng)，熱情支持，對(duì)“用單位菱形面積引入正弦”給予高度評(píng)價(jià)，還提出了有關(guān)教學(xué)實(shí)驗(yàn)策略的寶貴建議。張奠宙先生看得很遠(yuǎn)。他在《我親歷的數(shù)學(xué)教育》一書中回顧此事時(shí)寫道: “如果三角學(xué)真的有一天會(huì)下放到小學(xué)的話，這大約是一個(gè)歷史起點(diǎn)。”[3]

筆者:中學(xué)生是否要學(xué)微積分也是數(shù)學(xué)教育研究中爭(zhēng)議較多的問(wèn)題，也使很多數(shù)學(xué)教師感到困惑，能不能把微積分變得讓中學(xué)生和剛?cè)氪髮W(xué)的學(xué)生容易理解呢？

張景中:1979—1985年我在中國(guó)科大為少年班和數(shù)學(xué)系講過(guò)微積分,為此做過(guò)把極限概念和實(shí)數(shù)理論變?nèi)菀椎呐?，提出了一種不用嚴(yán)謹(jǐn)定義極限的方法,發(fā)現(xiàn)了與戴德金公理等價(jià)的連續(xù)歸納法,但沒(méi)有來(lái)得及進(jìn)入教學(xué)。對(duì)于中學(xué)生，無(wú)窮數(shù)列不難理解，不減而無(wú)界的數(shù)列也不難理解，自然數(shù)列就是熟悉的例子。為了簡(jiǎn)便，可以把不減而無(wú)界的數(shù)列叫做D數(shù)列。學(xué)生很容易想到D數(shù)列應(yīng)當(dāng)算是無(wú)窮大數(shù)列，那么，比D數(shù)列大而不一定單調(diào)的數(shù)列也應(yīng)當(dāng)算是無(wú)窮大數(shù)列吧？由此便能自然地給出無(wú)窮大列的定義，而無(wú)窮大的定義，反過(guò)來(lái)就是無(wú)窮小。有了無(wú)窮小列的概念，引入數(shù)列極限概念就不困難了。類似的辦法，可以定義函數(shù)的極限。容易證明這樣的定義邏輯上等價(jià)于柯西(Cauchy)的“ε-語(yǔ)言”的定義，但比較容易理解，用于解題和推理時(shí)更容易掌握且較為簡(jiǎn)便。

后來(lái)有幾種教材采用了這樣定義極限的方法，[4][5][6]其中劉宗貴教授還做了成功的教學(xué)實(shí)驗(yàn)。[7]由于感到要進(jìn)一步把微積分變?nèi)菀讓?shí)在太難于下手，在1985年之后的十年間我就停止了這方面的努力。后來(lái)受到林群工作的帶動(dòng)激勵(lì)，又恢復(fù)了這個(gè)方向的思考，并獲得新進(jìn)展，發(fā)現(xiàn)不但可以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)叵戎v微積分再講極限，而且可以在微積分之前系統(tǒng)而簡(jiǎn)捷地解決通常認(rèn)為用微積分才能解決的許多問(wèn)題。

微積分課程沒(méi)有統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)，寫了教材容易出版，所以含有教育數(shù)學(xué)新想法的教材出了好幾種，可能以后還有。但實(shí)驗(yàn)效果不好評(píng)價(jià)，傳統(tǒng)力量特大，改革起來(lái)任重道遠(yuǎn)。張奠宙先生設(shè)想，在高中可以先學(xué)不用極限的微積分，我想這可以作為下一步的努力方向。關(guān)于向量，我們僅僅是發(fā)展了解題方法。由于切合需要，很愛(ài)老師們歡迎。向量、坐標(biāo)、復(fù)數(shù)這些知識(shí)是有密切聯(lián)系的，能不能進(jìn)一步用點(diǎn)幾何整合？我給初中生講過(guò)幾次“兩個(gè)點(diǎn)如何相加”，他們很感興趣。如果從這里切入，看來(lái)有希望突破。

筆者:加強(qiáng)數(shù)學(xué)各部分知識(shí)的聯(lián)系對(duì)于形成結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)很重要，您提到的用點(diǎn)幾何串通坐標(biāo)、向量和復(fù)數(shù)，您具體是如何思考的？

張景中院士:“點(diǎn)幾何”力圖用更簡(jiǎn)明、更平常的概念和符號(hào)，借助代數(shù)運(yùn)算的形式來(lái)描述幾何對(duì)象之間的關(guān)系。僅考慮平面幾何的情形，容易推廣到高維。學(xué)過(guò)坐標(biāo)的孩子，幾分鐘就能掌握這兩個(gè)定義。其實(shí)，讓他們自己來(lái)定義點(diǎn)的加法和數(shù)乘點(diǎn)，他們很可能也會(huì)這樣定義吧。這里沒(méi)有新概念，不過(guò)是給點(diǎn)的坐標(biāo)之間的計(jì)算約定了簡(jiǎn)單的表示方法。用A表示(xA,yA)，其好處不僅在于點(diǎn)的書寫工作量?jī)H僅是坐標(biāo)書寫工作量的七分之一，而且視覺(jué)方面的簡(jiǎn)化更有利于幾何直觀和邏輯思考。彭翕成在他的博士論文中提出這一點(diǎn)并對(duì)點(diǎn)幾何恒等式做了很有趣的探索。他嘗試用機(jī)器推理來(lái)求取幾何命題的點(diǎn)幾何恒等式明證，獲得了上千的成功案例，其中多數(shù)情形證明比命題的表述要短。[8]初步教學(xué)實(shí)驗(yàn)顯示，學(xué)生對(duì)點(diǎn)如何相加的問(wèn)題有濃厚的興趣。如果在高中串通坐標(biāo)、向量和復(fù)數(shù)來(lái)講講點(diǎn)幾何，相信能夠把這些內(nèi)容變得更有趣，學(xué)起來(lái)更容易。

四、 教育數(shù)學(xué)的實(shí)踐研究

筆者:我們知道數(shù)學(xué)教育改革不僅要重視頂層設(shè)計(jì)，更加要關(guān)注實(shí)踐層面的研究，您也一直很重視教育數(shù)學(xué)的實(shí)踐研究。您是如何推動(dòng)教育數(shù)學(xué)實(shí)踐研究的？

張景中院士:真的要改革數(shù)學(xué)課程的結(jié)構(gòu)，只有頂層設(shè)計(jì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。老師需要可以操作的方案。為此，我在2009年出版了《一線串通的初等數(shù)學(xué)》，書中提供了兩個(gè)具體教學(xué)設(shè)計(jì)，一個(gè)是直接用單位菱形面積引入正弦，另一個(gè)是用半個(gè)單位菱形(也就是腰長(zhǎng)為1的等腰三角形)的面積。兩者本質(zhì)相通，風(fēng)格不同，前者更直觀，后者較嚴(yán)謹(jǐn)。重建三角和改良微積分的想法，對(duì)一線教師確有影響，有新的教材，有教學(xué)實(shí)踐。試過(guò)的老師說(shuō)，新思路可行，有優(yōu)越性。教育數(shù)學(xué)有虛有實(shí)，思考交流是務(wù)虛，教學(xué)實(shí)踐是務(wù)實(shí)，務(wù)虛是為了務(wù)實(shí)。實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的標(biāo)準(zhǔn)，只有通過(guò)教學(xué)實(shí)踐，才能獲得真知。

筆者:您在實(shí)踐中一直很重視數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)驗(yàn)，推動(dòng)數(shù)學(xué)教師和教研人員開展教育數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，在這方面您覺(jué)得有哪些好的研究成果和經(jīng)驗(yàn)？

張景中院士:做教學(xué)實(shí)驗(yàn)課題，一般要挑好學(xué)生。但教育數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐，特別是三角、微積分的教學(xué)改革，卻常常拿數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較差的學(xué)生來(lái)實(shí)驗(yàn)。這是被逼出來(lái)的。這些學(xué)生，原來(lái)的一套學(xué)得艱難，老師責(zé)任心又強(qiáng)，很希望學(xué)生學(xué)得明白一些，窮者思變，就用新東西來(lái)實(shí)驗(yàn)了。有位數(shù)學(xué)家對(duì)我說(shuō)，你這一套培養(yǎng)不出數(shù)學(xué)家。我體會(huì)他的意思是，培養(yǎng)數(shù)學(xué)家要用難度大的東西來(lái)訓(xùn)練，你把數(shù)學(xué)變?nèi)菀琢?，還能培養(yǎng)出數(shù)學(xué)家嗎？我想不要緊，多數(shù)學(xué)生不是要當(dāng)數(shù)學(xué)家。要培養(yǎng)數(shù)學(xué)家安排些上下求索的難題不是做不到，教育數(shù)學(xué)還要幫助多數(shù)不要當(dāng)數(shù)學(xué)家但要學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)的人，這意義不算小。

華東師范大學(xué)2008年的一篇教育碩士論文《高中階段“用面積定義正弦”教學(xué)初探》，其作者王文俊是在高中教師崗位上進(jìn)修攻讀碩士學(xué)位的。他利用假期補(bǔ)課中的三節(jié)課(每節(jié)35分鐘)，為無(wú)錫市輔仁高中高一、高二4個(gè)班的198名學(xué)生講了用單位菱形面積定義正弦的有關(guān)內(nèi)容。他在研究結(jié)論中認(rèn)為，“總的看來(lái)，學(xué)生、教師均對(duì)用面積定義正弦持歡迎態(tài)度。與以往比較呆板枯燥的定義相比，新定義出發(fā)點(diǎn)別具一格，體系的走向簡(jiǎn)潔易懂，學(xué)生易于接受也就在情理之中”。這篇論文里還提到，臺(tái)灣省臺(tái)北縣江翠國(guó)中陳彩鳳老師曾經(jīng)給資優(yōu)班學(xué)生講過(guò)用單位菱形面積定義正弦的三角體系，獲得學(xué)生熱烈回響。在高中做過(guò)教學(xué)實(shí)驗(yàn)的，還有青海民族學(xué)院數(shù)學(xué)系的王雅瓊老師。

寧波教育學(xué)院的崔雪芳教授，她與一位有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師合作，于2007年底在寧波一所普通初級(jí)中學(xué)初一的普通班上了一堂“角的正弦”的實(shí)驗(yàn)課。[9]結(jié)論認(rèn)為，“初步結(jié)果顯示，學(xué)生可以懂。三角和面積相聯(lián)系，比起直角三角形的‘對(duì)邊比斜邊’定義更直觀，更容易把握。”最后，她在“教學(xué)反思”中說(shuō)，用菱形面積定義正弦能夠“降低教學(xué)臺(tái)階，學(xué)生掌握新概念比較順利”；“克服了以往正弦概念教學(xué)中從抽象到抽象的弊端”；“教學(xué)引申比較順利，變式訓(xùn)練的難度大大降低，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中始終保持濃厚的興趣，對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生了強(qiáng)烈的期待，學(xué)習(xí)的動(dòng)力被進(jìn)一步激發(fā)”；“這種全新的課程邏輯體系將有利于學(xué)生‘?dāng)?shù)、形’融合，使后續(xù)學(xué)習(xí)的思維空間得到整體的拓展”；“在三角、幾何、代數(shù)間搭建了一個(gè)互相聯(lián)系的思維通道”。

崔教授接著又組織了寧波市4所初中的7個(gè)班進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。這4所學(xué)校分別代表了寧波城區(qū)生源較好學(xué)校、生源一般學(xué)校、城鄉(xiāng)結(jié)合部學(xué)校和城區(qū)重點(diǎn)學(xué)校4種類型。經(jīng)過(guò)兩年對(duì)不同生源結(jié)構(gòu)班級(jí)的實(shí)驗(yàn)以及教師、專家訪談，她得到的結(jié)論是: 在初一“以‘單位菱形面積’定義正弦引進(jìn)三角函數(shù)是可行的；用面積方法建立三角學(xué)有利于初中學(xué)生構(gòu)建三角函數(shù)直觀的數(shù)學(xué)模型，形成多方面的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，多角度把握‘?dāng)?shù)學(xué)本質(zhì)’”；“‘重建三角’的學(xué)科邏輯十分有利于中學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”。后來(lái)，崔教授就此主題繼續(xù)實(shí)驗(yàn)研究，完成了浙江省教科規(guī)劃課題“基于初中數(shù)學(xué)‘用菱形面積定義正弦’教學(xué)實(shí)驗(yàn)‘重建三角’教學(xué)邏輯的策略研究”，該課題于2012年3月結(jié)題，獲寧波市教科規(guī)劃研究?jī)?yōu)秀成果二等獎(jiǎng)。在此期間她編寫了實(shí)驗(yàn)教材，在寧波市幾所中學(xué)進(jìn)行了不同程度的六節(jié)課教學(xué)實(shí)驗(yàn)，組織了多次針對(duì)性的教學(xué)分析和研討，獲得了一批第一手的研究資料。

在我國(guó)做教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)考成績(jī)?nèi)绾芜@個(gè)坎是繞不過(guò)去的。2012年，在廣州市科協(xié)千師萬(wàn)苗工程項(xiàng)目支持下，廣州市海珠實(shí)驗(yàn)中學(xué)大膽嘗試，進(jìn)行了貫穿初中全程的“重建三角”教學(xué)實(shí)驗(yàn)。兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班共105名學(xué)生，其中實(shí)驗(yàn)一班還有4名阿斯伯格綜合征的學(xué)生和10名小學(xué)階段鑒定為學(xué)業(yè)水平較差的學(xué)生，由青年教師張東方任教。她將《一線串通的初等數(shù)學(xué)》的主要內(nèi)容與人教版數(shù)學(xué)教材進(jìn)行整合，其中有90節(jié)課是根據(jù)《一線串通的初等數(shù)學(xué)》設(shè)計(jì)的。

從面積出發(fā)引進(jìn)正弦的效果，在更多課時(shí)、更為正式的教學(xué)試驗(yàn)中更加明顯。七年級(jí)下學(xué)期引入菱形面積定義正弦后，代數(shù)、幾何知識(shí)密切聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生的思維能力提升，分析和解決問(wèn)題的能力增強(qiáng)了。測(cè)試成績(jī)上也有了明顯的表現(xiàn)。2015年中考，兩個(gè)班的數(shù)學(xué)成績(jī)平均分分別為131.47分和131.11分，單科優(yōu)秀率達(dá)到100%(對(duì)比班優(yōu)秀率66.91%)。數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高對(duì)其他各科成績(jī)有了正面影響，這兩個(gè)班中考總成績(jī)平均分別為733.96分和730.25分，顯著超過(guò)4個(gè)對(duì)比班的總平均分664分。

據(jù)實(shí)驗(yàn)班的數(shù)學(xué)老師張東方介紹，在使用了調(diào)整后的教材結(jié)構(gòu)方案后，學(xué)生探索和解題的能力明顯提升，尤其是解決綜合題的能力大大增強(qiáng)了。有一次測(cè)試，全區(qū)有15名同學(xué)成功解答壓軸題，其中有12名來(lái)自這兩個(gè)實(shí)驗(yàn)班。海珠實(shí)驗(yàn)中學(xué)的教學(xué)實(shí)驗(yàn)引起了關(guān)注，在廣州教育研究院朱華偉教授主持下進(jìn)一步擴(kuò)大實(shí)驗(yàn)并總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，獲2017年廣東省教育教學(xué)成果獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)和2018年國(guó)家級(jí)教學(xué)成果獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)。

在2015年之后，四川省在李興貴、賴虎強(qiáng)等老師推動(dòng)下開展了有關(guān)實(shí)驗(yàn)，并編寫了師范學(xué)院教材，貴州省在左羽、張傳軍等老師推動(dòng)下開展了有關(guān)實(shí)驗(yàn)，都取得好的效果。2018年1月，教育數(shù)學(xué)與中小學(xué)課程專題研討會(huì)在廣州舉行，聽取了有關(guān)重建三角的教學(xué)實(shí)驗(yàn)匯報(bào)，肯定了這個(gè)努力方向，提出要編寫教材，擴(kuò)大實(shí)驗(yàn)。經(jīng)過(guò)41年的思考討論和教學(xué)實(shí)踐，到2021年，用菱形面積定義正弦被寫入李尚志教授主編的實(shí)驗(yàn)教材。[10]

筆者:對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)開展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種很好的方式，您是如何看待數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)的？

張景中院士:2012年，王鵬遠(yuǎn)老師和我合寫的《少年數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)》在中國(guó)少年兒童出版社出版，其中把單位菱形面積引入正弦的過(guò)程用動(dòng)態(tài)幾何圖像來(lái)表現(xiàn)，設(shè)計(jì)成一次數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)。王老師還親自為初中生做了有關(guān)的科普講座。對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，最重要的是初中三年，這三年是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的分化轉(zhuǎn)折的階段。教育數(shù)學(xué)在初中的實(shí)驗(yàn)，現(xiàn)在有了關(guān)鍵的突破。從海珠實(shí)驗(yàn)中學(xué)的實(shí)驗(yàn)開始，成都的實(shí)驗(yàn)、貴州的實(shí)驗(yàn)繼續(xù)發(fā)展，現(xiàn)在有了李尚志教授主編的《新思路數(shù)學(xué)》實(shí)驗(yàn)教材，十幾個(gè)省立項(xiàng)上百學(xué)校參與，由點(diǎn)到面，教育數(shù)學(xué)不再是紙上談兵了。