胡連成 (江蘇省徐州市豐縣華山鎮(zhèn)華山初級中學(xué) 221744)

我國近40年基礎(chǔ)教育的發(fā)展，體現(xiàn)了以“雙基”為代表重視學(xué)科價(jià)值到以培養(yǎng)“核心素養(yǎng)”為標(biāo)志、強(qiáng)調(diào)育人價(jià)值的發(fā)展歷程，注重促進(jìn)學(xué)生可持續(xù)發(fā)展、終身受益的必備能力和關(guān)鍵品格的養(yǎng)成．具體到數(shù)學(xué)學(xué)科的教學(xué)，體現(xiàn)為從注重知識(shí)、方法層面的教學(xué)提升到學(xué)科思維層面的深度教學(xué)，重視在問題解決中發(fā)展批判性思維、反思性思維和創(chuàng)造性思維等高階思維，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)品格養(yǎng)成和文化浸潤，實(shí)現(xiàn)立德樹人的教育目的．

數(shù)學(xué)深度教學(xué)強(qiáng)調(diào)從“幫助學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”的教學(xué)轉(zhuǎn)向“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”的教學(xué)，數(shù)學(xué)教師的主要責(zé)任就是“以深刻的思想啟迪學(xué)生”．深度教學(xué)追求的是學(xué)生全身心深度參與學(xué)習(xí)和主動(dòng)深度思考問題，以實(shí)現(xiàn)從具體的學(xué)科知識(shí)教學(xué)到學(xué)科思維層面的教學(xué)，并由具體的數(shù)學(xué)方法和策略轉(zhuǎn)向一般性思維策略的學(xué)習(xí)，使學(xué)生通過合作互動(dòng)學(xué)習(xí)，真正成為學(xué)習(xí)的主人．[1]

1 “情境—問題—思維”之?dāng)?shù)學(xué)深度教學(xué)三部曲

數(shù)學(xué)深度教學(xué)應(yīng)始于情境問題的引領(lǐng)，教學(xué)中要?jiǎng)?chuàng)設(shè)指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)部動(dòng)機(jī)．?dāng)?shù)學(xué)深度教學(xué)應(yīng)基于問題鏈的深度探索，教學(xué)中要注重學(xué)生問題意識(shí)的培養(yǎng)，在核心問題的引領(lǐng)下生成系列問題鏈，實(shí)現(xiàn)對問題主動(dòng)深度探索．?dāng)?shù)學(xué)深度教學(xué)應(yīng)成于理性思維的培養(yǎng)，教學(xué)中注重學(xué)生思維內(nèi)化和外顯的充分實(shí)現(xiàn)，在思辨中培養(yǎng)理性思維，在思維發(fā)展中實(shí)現(xiàn)自覺學(xué)習(xí)．本文以蘇科版教科書八年級上冊“3.1勾股定理”第1課時(shí)的教學(xué)片斷為例，加以闡述．

1.1 深度教學(xué)應(yīng)始于情境問題的引領(lǐng)

問題情境是一個(gè)有多重含義的概念，由于學(xué)者對問題情境的關(guān)注視角不同，對問題情境的認(rèn)識(shí)可分為“情境指向”和“問題指向”兩種視角[2]，前者關(guān)注基于情境產(chǎn)生的一系列問題，后者關(guān)注情境引發(fā)的心理困境和探究氛圍．本文認(rèn)為，問題情境是指創(chuàng)設(shè)與教學(xué)目的、內(nèi)容體系及學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)、認(rèn)知心理相關(guān)聯(lián)，能引發(fā)認(rèn)知沖突，形成核心問題，促進(jìn)主動(dòng)思考的學(xué)習(xí)探究氛圍．把學(xué)生置身于研究新的未知問題情境中，學(xué)生會(huì)感到此問題既熟悉但又不能單純利用已有知識(shí)和方法去解決，從而產(chǎn)生“悱憤”之感，促進(jìn)學(xué)生主動(dòng)探究．

數(shù)學(xué)深度教學(xué)注重通過營造問題情境，引發(fā)學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)主動(dòng)探索的欲望，實(shí)現(xiàn)以自我提升為目的的認(rèn)知驅(qū)動(dòng)．情境創(chuàng)設(shè)應(yīng)基于學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu)、認(rèn)知心理，關(guān)注學(xué)習(xí)“最近發(fā)展區(qū)”，把控好“已知區(qū)”和“未知區(qū)”合理間距，引發(fā)適度認(rèn)知沖突，形成核心問題．情境設(shè)置是否合適，取決于情境所生成的問題是否能夠激發(fā)學(xué)習(xí)內(nèi)部動(dòng)機(jī)、揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)、引領(lǐng)思維發(fā)展．

蘇科版教科書八年級上冊第3章《勾股定理》分為三部分，分別是“3.1 勾股定理”“3.2 勾股定理的逆定理”“3.3 勾股定理的簡單應(yīng)用”．“3.1 勾股定理”共有2課時(shí)，其內(nèi)容分別為通過數(shù)學(xué)活動(dòng)探索勾股定理和掌握勾股定理的經(jīng)典證明．本課時(shí)是本章第一課，起著統(tǒng)領(lǐng)全章教學(xué)的作用，教學(xué)中要注重知識(shí)的內(nèi)部關(guān)聯(lián)性和數(shù)學(xué)思想方法的一致性，以促進(jìn)學(xué)生完成知識(shí)、方法的意義建構(gòu)．

·教學(xué)片斷1 創(chuàng)設(shè)情境引發(fā)思考

問題1這是1955年希臘發(fā)行的一枚郵票(圖1)，以紀(jì)念兩千多年前古希臘著名數(shù)學(xué)學(xué)派——畢達(dá)哥拉斯學(xué)派．請同學(xué)們仔細(xì)觀察，你有哪些發(fā)現(xiàn)？

圖1

生1：圖案中有三個(gè)正方形和一個(gè)三角形．

生2：三個(gè)正方形分別包含了9個(gè)、16個(gè)和25個(gè)小正方形．

生3：如果把小正方形邊長看作單位1，圖案中3個(gè)正方形的面積分別為9,16,25．可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)小正方形的面積和等于大正方形的面積，說明直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．

師：你確認(rèn)是直角三角形嗎？

生3：我用量角器進(jìn)行了度量，應(yīng)該是直角三角形．

生4：度量存在誤差，并不能說明它一定是直角三角形．

師：如果不能確認(rèn)是直角三角形，你該如何思考問題？

生4：應(yīng)該按照直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形分類討論哪類三角形具備“兩邊的平方和等于第三邊的平方”.

師：從哪類三角形開始思考？

生4：從特殊三角形、也就是直角三角形入手．

教學(xué)分析問題是數(shù)學(xué)的心臟，如何讓學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中自然地發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，是我們教學(xué)中的首要任務(wù)．我們要從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，創(chuàng)設(shè)合適情境，引發(fā)學(xué)生發(fā)散式思考，在學(xué)生觀察、猜想、分析和比較中自然生成問題，教師的作用體現(xiàn)在及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在提出的眾多問題中抽取出核心問題，引領(lǐng)后續(xù)探究．本案例是學(xué)生在觀察思考中生成核心問題：“哪類三角形兩邊平方和等于第三邊的平方？”

數(shù)學(xué)深度教學(xué)要善于通過情境謀勢，形成認(rèn)知沖突，基于學(xué)生的內(nèi)在需求，生成具有開放度的核心問題，以引發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維和深度思考．

1.2 深度教學(xué)應(yīng)基于問題鏈的深度探索

數(shù)學(xué)深度教學(xué)要在核心問題的引領(lǐng)下，通過一般化、特殊化、類比、逆向等思維方式形成問題鏈，以引發(fā)學(xué)生思維碰撞，將思維引向深入．問題鏈的設(shè)計(jì)與實(shí)施需要把握三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：以數(shù)學(xué)內(nèi)部關(guān)聯(lián)為邏輯起點(diǎn)、以數(shù)學(xué)思維方式為方法指導(dǎo)、以教學(xué)功能任務(wù)為基本定位．在實(shí)踐教學(xué)中，常常是多種數(shù)學(xué)思維共同指導(dǎo)下形成具有一定開放性的問題鏈．[3]

基于問題鏈的深度教學(xué)需要正確處理問題預(yù)設(shè)與生成關(guān)系．預(yù)設(shè)是課堂教學(xué)的基本特性，是教師課前基于對教材整體把握和學(xué)情了解，而對教學(xué)目的、任務(wù)、過程形成清晰、理性的靜態(tài)思考和規(guī)劃，把一節(jié)課所蘊(yùn)含的知識(shí)、方法和思想用問題的形式加以呈現(xiàn)的過程．生成是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要特點(diǎn)，是學(xué)生基于自身理解基礎(chǔ)上形成新問題、新觀點(diǎn)、新思路，是一種動(dòng)態(tài)發(fā)展的過程．對于如何處理二者的關(guān)系，要認(rèn)識(shí)到預(yù)設(shè)的目的不是讓教師的知識(shí)和技巧出彩，而是要讓學(xué)生的思維發(fā)光，要讓預(yù)設(shè)與生成共同指向?qū)W生的思維發(fā)展．教學(xué)中應(yīng)通過情境引發(fā)認(rèn)知沖突，使學(xué)生在主動(dòng)思考中自然生成問題．教師在這一過程中因勢利導(dǎo)，通過設(shè)問、追問和反問，使預(yù)設(shè)與生成渾然天成，通過對問題“靜靜地思考”與“充分地表達(dá)”，促進(jìn)學(xué)生對問題的深度探索．

·教學(xué)片斷2 問題變式促進(jìn)深度思考

基于核心問題“哪類三角形兩邊平方和等于第三邊的平方？”的引領(lǐng)，遵循一般化和特殊化等思維方式進(jìn)行如下問題變式．

問題1你能計(jì)算圖2中以直角三角形三邊構(gòu)造的三個(gè)正方形的面積嗎？

圖2 圖3

學(xué)生表示不會(huì)計(jì)算以AB為邊的正方形面積．

問題2如圖3，如果添加了網(wǎng)格線，你能計(jì)算圖中三個(gè)正方形的面積嗎？

學(xué)生對于“斜正方形”的面積計(jì)算存在困難，引導(dǎo)其類比另兩個(gè)正方形面積計(jì)算方法，利用“割”或“補(bǔ)”的方法“化斜歸正”，求其面積．

問題3請同學(xué)們在方格紙上任意畫一個(gè)格點(diǎn)直角三角形，并分別以這個(gè)三角形的三邊向外作正方形，求其面積，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生通過畫出不同的直角三角形并計(jì)算相關(guān)面積，進(jìn)一步體會(huì)三個(gè)正方形面積之間的等量關(guān)系．教師再借助幾何畫板演示直角三角形的形狀變化時(shí)，正方形面積之間的數(shù)量關(guān)系沒有變化，進(jìn)一步體會(huì)“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”．

問題4通過以上過程，是否可以說明直角三角形一定具有這種性質(zhì)？

多數(shù)學(xué)生認(rèn)為可以說明，部分學(xué)生提出：雖然較多的直角三角形具備了這種性質(zhì)，但不能說明所有的直角三角形都具備這種性質(zhì)．也就是說，還缺乏一般化的證明．于是引出了問題5的思考．

問題5如果直角三角形三邊分別為a,b,c，能否證明我們發(fā)現(xiàn)的結(jié)論？請結(jié)合圖4加以說明．

圖4

類比“圖3”的方法，通過“割”或“補(bǔ)”的“化斜歸正”方法可以證明結(jié)論成立．通過一般化證明說明直角三角形具有性質(zhì)“兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”．

問題6銳角三角形和鈍角三角形是否也具備這樣的性質(zhì)？

通過對上述一系列問題的思考，利用一般化證明說明了直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，通過舉反例的方法說明銳角三角形和鈍角三角形不具備這種性質(zhì)．在這種思維碰撞和反思中，學(xué)生主動(dòng)提出了問題7，這也是本節(jié)課學(xué)生思維發(fā)展的亮點(diǎn)之體現(xiàn)．

問題7如果一個(gè)三角形兩邊平方和等于第三邊的平方，這個(gè)三角形一定是直角三角形嗎？

本問題是從結(jié)論的反面思考，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)逆向思維運(yùn)用．由于它是“3.2 勾股定理的逆定理”的探索內(nèi)容，故本課沒有展開討論，而是讓學(xué)生課后思考、嘗試解決．一節(jié)課從問題開始，又以新問題結(jié)束，在問題探索中知識(shí)得以掌握、問題意識(shí)得以強(qiáng)化、理性思維得以發(fā)展，較好地體現(xiàn)了問題鏈的有效驅(qū)動(dòng)作用．

教學(xué)分析在核心問題“哪類三角形兩邊平方和等于第三邊的平方？”引領(lǐng)下，對三角形分類討論.在對直角三角形的思考中，遵循從特殊到一般的思維順序進(jìn)行探索，從借助網(wǎng)格線計(jì)算相關(guān)面積，到計(jì)算學(xué)生畫出的更多直角三角形相關(guān)面積，再到計(jì)算無網(wǎng)格線一般三角形面積，構(gòu)成了一般化思維下的問題推廣鏈．借助于方法類比，從直角三角形思考拓展到銳角三角形和鈍角三角形，形成了類比思維引領(lǐng)下的類比問題鏈(具體教學(xué)流程如圖5)．

圖5

由于本課是本章起始課，統(tǒng)領(lǐng)著本章教與學(xué)，故教學(xué)實(shí)踐中，需要把握好問題探究的深度和廣度．在問題5的探索中，本課僅限于利用“割”或“補(bǔ)”之“化斜歸正”的計(jì)算方法加以簡單證明，勾股定理經(jīng)典的證明方法及其蘊(yùn)含的轉(zhuǎn)化思想在第二課時(shí)進(jìn)行探索；問題7是對核心問題的逆向思考，具體的探索分析后續(xù)進(jìn)行，本課僅作問題啟發(fā)，以體現(xiàn)探索過程完整性和思維嚴(yán)謹(jǐn)性．以上7個(gè)問題是在核心問題的引領(lǐng)下，學(xué)生在主動(dòng)思考的基礎(chǔ)上所提出的系列問題，體現(xiàn)了一般化、特殊化、類比、逆向等不同的思維引領(lǐng)下問題鏈的引領(lǐng)和驅(qū)動(dòng)．問題情境教學(xué)中教師的作用在于因勢利導(dǎo)，讓學(xué)生心中想法順利表達(dá)，引發(fā)更多學(xué)生產(chǎn)生更多理性思考，實(shí)現(xiàn)“預(yù)設(shè)與生成齊飛、情境與問題共舞”的教學(xué)理想境界．

1.3 深度教學(xué)應(yīng)成于理性思維的培養(yǎng)

基于問題情境的深度教學(xué)主要任務(wù)是促進(jìn)學(xué)生思維的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度思考，培養(yǎng)理性思維．從課堂教學(xué)的角度思考，學(xué)生的理性思維培養(yǎng)應(yīng)體現(xiàn)在兩個(gè)階段，一是思維的內(nèi)化階段，這是思考與領(lǐng)悟的過程，是獨(dú)立思考、積極建構(gòu)、自主生成的過程，是思維的內(nèi)隱階段，這時(shí)的思考往往還不成熟、似懂非懂，尚在混沌之間．此階段教學(xué)過程要重視具有“思維含量”的核心問題引領(lǐng)，并通過一般化、特殊化、類比和逆變等思維方式形成問題鏈，引領(lǐng)學(xué)生的深度思考．除此之外，還要重視教學(xué)“留白”技巧的運(yùn)用，避免“講清”“問細(xì)”，要留出適度的時(shí)間和思維空間，讓學(xué)生在問題的引領(lǐng)下獨(dú)立地思考，嘗試解決和回答，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)新問題和新思路．在不斷的思考、嘗試、再思考的過程中完成對自己理解的知識(shí)和方法的初步建構(gòu)．

學(xué)生的理性思維培養(yǎng)的第二階段是思維的外顯過程，這是交流、合作與辨析的過程，“任何理解對象只能在語言中才能展現(xiàn)自我，理解主體只能通過語言才能使理解真正發(fā)生．”[4]學(xué)生通過語言的表達(dá)與交流，當(dāng)內(nèi)化的知識(shí)與具體問題重新建立聯(lián)系時(shí)，當(dāng)學(xué)生用語言力求清晰、合理、高效地闡述自己觀點(diǎn)時(shí)，需要對基于自我理解的知識(shí)重新梳理和建構(gòu)．思維在外化的思辨過程中得以清晰化、可視化，進(jìn)而又會(huì)引起新的思考．教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生主體性作用，采取合理激勵(lì)機(jī)制和“容錯(cuò)”機(jī)制，使合作學(xué)習(xí)真正發(fā)生．鼓勵(lì)學(xué)生有條理地清晰表達(dá)自己觀點(diǎn)、方法，從而實(shí)現(xiàn)在“想清楚”的基礎(chǔ)上“講明白”．當(dāng)學(xué)生思維表述不清或方法運(yùn)用不當(dāng)時(shí)，往往是學(xué)習(xí)思維難點(diǎn)和課堂教學(xué)亮點(diǎn)之所在，教師要在以上關(guān)鍵點(diǎn)處引導(dǎo)學(xué)生傾聽、回顧、梳理、反思，實(shí)現(xiàn)“錯(cuò)著錯(cuò)著就對了，聊著聊著就會(huì)了”的教學(xué)效果．在這個(gè)過程中，教師就是那個(gè)“挑起事端”，讓學(xué)生產(chǎn)生想法、產(chǎn)生認(rèn)知矛盾、產(chǎn)生思維碰撞的人[5]．

當(dāng)教學(xué)設(shè)計(jì)的開放性與課堂生成的精致化相得益彰時(shí)，當(dāng)學(xué)生在理性思辨中完成意義建構(gòu)時(shí)，當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)交流中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)時(shí)，深度教學(xué)才能真正實(shí)現(xiàn)．

2 數(shù)學(xué)深度教學(xué)的基本特征

基于以上分析，深度教學(xué)具有以下特點(diǎn)．

2.1 指向數(shù)學(xué)本質(zhì)的問題引領(lǐng)

學(xué)生的思維發(fā)展需要具有“數(shù)學(xué)味”的問題引領(lǐng)思維活動(dòng)，教學(xué)過程是一種提出問題和解決問題持續(xù)不斷的活動(dòng)．教師善于創(chuàng)設(shè)探究情境，形成認(rèn)知沖突，使學(xué)生在思考中自然產(chǎn)生問題．教師要精心研讀教材，了解學(xué)情，站在學(xué)生的角度進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)學(xué)科知識(shí)的“教育學(xué)轉(zhuǎn)化”和“生本化表達(dá)”，使問題預(yù)設(shè)的科學(xué)性和問題生成的自然性渾然天成．教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行深度思考，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，在不斷的問題探索中收獲經(jīng)驗(yàn)、歸納規(guī)律、感悟數(shù)學(xué)思想，實(shí)現(xiàn)“用數(shù)學(xué)的眼光觀察問題、用數(shù)學(xué)的思維思考問題、用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)問題”．

2.2 批判整合的主動(dòng)建構(gòu)

數(shù)學(xué)情境教學(xué)以情境問題為載體、以活動(dòng)思考為主線展開學(xué)習(xí)，既關(guān)注結(jié)果更關(guān)注過程、既注重預(yù)設(shè)更注重生成、既注重合情推理又注重演繹推理．重視在已有知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)新知識(shí)的生成，重視學(xué)生對內(nèi)化知識(shí)的表述與運(yùn)用．經(jīng)歷觀察猜想、類比歸納、推理論證的過程，使學(xué)生對問題作出自己的思考、判斷、解釋，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的順應(yīng)與同化，完成知識(shí)批判與整合，從而基于自我理解建構(gòu)具有連續(xù)性和生長性的知識(shí)體系．

2.3 理性思辨的深度學(xué)習(xí)

以理性思維發(fā)展為目的的數(shù)學(xué)問題情境學(xué)習(xí)，具有批判理解、信息整合、反思建構(gòu)、遷移運(yùn)用的特點(diǎn)．通過情境問題的變式與拓展，在不斷的問題解決中，通過方法比較、歸納思考、討論交流，化“快想”為“慢思”，使靜思與辨思相結(jié)合、內(nèi)化與外顯共作用，從而讓思考更全面、更清晰、更深刻、更合理．[6]教學(xué)中要注重對問題的追問和反問，使學(xué)生的思維從模糊走向清晰，從無序走向有序，從感性走向理性．教學(xué)中要注重引領(lǐng)學(xué)生對問題解決過程的回顧和反思，對知識(shí)的反思、方法的反思、聯(lián)系的反思、推理的反思、表述的反思，在反思中實(shí)現(xiàn)對知識(shí)的建構(gòu)、方法的融合、思想的領(lǐng)悟，經(jīng)歷“數(shù)學(xué)地思維”的過程，達(dá)成“通過數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)思維”的目的，實(shí)現(xiàn)理性精神的培養(yǎng)．

數(shù)學(xué)深度教學(xué)是安靜的教學(xué)，注重學(xué)生的靜思和內(nèi)化；數(shù)學(xué)深度教學(xué)是火熱的教學(xué)，注重交流與外化，使冰冷的美麗變成火熱的思考；數(shù)學(xué)深度教學(xué)是生成的教學(xué)，在主動(dòng)探索中生成，在合作互動(dòng)中建構(gòu)；數(shù)學(xué)深度教學(xué)是理性的教學(xué)，在思辨中走向理性，在學(xué)習(xí)中學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)．?dāng)?shù)學(xué)深度教學(xué)讓學(xué)習(xí)可見、讓思維發(fā)生、讓文化浸潤[7]，實(shí)現(xiàn)從知識(shí)教學(xué)到思維教學(xué)再到學(xué)科育人的飛躍．