錢建華 (江蘇省南通市通州區(qū)興仁中學 226371)

數(shù)學概念是構建數(shù)學大廈的基石，深度理解和掌握數(shù)學概念是數(shù)學學習的基礎.反思我們的數(shù)學教學，發(fā)現(xiàn)不少數(shù)學教師的教學觀念仍然停留在應試教育層面上，課堂上采取趕進度、填鴨式教學，學生學習囫圇吞棗、機械模仿，對數(shù)學概念一知半解，有的只是停留在操作性理解層面，有的只是停留在關系性理解層面，很少能達到遷移性理解層面.美國認知教育心理學家奧蘇貝爾指出：所謂理解，就是將新信息納入原有認知結構，新舊知識發(fā)生意義同化的過程.他還指出這種意義同化是一種非任意的、實質性的聯(lián)系.即這種聯(lián)系不是主觀的、牽強附會的，而是合情合理的.《義務教育數(shù)學課程課標(2011版)》中指出：發(fā)展學生的合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點[1].因此，在數(shù)學概念的教學中，要使學生真正深度理解數(shù)學概念,最直接的方法莫過于將合情推理引入數(shù)學概念的理解之中，充分運用合情推理來促進數(shù)學概念的深度理解.那么，在初中數(shù)學概念教學中如何發(fā)展學生的合情推理能力，促進學生的深度學習呢？

1 在類比數(shù)學概念生成方法中發(fā)展合情推理能力，促進數(shù)學概念的深度理解

習慣上，按照不同的來源，數(shù)學概念可以分為兩種：一種是對現(xiàn)實對象或關系直接抽象而成的概念；另一種是純數(shù)學抽象物，反映的是數(shù)學邏輯構造，無客觀實在與之對應，是抽象邏輯思維的產物.根據(jù)兩種數(shù)學概念的不同特征，我們需要設計恰當?shù)膯栴}情境，采用相適應的教學方法，學生在經歷概念發(fā)生、發(fā)展的過程中，認識、理解和掌握數(shù)學概念.其中，當數(shù)學概念是基于數(shù)學邏輯建構形成的純數(shù)學抽象物時，我們通常采用合情推理進行教學，即從設計熟悉的問題情境引入，運用已學的知識解決問題，從問題的結果中抽象出它們的共性特征，再類比、歸納出一般特征，從而形成數(shù)學概念.

案例1二元一次方程的概念教學片段

(師生在復習了一元一次方程的有關概念后，進行如下教學設計)

師：長方形花圃周長是24 m，設花圃的長為xm，寬為ym.你用什么樣的數(shù)學式子來描述它們之間的關系？

生1：2x+2y=24.

師：同學們列出的方程還是我們以前學過的一元一次方程嗎？

生1：不是.

師：仔細觀察，能根據(jù)方程的特點給這樣的方程取個名字嗎？

生1：因為它含有兩個未知數(shù)，所以是“二元”，每個未知數(shù)都是“一次”，所以應該叫做二元一次方程.

師：你怎么想到的？

生1：類比一元一次方程的定義得到的.

師：很好！今天，我們將在一元一次方程的基礎上學習新的一章《二元一次方程組》.(教師板書)

師：什么是二元一次方程？

生2：有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程叫做二元一次方程.

生3：不應該說是未知數(shù)的次數(shù)，應該說含未知數(shù)的項的次數(shù)，比如xy=24這個方程，每個未知數(shù)的次數(shù)都是1，但xy的次數(shù)是2，這個方程是二元二次方程.

師：這位同學思考得很深刻，例子也非常好，對于單項式的相關知識掌握得非常扎實．那么，我們把定義完善一下：方程中含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.

(教師板書在黑板的左側，與學生板書的一元一次方程對應)

師：同學們類比一元一次方程的定義，得到了二元一次方程的定義.想一想,一元一次方程說的是未知數(shù)的次數(shù)為1，而二元一次方程說的是未知項的次數(shù)為1，這究竟是為什么呢？

生4：其實是一致的，一元一次方程只含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)就是含未知數(shù)的項的次數(shù).

師：你理解得太深刻了！

以上通過類比一元一次方程的定義建構二元一次方程的定義，讓學生真正體會到“一元一次方程”和“二元一次方程”的定義的一致性，經歷“二元一次方程”的概念的形成過程，促進了學生的深度學習.

2 在實驗觀察事物本質特征中發(fā)展合情推理能力，促進數(shù)學概念的深度理解

觀察是人們對周圍世界客觀事物和現(xiàn)象在其自然條件下，按照客觀事物本身存在的實際情況，研究和確定它們的性質和關系，從而獲取經驗材料的一種方法.實驗則是人們根據(jù)一定的研究目的，利用工具(儀器)對周圍世界的客觀事物與現(xiàn)象，進行人為的控制、模擬，排除干擾，突出主要因素，在最有利的條件下考察和研究它們的性質和關系，從而獲取經驗材料的一種方法.

案例2“直線與圓的位置關系”中的概念教學片段

(情境導入)

師：同學們在海邊看過日出嗎？下面請同學們欣賞一段視頻.(教師播放視頻)

如果我們把太陽看作一個圓，把地平線看作一條直線，太陽升起的過程中，太陽和地平線會有幾種位置關系？由此能聯(lián)想出直線和圓的位置.

生：有三種……

師：(黑板上演示)畫一條直線l，把一個鐵絲圓環(huán)看作一個圓.在黑板上移動鐵絲圓環(huán)，你能發(fā)現(xiàn)在移動鐵絲圓環(huán)的過程中，它與直線l的公共點的個數(shù)的變化情況嗎？

師：通過剛才的觀察與實驗，你認為直線和圓的位置關系可分為幾種類型？分類的標準各是什么？

生：直線和圓有如下三種位置關系：第一種，直線和圓有兩個公共點；第二種，直線和圓只有一個公共點；第三種，直線和圓沒有公共點.

師：講得很好！為了學習研究的方便，我們希望給直線和圓的三種位置關系分別取一個名字，對于第一種，怎樣取名呢?

生:第一種情況,直線和圓有兩個公共點，這時我們說這條直線和圓相交.

師：(補充)這條直線叫做圓的割線.那么，對于其他兩種情況呢？

師生：(共同討論交流得到)第二種情況,直線和圓只有一個公共點，這時我們說這條直線和圓相切，這條直線叫做圓的切線，這個點叫做切點.第三種情況,直線和圓沒有公共點，這時我們說這條直線和圓相離.

以上在直線與圓的位置關系的概念建構中，依賴于對直線l與鐵絲圓環(huán)位置關系的觀察，并通過實驗，得到直線與圓的位置關系的三種本質特征，進而形成直線與圓相交、相切、相離的概念.

3 在教學數(shù)學概念補充規(guī)定中發(fā)展合情推理能力，促進數(shù)學概念的深度理解

數(shù)學中的“規(guī)定”，是指數(shù)學中那些約定俗成的、不便于向學生解釋“為什么”的那部分知識.如數(shù)學中的基本概念、定義、數(shù)學符號、書寫格式等.中小學數(shù)學課本中的規(guī)定比比皆是,對于為何要單獨作這些規(guī)定,教師不僅要做到心知肚明，而且還要幫助學生深度理解和掌握，要讓學生感受規(guī)定的合理性，并學會數(shù)學思維，培養(yǎng)理性精神，不要讓學生在突兀的規(guī)定下產生學習數(shù)學的不良情感．教師要通過藝術處理，讓學生盡可能多地感知數(shù)學規(guī)定背后的故事、隱含的智慧，使學生更加理解數(shù)學、親近數(shù)學和數(shù)學老師.

案例3單項式的補充規(guī)定的教學片斷

師：課前，同學通過預學，知道了“單獨一個字母或一個數(shù)也叫做單項式”.這是一種規(guī)定.你知道為什么要做這樣的規(guī)定嗎？

生1：……(支支吾吾，說不清)

師：(啟發(fā))1×a是不是單項式？為什么？

生2：是.因為表示數(shù)或字母的積的式子叫作單項式．1×a是表示數(shù)或字母的積的式子，所以1×a是單項式.

師：現(xiàn)在再來看a，它是不是單項式呢？

生3：根據(jù)單項式的定義，它不是單項式，因為a不是表示數(shù)或字母的積的式子.

師：大家想想看，生3說得到底對不對？

(學生熱烈地討論)

師：現(xiàn)在大家想到了嗎，生3說得到底對不對？

生4：生3說得既對又不對．從形式上看，a不是表示數(shù)或字母的積的式子，所以a不是單項式.但是，由于1×a=a，a可以看成1×a的簡寫，1×a是單項式，那么a也就是單項式．

師：這么說來，兩種答案都有道理.那么，不就產生矛盾了嗎？

生5：為了消除這一矛盾，我們就必須對單項式做一個補充規(guī)定，規(guī)定單獨的一個字母或單獨的一個數(shù)也是單項式．

師：生5的想法非常合情合理，有了這個補充定義以后，在識別單項式時就不會產生歧義了. 這里，對于單項式的特征，引導學生從無意識的觀察變?yōu)橛幸庾R的探討，在此基礎上引導學生發(fā)現(xiàn)單項式的定義就變得水到渠成．

在概念學習中通過合情推理，學生親身經歷數(shù)學概念的產生、發(fā)現(xiàn)、形成甚至命名過程，學習者充分感受數(shù)學概念形成得合情合理，從而促進對數(shù)學概念的深度理解．

4 結語

教育家陶行知說:“教育不能創(chuàng)造什么，但他能啟發(fā)解放兒童創(chuàng)造力以從事于創(chuàng)造之工作.”[2]數(shù)學課堂教學合情推理，就是創(chuàng)設這樣一種培養(yǎng)學生創(chuàng)造力的數(shù)學課堂學習環(huán)境．波利亞的“怎樣解題表”為我們進行合情推理提供了一個非常好的樣本，他在《數(shù)學與猜想》一書中說：“只要數(shù)學的學習過程稍能反映出數(shù)學的發(fā)明過程的話，那么就應當讓猜測、合情推理占有適當?shù)奈恢茫盵3]在日常的數(shù)學學習中，學生掌握合情推理的思想和方法能夠使學生原有數(shù)學認知結構得到充分的整合和優(yōu)化，數(shù)學思維能力得到提升，并把學習者引入到一個更廣闊的領域，去體驗數(shù)學探究與發(fā)展的樂趣，對于學生學習數(shù)學概念大有裨益.合情推理不僅可以應用于數(shù)學概念的學習中，而且還可以更多地應用到數(shù)學定理(公式、法則)，數(shù)學解題的學習中．數(shù)學教師要充分、合理地利用合情推理，鼓勵學生大膽猜想、合理推測,培養(yǎng)其歸納、類比能力，使合情推理成為學生自覺學習數(shù)學的方式，成為激勵學生探索、發(fā)現(xiàn)數(shù)學新知的金鑰匙．