方志偉

（佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東 佛山 528000）

高斯公式是高等數(shù)學(xué)中一個非常重要的公式，是格林公式一種高一維度的推廣，刻畫了三重積分和曲面積分之間的聯(lián)系。課堂教學(xué)上主要側(cè)重于高斯公式的介紹和定理證明，受公式復(fù)雜程度的影響，學(xué)生往往對公式的理解不夠透徹，在習(xí)題計算中經(jīng)常不能正確恰當(dāng)使用高斯公式使得計算簡便。本文結(jié)合自己的教學(xué)實踐，探索高斯公式在高等數(shù)學(xué)課堂上的教學(xué)，從“用與教”“逆向思維”“補(bǔ)”的角度來加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，改變?yōu)閷W(xué)而學(xué)的不良學(xué)習(xí)方式，達(dá)到輕松深刻的教學(xué)效果，為相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)改革提供一些有益的參考。其次，為進(jìn)一步理解高斯公式的意義，我們考慮當(dāng)空間閉區(qū)域為球或者球的一部分時，利用球面坐標(biāo)求解相應(yīng)的三重積分和球面上的曲面積分，使得計算簡便。此時，高斯公式左右兩端均可用球面坐標(biāo)表示，所建立的等式關(guān)系刻畫了高斯公式在維度上的轉(zhuǎn)化。

1 高斯公式的簡述

高斯公式表達(dá)了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的聯(lián)系，表述如下：

高斯公式主要用于簡化求解第二類曲面積分，尤其是封閉曲面上的曲面積分。這里要求曲面取外側(cè)，若曲面取內(nèi)側(cè)，則公式加負(fù)號。本文依據(jù)同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編著的《高等數(shù)學(xué)（第七版）》中的內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)高斯公式的教學(xué)往往從數(shù)學(xué)角度出發(fā)，以解決曲面積分計算問題入手，給出公式后再利用重積分理論進(jìn)行分析證明，然后舉例運(yùn)用高斯公式進(jìn)行計算，最后引入物理上的通量、散度概念強(qiáng)調(diào)高斯公式的作用。然而這種教學(xué)過程有一定的不足，學(xué)生會覺得公式復(fù)雜難以記憶理解，引起諸多積分概念的混淆，導(dǎo)致學(xué)生對多元函數(shù)微積分乃至高等數(shù)學(xué)的畏難情緒，影響教學(xué)效果。因此，在高斯公式的教學(xué)過程中，應(yīng)采用更有吸引力的教學(xué)方法，讓學(xué)生樂于學(xué)，主動學(xué)。

2 高斯公式的用與教

何時應(yīng)用高斯公式是一個比較重要的問題，學(xué)生往往不能準(zhǔn)確判斷是否合適應(yīng)用公式，其原因在于對高斯公式應(yīng)用的條件理解不夠準(zhǔn)確透徹。我們根據(jù)定理1的描述，先從下面幾個角度分析高斯公式的條件：

（3）等式右端第一類曲面積分和第二類曲面積分的區(qū)分。這里需要注意的是第一類曲面積分的積分區(qū)域不是有向曲面，而第二類曲面積分的積分區(qū)域是有向曲面。若曲面為空間閉區(qū)域的內(nèi)側(cè)時，等式中的第二類曲面積分前應(yīng)加負(fù)號。這部分內(nèi)容簡單卻容易被忽略，根據(jù)學(xué)生的練習(xí)反饋發(fā)現(xiàn)大部分都會在符號上出錯，是應(yīng)該著重強(qiáng)調(diào)和提醒的信息。

在教學(xué)過程中，應(yīng)加強(qiáng)研究性教學(xué)的使用，教會學(xué)生思考。針對高斯公式分別從縱向、橫向和點(diǎn)的角度去探索和理解，把科學(xué)研究引入到教學(xué)中作為基本點(diǎn)，構(gòu)建一種開放的學(xué)習(xí)環(huán)境，以牛頓—萊布尼茨公式、格林公式、高斯公式為縱向，以,,三部分為橫向，以兩類曲面積分為點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生分析、解決問題，以達(dá)到培養(yǎng)和提高學(xué)生的研究和創(chuàng)新能力。

3 高斯公式的逆向思維

高斯公式作為一個刻畫三重積分與曲面積分之間關(guān)系的等式，本身的應(yīng)用自然就是雙向的。我們可以講曲面積分化為三重積分，也可以將三重積分化為曲面積分來實現(xiàn)簡化計算：

（1）曲面積分化為三重積分：當(dāng)我們遇到一個可構(gòu)造的閉合曲面上的曲面積分時，只要被積函數(shù),,具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，我們就可以將之化為三重積分。這里也有一些可利用的條件，比如：被積函數(shù),,求導(dǎo)后和的形式比較簡單，轉(zhuǎn)化為三重積分后的空間閉區(qū)域比較規(guī)則。這也是高斯公式應(yīng)用的大多數(shù)情形，根據(jù)問題的復(fù)雜性，優(yōu)先嘗試?yán)酶咚构竭M(jìn)行轉(zhuǎn)化。這里需要注意的是被積函數(shù)對哪個自變量求偏導(dǎo)的問題，還要保證被積函數(shù)具有一階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，這是兩個在學(xué)生練習(xí)反饋中出問題較多的點(diǎn)。

（2）三重積分化為曲面積分：這類應(yīng)用比較多存在于需要降維的問題，如被積函數(shù)對應(yīng)的,,形式更為簡單，或空間閉區(qū)域所對應(yīng)的閉合曲面有特殊的方程與相關(guān)聯(lián)時，可以降維簡化三重積分的計算。這類的問題較少，但遇見難以用一般方法求解的三重積分時，可考慮利用高斯公式降維的方式。

在教學(xué)過程中，應(yīng)避免固定思維，強(qiáng)調(diào)逆向思維的嘗試。針對高斯公式分別舉例展示計算的簡化過程，從而突破固定思維，以達(dá)到培養(yǎng)和提高學(xué)生的研究和創(chuàng)新能力。

4 高斯公式的補(bǔ)

我們已知高斯公式的右端曲面積分必須是在封閉曲面上。當(dāng)所求的曲面積分不是在封閉曲面上時，需要補(bǔ)充一個或幾個曲面使之與原有曲面形成一個封閉區(qū)域，這樣就可以利用高斯公式。“補(bǔ)”的思維在高等數(shù)學(xué)乃至整個數(shù)學(xué)學(xué)科中都會被經(jīng)常使用，學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)注意到補(bǔ)充的內(nèi)容形式和方式。在利用高斯公式時，我們一般需要注意以下兩點(diǎn)：

（1）補(bǔ)充的面一般是平面或者規(guī)則曲面，這樣在計算補(bǔ)充面上的曲面積分較為容易。原則上，我們補(bǔ)充內(nèi)容是為了簡化計算，那么就讓構(gòu)造的內(nèi)容也便于計算。另一方面，也需要使得經(jīng)高斯公式應(yīng)用得到的三重積分便于計算，尤其是當(dāng)被積函數(shù)值為0時，原曲面上的積分等于構(gòu)造曲面上積分的正值或負(fù)值（考慮曲面的方向）。

在教學(xué)過程中，應(yīng)加強(qiáng)補(bǔ)充思維的鍛煉。要理解為什么補(bǔ)充，如何補(bǔ)充，補(bǔ)充后如何進(jìn)行最終的求解。這也是創(chuàng)新性思維的基本建設(shè)，不同的補(bǔ)充內(nèi)容會達(dá)到不同的效果，有利于學(xué)生對研究和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。

5 球面坐標(biāo)下的高斯公式

為了進(jìn)一步加深對高斯公式的理解，我們考慮空間閉區(qū)域為球體時，以球面坐標(biāo)表述高斯公式的形式。主要內(nèi)容就是用球面坐標(biāo)表示三重積分和曲面積分，然后建立起等式關(guān)系，通過對等式關(guān)系的理解來分析和解釋高斯公式。

5.1 球面坐標(biāo)下的三重積分

5.2 球面坐標(biāo)下的閉合曲面積分

5.3 球面坐標(biāo)下的高斯公式

通過對球面坐標(biāo)下三重積分和閉合曲面積分的分析，我們可以得到下述定理：

根據(jù)定理2的結(jié)論，我們發(fā)現(xiàn)在球面坐標(biāo)下，高斯公式的本質(zhì)就是將一個三重積分化為二重積分，實現(xiàn)維度轉(zhuǎn)化的效果，從這個角度可以進(jìn)一步理解高斯公式的意義。當(dāng)然，并不是空間閉區(qū)域為球體的三重積分一定要按照公式描述的轉(zhuǎn)化方式進(jìn)行計算，定理2的提出不是出于簡化計算的目的。如果不是從高斯公式的角度推導(dǎo)，我們將三重積分中半徑變量進(jìn)行積分，也可以得到上述等式右端的積分形式，但推導(dǎo)過程相當(dāng)復(fù)雜，這部分內(nèi)容留給讀者進(jìn)行嘗試。

6 總結(jié)

從教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，高斯公式是一個難度較高的知識點(diǎn)，大部分學(xué)生掌握程度不深，容易誤用。本文從兩個方面對高斯公式的教學(xué)進(jìn)行思考，提出“用與教”“逆向思維”“補(bǔ)”的角度來加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，并利用球面坐標(biāo)刻畫高斯公式的特殊形式，加深對高斯公式的理解。高等數(shù)學(xué)是本科教學(xué)中的重要的公共基礎(chǔ)課程，其教學(xué)效果嚴(yán)重影響人才培養(yǎng)質(zhì)量。因此高等數(shù)學(xué)授課教師在教學(xué)過程中，應(yīng)切實轉(zhuǎn)變觀念，從培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力入手，啟發(fā)學(xué)生逐步開放思維，相信對學(xué)生提高關(guān)于高斯公式乃至高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果大有裨益。