凌雪岷

（安徽新華學(xué)院 通識教育部，安徽 合肥 230088）

單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)是常見的實(shí)際系統(tǒng)，已經(jīng)廣泛應(yīng)用到很多實(shí)際工程中[1,2].反步方法是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成若干子系統(tǒng)通過設(shè)計(jì)中間虛擬控制量方法，依次對每個子系統(tǒng)進(jìn)行控制，直到最后用控制器控制整個系統(tǒng)[3,4].它是一種比較有效的控制方法，但是也有不足的地方.隨著反步的向后進(jìn)行，需要對中間虛擬控制量不斷求導(dǎo)，這樣就會產(chǎn)生項(xiàng)數(shù)爆炸的情況.而采用復(fù)合濾波方法就可以解決項(xiàng)數(shù)爆炸的問題[5,6].對于實(shí)際系統(tǒng)來說，輸入飽和是客觀存在的，解決的方法之一就是采用設(shè)計(jì)輔助系統(tǒng)處理輸入飽和問題[7,8].為此，本文針對帶有飽和輸入的單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)，采用反步方法，設(shè)計(jì)中間虛擬控制器，同時應(yīng)用濾波系統(tǒng)處理反步過程項(xiàng)數(shù)爆炸問題，設(shè)計(jì)輔助系統(tǒng)解決輸入飽和問題，設(shè)計(jì)的控制器能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)信號對理想信號的有效跟蹤，數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提方法是有效的.

1 問題提出

考慮單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)：

考慮實(shí)際傳感器飽和的物理性能，定義輸入飽和函數(shù)

其中，τ0是控制輸入，τmax和τmin是常數(shù).記=τ-τ0，表示τ和τ0的誤差.

為了研究問題的方便，記x1=q,x2=,x3=I.于是系統(tǒng)（1）可寫成如下形式

本文旨在設(shè)計(jì)合適的控制器實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)信號對理想信號有效跟蹤.

2 控制器設(shè)計(jì)

首先設(shè)計(jì)復(fù)合濾波如下：

其中常數(shù)ε∈(0,1]，μ＞0.αi,?i是設(shè)計(jì)變量.設(shè)計(jì)復(fù)合濾波的目的是避免由于對中間虛擬變量依次求導(dǎo)而出現(xiàn)的項(xiàng)數(shù)爆炸情況發(fā)生.定義系統(tǒng)誤差為即

其中pi,qi是設(shè)計(jì)變量.

為了實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)輸出信號對理想信號有效跟蹤，采用反步控制方法.詳細(xì)反步控制設(shè)計(jì)如下：

步驟1構(gòu)造輔助系統(tǒng)

注（7）式的第一部分用于處理系統(tǒng)的輸入飽和，（7）式的第二部分和（4）式用于解決反步方法的項(xiàng)數(shù)爆炸問題.

對（5）式求導(dǎo)，利用等式（6）和系統(tǒng)（7）得

設(shè)計(jì)輔助變量

則（8）式可化簡為

（10）式兩邊同乘以-z1，得到如下等式：

步驟2與步驟1 類似，構(gòu)造輔助系統(tǒng)

其中，（12）式的第一部分用于處理系統(tǒng)的輸入飽和，（12）式的第二部分和（4）式用于解決反步方法的項(xiàng)數(shù)爆炸問題.

對（6）式求導(dǎo)，同時利用系統(tǒng)（12）得

設(shè)計(jì)輔助變量

得到如下等式

（14）式兩邊同乘以于是有

步驟3同理，構(gòu)造輔助系統(tǒng)

其中，（16）式的第一部分用于處理系統(tǒng)的輸入飽和，（16）式的第二部分和（4）式用于解決反步方法的項(xiàng)數(shù)爆炸問題.

對（6）式求導(dǎo)，同時利用系統(tǒng)（16）得

構(gòu)造控制器如下

得到系統(tǒng)

（18）式兩邊同乘以-z2，得到：

得到定理：

定理對于單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)（1），借助于虛擬控制器（9）和（13）、濾波系統(tǒng)（4）、輔助系統(tǒng)（7）和（12），設(shè)計(jì)的控制器（18）能夠?qū)崿F(xiàn)系統(tǒng)信號對參考信號的有效跟蹤，同時閉環(huán)系統(tǒng)信號有界.

證明構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)

（21）式兩邊求導(dǎo)得

3 數(shù)值仿真

設(shè)單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)（1）的系統(tǒng)參數(shù)為M=1，B=1，N=1，L=1，R=1 和Kb=2.參考信號設(shè)為y0=sint.利用借助于虛擬控制器（1）（3）、濾波系統(tǒng)（4）、輔助系統(tǒng)（7）（12）和設(shè)計(jì)的控制器（18），同時利用Matlab 軟件進(jìn)行數(shù)值仿真.

從圖2 和圖3 可以看出系統(tǒng)輸出信號x1能快速跟蹤理想信號y0，圖1 和圖4 說明閉環(huán)系統(tǒng)各個信號是有界的.

圖1 單臂機(jī)械臂信號隨時間變化

圖2 理想信號和單臂機(jī)械臂跟蹤信號隨時間變化

圖3 跟蹤誤差隨時間變化

圖4 飽和控制器隨時間變化

4 小結(jié)

本文針對帶有飽和輸入的單連桿機(jī)械臂系統(tǒng)，提出了一種自適應(yīng)控制方法.采用反步方法進(jìn)行機(jī)械臂系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)，利用設(shè)計(jì)的輔助系統(tǒng)處理系統(tǒng)輸入飽和問題，借助復(fù)合濾波系統(tǒng)解決了在反步推演過程中由于反復(fù)對虛擬變量求導(dǎo)出現(xiàn)的項(xiàng)數(shù)爆炸問題.最后通過數(shù)值仿真驗(yàn)證所提方法是有效的.