趙美利，唐 靜

（滁州城市職業(yè)學(xué)院，安徽 滁州 239000）

三角形數(shù)和正方形數(shù)是數(shù)學(xué)中一類有趣的問題,我們熟悉的古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥斯拉就提到過三角形數(shù)和正方形數(shù)[1]，把數(shù)看作點(diǎn)集或點(diǎn)狀物體，把數(shù)字和圖形聯(lián)系在一起，將正整數(shù)和正方形、正五邊形、三角形等聯(lián)系起來，將數(shù)字劃分為正方形數(shù)、五邊形數(shù)、三角形數(shù)等，會使數(shù)字更加形象生動，研究其規(guī)律也更方便.之后，很多人對此問題進(jìn)行了討論和研究，得出了一些特殊的三角形數(shù)和正方形數(shù)，所有大于3的三角形數(shù)都是合數(shù)，所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和是2，任何一個完全平方數(shù)都可以表示成相鄰的兩個三角形數(shù)之和[2].鄭玉美利用余弦定理從120°三角形數(shù)方面得出了兩個性質(zhì)[3].張愛靜從三角形數(shù)和數(shù)三角形角度討論了三角形的一些規(guī)律，得出了數(shù)與規(guī)則圖形的一些結(jié)論[4].黃祎利用初等方法和解析方法，首次提出了三角形數(shù)和數(shù)列的關(guān)系，研究Smarandache 三角形數(shù)的下部及上部數(shù)列的幾何平均值的極限問題[5].智婕在佩爾方程x2-py2=1 的求解技巧一文中把佩爾方程和三角形數(shù)建立了聯(lián)系，利用佩爾方程的解的規(guī)律得到了滿足一定條件的特殊的三角形數(shù)[6].余熙國得出關(guān)于三角形數(shù)和正方形數(shù)的一個結(jié)論，一個正整數(shù)既是三角形數(shù)也是正方形數(shù)有無限多個，可以用通式表示，給出了三角形數(shù)和正方形數(shù)的關(guān)系，但是沒有給出兩者相互轉(zhuǎn)化的結(jié)論[7].近年來很多中學(xué)都注重培養(yǎng)學(xué)生思維能力和創(chuàng)新能力，在數(shù)學(xué)學(xué)科競賽題中經(jīng)常出現(xiàn)三角形數(shù)的考題，吳家華將一個數(shù)列的各項(xiàng)重新排列，構(gòu)造三角形數(shù)陣，妙解一類數(shù)列問題，提出了三角形數(shù)的應(yīng)用問題，開辟了新的領(lǐng)域[8].

綜上所述，對于這個有趣數(shù)學(xué)的問題，人們已對其進(jìn)行了諸多的探討并形成了一定的結(jié)論，但是對于三角形數(shù)和正方形數(shù)的轉(zhuǎn)化問題目前尚沒有涉及到.為了更進(jìn)一步探討兩者的本質(zhì)聯(lián)系，本文對滿足一定條件的三角形數(shù)如何轉(zhuǎn)化成正方形數(shù)進(jìn)行研究.

1 預(yù)備知識

三角形數(shù)：將物品以三角形形式等距離排列，可以形成等邊三角形，這樣得到的物品的數(shù)，比如1，3，6，10，15，21，…，這樣的數(shù)稱為三角形數(shù).

正方形數(shù)：正方形數(shù)也稱平方數(shù)，將一定數(shù)量的點(diǎn)或圓等距離排列成正方形，這樣得到一組數(shù)，比如1，4，9，16，…，這樣的數(shù)稱為正方形數(shù).

數(shù)列：按一定順序排列的一列數(shù)叫數(shù)列；用{an}表示，其中n是項(xiàng)數(shù)，an=f(n)是通項(xiàng)公式.

求和公式：若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求和公式，其中a1為首項(xiàng)，d是公差.

佩爾方程：形如x2-dy2=1(x,y∈Z+;d不是平方數(shù))方程稱為佩爾方程，其滿足方程的正整數(shù)解是初等數(shù)論經(jīng)典問題之一.

2 相關(guān)結(jié)論

自從三角形數(shù)作為一類特殊的數(shù)，有一定的規(guī)律之后，人們開始一系列探討和研究，比如三角形數(shù)的第n個數(shù)是，所有的三角形數(shù)的倒數(shù)之和等于2，任何兩個相鄰的三角形數(shù)之和都是一個正方形數(shù)，等等.三角形數(shù)是否化為正方形數(shù)，是一古老有趣的數(shù)學(xué)問題，也是初等數(shù)論的經(jīng)典問題之一，在不少書刊和中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽中出現(xiàn).筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，若三角形數(shù)可化為正方形數(shù)，只要滿足一定條件即可，從而對解決這一古老有趣的數(shù)學(xué)問題提出了一個參考性的路徑，下面我們進(jìn)行一些分析、討論.

引理1設(shè)an為三角形數(shù)的第n行的正整數(shù)，構(gòu)成新的數(shù)列為{an}，若an+2=6an+1-an+2a1=1，a2=8，則

證明因?yàn)閧an}有遞推公式an+2=6an+1-an+2，

雖然選派業(yè)務(wù)工作人員下基層到各縣級圖書館進(jìn)行專業(yè)指導(dǎo)、培訓(xùn)產(chǎn)生了一定成效，但由于人力、物力、以及時間有限，難以做到面面俱到。筆者認(rèn)為，應(yīng)該以點(diǎn)帶面，可參照現(xiàn)行許多如美麗鄉(xiāng)村建設(shè)、紅旗示范崗、精神文明單位等示范點(diǎn)的做法，在全面開展文化扶貧工作的同時，先重點(diǎn)選擇一兩個有代表性的基層圖書館作為示范點(diǎn)單位，加大力度為其提供人力和技術(shù)支持，使其作為示范性圖書館，發(fā)揮引領(lǐng)性作用。

設(shè)bn+2-αbn+1=β(bn+1-αbn)，則bn+2=(α+β)bn+1-αβbn.

由（1）式知α+β=6，αβ=1，求解方程組得到的解為

綜上所述引理1 得證.

我們經(jīng)過數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)一步推導(dǎo)后就會發(fā)現(xiàn)，對引理1 的數(shù)列各項(xiàng)進(jìn)行求和，會有更一般的結(jié)論，下面給出這個結(jié)論，并給出證明.

綜上所述引理2 成立.

由以上兩個引理我們得到三角形數(shù)轉(zhuǎn)化成正方形數(shù)的充要條件，下面我們給出結(jié)論，并利用佩爾方程簡單證明這個結(jié)論是正確的，從而解決了三角形數(shù)和正方形數(shù)互相轉(zhuǎn)化的這一初等數(shù)論的經(jīng)典問題.

定理如三角形數(shù)可化為正方形數(shù)，三角形數(shù)第n行的正整數(shù)為an，則

證明∵三角形數(shù)可化為正方形數(shù)，第n行的正整數(shù)為an，由引理2 知

∴存在相對應(yīng)的正整數(shù)mn，使得

由佩爾方程的概念易知（4）式符合佩爾方程形式.

由佩爾方程的通解知（4）式的通解為

知an+2=6an+1-an+2，a1=1，a2=8.

定理得證.

由引理1 和引理2 知定理結(jié)論是正確的.

此定理給出了三角形數(shù)和正方形數(shù)轉(zhuǎn)化的充要條件，徹底解決了兩者之間的聯(lián)系問題，以前只是片面的討論三角形數(shù)和正方形數(shù)的規(guī)律問題，形成了一定的結(jié)果.所以研究此問題很有必要，有一定的理論指導(dǎo)意義.此定理是對原來三角形數(shù)判定定理的延拓，更具有一般性和使用的廣泛性.為進(jìn)一步證明其結(jié)果的準(zhǔn)確性，利用java 中大整數(shù)的特點(diǎn)設(shè)計相應(yīng)的算法并驗(yàn)證其結(jié)論的正確性.

3 算法實(shí)現(xiàn)

程序設(shè)計語言基本數(shù)據(jù)類型中l(wèi)ong 類型所能表示的整數(shù)范圍是最大的，但還是有限的.當(dāng)數(shù)據(jù)值超出范圍會有異常出現(xiàn)，而Java 中專門提供了用來進(jìn)行不限制大小的整數(shù)計算的類——java.math.BigInteger.支持任意精度的整數(shù)，可以準(zhǔn)確地表示任何大小的整數(shù)值，而不會丟失任何信息[9].在該類中封裝了大整數(shù)相加add()；相減subtract()；相乘multiply()；相除取整divide()；取余remainder()；求冪pow()；a.pow(b)=a^b；最大公約數(shù)gcd()；絕對值abs()；是否相等boolean equals()；通過使用這些大整數(shù)運(yùn)算，可以求解許多高精度運(yùn)算問題.在本算法中需要驗(yàn)證通過公式所得數(shù)列中的每個數(shù)是否是完全平方數(shù)（正方形數(shù)）和對完全平方數(shù)取得其平方根，在java.math.BigInteger 類沒有這兩種方法，需要自己設(shè)計.以下兩種算法就是完全平方數(shù)和取得其放平方根的設(shè)計.

（1）//public static BigInteger myBigNumSqrt(BigInteger xx){}方法是對大整數(shù)求平方根

（2）//public static BigInteger is_square(BigInteger F7){}方法是判斷大整數(shù)是否是完全平方數(shù)

該算法利用數(shù)組長度為102 最終實(shí)現(xiàn)的結(jié)果如下求數(shù)列αn的值：

求數(shù)列b的值即的值：三角形數(shù)

求數(shù)列完全平方數(shù)：

求數(shù)列b每個數(shù)開方之后的值：

在Eclipse 開發(fā)環(huán)境下該程序運(yùn)行的結(jié)果界面如下

圖1 程序運(yùn)行的結(jié)果界面

4 結(jié)語

本文討論了三角形數(shù)和正方形數(shù)的轉(zhuǎn)化的充要條件，在此基礎(chǔ)上用Java 語言中大整數(shù)的特點(diǎn)和大數(shù)據(jù)分析方法對三角形數(shù)和正方形數(shù)以及正多邊形數(shù)進(jìn)行分析和編寫語言程序，但對于這種算法的實(shí)現(xiàn)也是永無止境的課題.當(dāng)然，三角形數(shù)和正方形數(shù)的判定條件還可以進(jìn)一步優(yōu)化，還需要我們進(jìn)一步去研究和發(fā)現(xiàn).

此外，三角形數(shù)和正方形數(shù)的判定問題是初等數(shù)論討論的經(jīng)典問題之一，對于它們的求解問題一直是近年來競賽題的重要選題，對其進(jìn)行探討，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力也有一定積極意義.