韋 葉,顏廷蘇

(1.浙江信息工程學(xué)校，浙江 湖州 313000；2.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

在經(jīng)典測(cè)度論[1]中，若測(cè)度μ，ν滿足μ(E)=0?ν(E)=0，則稱(chēng)ν關(guān)于μ是絕對(duì)連續(xù)的，記作ν?μ.絕對(duì)連續(xù)性是經(jīng)典測(cè)度論中一個(gè)非常重要的概念.如著名的Radon-Nikodym定理：若測(cè)度ν關(guān)于σ-有限的測(cè)度μ是絕對(duì)連續(xù)的，則存在非負(fù)可測(cè)函數(shù)f,使得

由于單調(diào)測(cè)度一般不具有可加性[2]，因此經(jīng)典測(cè)度的絕對(duì)連續(xù)性在單調(diào)測(cè)度論中有著不同的表現(xiàn)形式.例如，文獻(xiàn)[3]引入絕對(duì)連續(xù)的9種表現(xiàn)形式，詳細(xì)討論了它們之間的關(guān)系；Li等引入單調(diào)測(cè)度的3種新的絕對(duì)連續(xù)性，即[E]-型、[L]-型和[R]-型絕對(duì)連續(xù)性，并建立了基于單調(diào)測(cè)度的廣義Ggoroff定理、廣義Lebesgue定理和廣義Riesz定理，推廣了在這些問(wèn)題上的已有結(jié)果[4-7].

本文主要討論單調(diào)測(cè)度的[E]-型、[L]-型和[R]-型3種絕對(duì)連續(xù)性與單調(diào)測(cè)度的條件[E](單調(diào)測(cè)度空間Egoroff定理成立的充分必要條件)、強(qiáng)序連續(xù)(單調(diào)測(cè)度空間Lebesgue定理成立的充分必要條件)，以及性質(zhì)(S)(單調(diào)測(cè)度空間Riesz收斂定理成立的充分必要條件)之間的關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)

用X表示非空集合，A為X子集構(gòu)成的σ-代數(shù)，(X,A)為可測(cè)空間.如果對(duì)任意的實(shí)數(shù)α,{x|f(x)≥α}∈A,則稱(chēng)函數(shù)f:X(-∞,+∞)是A-可測(cè)的(簡(jiǎn)稱(chēng)可測(cè)的)，全體可測(cè)函數(shù)組成的集合記為F.

定義1[8-9]設(shè)實(shí)值集函數(shù)μ:A[0,∞]滿足μ(?)=0 且μ(X)>0，以及當(dāng)A?B且A，B∈A時(shí),μ(A)≤μ(B)，則稱(chēng)μ為單調(diào)測(cè)度,(X,A,μ)為單調(diào)測(cè)度空間.

單調(diào)測(cè)度的條件(E)、強(qiáng)序連續(xù)和性質(zhì)(S)等結(jié)構(gòu)特性，是在推廣經(jīng)典測(cè)度論中的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理時(shí)引入的概念.由于單調(diào)測(cè)度一般不具有可加性,各種收斂性都有相應(yīng)的偽性版本,因此經(jīng)典的Egoroff定理、Lebesgue定理和Riesz定理在單調(diào)測(cè)度中都有4種表現(xiàn)形式.Egoroff定理的表現(xiàn)形式為:

定理1[7]設(shè)μ是定義在(X,A)上的有限單調(diào)測(cè)度,則

定義6[6]若對(duì)任意的集列{An}n?A,AnA,ν(A)=0,都有則稱(chēng)單調(diào)測(cè)度λ關(guān)于單調(diào)測(cè)度ν是[L]-型絕對(duì)連續(xù)的,記作λ?Lν.

利用單調(diào)測(cè)度這3個(gè)結(jié)構(gòu)特性,Li等得到了廣義Egoroff定理、廣義Lebesgue定理和廣義Riesz定理,并統(tǒng)一了相應(yīng)定理的各種版本[6].廣義Egoroff定理陳述為：

定理2[6]設(shè)λ，ν為(X,A)上的單調(diào)測(cè)度,則下列兩條等價(jià):

(1)λ?Eν;

2 主要結(jié)論

下面討論兩個(gè)單調(diào)測(cè)度之間的[E]型([L]型、[R]型)絕對(duì)連續(xù)性與這兩個(gè)單調(diào)測(cè)度是否滿足條件(E)(強(qiáng)序連續(xù)、性質(zhì)(S))之間的關(guān)系.

定理3存在單調(diào)測(cè)度λ、ν,使得λ和ν都不滿足條件(E),但λ?Eν.

單調(diào)測(cè)度ν定義為：

由此看出，存在{ni}和{mi}，使得

即λ?Eν.

定理4存在單調(diào)測(cè)度λ，ν,使得λ和ν都滿足條件(E),但既沒(méi)有λ?Eν,也沒(méi)有ν?Eλ.

證明設(shè)X，A如定理3，單調(diào)測(cè)度λ，ν定義為：

令mi=i,則易知

證畢.

注1還可以列舉出λ滿足條件(E),ν不滿足條件(E),但λ?Eν的單調(diào)測(cè)度λ,ν等.因此，λ,ν滿足條件(E)與λ?Eν和ν?Eλ之間是相互獨(dú)立的.

定理5存在單調(diào)測(cè)度λ,ν,使得λ和ν都不是強(qiáng)序連續(xù)的,但ν?Lλ.

證明設(shè)為自然數(shù)集,σ-代數(shù)A=2，則定義單調(diào)測(cè)度λ,ν:A[0,∞)為:

由此看出,λ不是序連續(xù)的,因而不是強(qiáng)序連續(xù)的.事實(shí)上,設(shè)An={n,n+1,…},則An?,但ν也不是強(qiáng)序連續(xù)的.設(shè)An={0,n,n+1,…},則An{0}且λ({0})=0,但

由于存在ν?Lλ，事實(shí)上，設(shè)AnA,λ(A)=0,則A=?.于是存在某個(gè)正整數(shù)n0，使得0?An(n>n0)，則

即ν?Lλ.

證畢.

定理6存在單調(diào)測(cè)度λ,ν,盡管λ和ν都是強(qiáng)序連續(xù)的,但既沒(méi)有λ?Lν,也沒(méi)有ν?Lλ.

證明設(shè)為自然數(shù)集,σ-代數(shù)A=2，定義單調(diào)測(cè)度λ、ν:A[0,∞)為:

設(shè)AnA,若λ(A)=0,則0?A.于是，存在某個(gè)正整數(shù)n0，使得0?An(n>n0),從而即λ是強(qiáng)序連續(xù)的.同理,ν也是強(qiáng)序連續(xù)的.

設(shè)An={1,n,n+1,…}，則An{1}且λ({1})=0,但因此ν?Lλ不成立.同理,λ?Lν也不成立.

證畢.

定理7存在單調(diào)測(cè)度λ,ν,使得λ和ν都不滿足性質(zhì)(S),但ν?Rλ.

證明設(shè)X為全體正整數(shù)的集合,A=2X，則定義單調(diào)測(cè)度λ,ν為:

則λ,ν都不滿足性質(zhì)(S).

事實(shí)上,令

Ak=X({1}∪{k,2k,3k,…}),

證畢.

定理8存在單調(diào)測(cè)度λ,ν,使得λ和ν滿足性質(zhì)(S)，且λ?Rν,但ν?Rλ不成立.

注2還可以舉出其他例子說(shuō)明λ，ν滿足性質(zhì)(S)與λ?Rν和ν?Rλ之間是彼此獨(dú)立的.

3 結(jié) 語(yǔ)

本文討論了單調(diào)測(cè)度λ和μ是否滿足[E]-型([L]-型、[R]-型)絕對(duì)連續(xù)性，以及這兩個(gè)單調(diào)測(cè)度是否滿足條件[E]、強(qiáng)序連續(xù)、性質(zhì)(S)之間的關(guān)系.由結(jié)果可以看出,這些條件之間沒(méi)有必然的聯(lián)系,是彼此獨(dú)立的.今后將討論[E]-型、[L]-型和[R]-型絕對(duì)連續(xù)性之間，以及它們與其他絕對(duì)連續(xù)性[9]之間的關(guān)系.