李 冰，葉金丹，宋 濤，2

(1.湖州師范學(xué)院 理學(xué)院，浙江 湖州 313000；2.湖州市數(shù)據(jù)建模與分析重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 湖州 313000)

0 引 言

車(chē)聯(lián)網(wǎng)和自動(dòng)駕駛技術(shù)的日益成熟，為解決我國(guó)嚴(yán)峻的城市道路交通擁堵問(wèn)題開(kāi)辟了新的路徑.在現(xiàn)代智能交通技術(shù)背景下，探索交通流運(yùn)行的微觀動(dòng)力學(xué)機(jī)理，提高道路交通流的穩(wěn)定性，仍是交通科學(xué)研究的重要方向[1-2].時(shí)停時(shí)走波、三角激波、孤立波等與交通流穩(wěn)定性相關(guān)聯(lián)的各種車(chē)流密度波也是研究人員重點(diǎn)關(guān)注的課題[3-5].

車(chē)輛跟馳模型是交通流微觀模型中的一類(lèi)重要模型.從車(chē)輛跟馳模型出發(fā)，自微觀角度利用非線(xiàn)性分析方法研究各類(lèi)交通流密度波的形成、發(fā)展和傳播過(guò)程，對(duì)解決交通擁堵問(wèn)題具有至關(guān)重要的作用[3-5].在國(guó)外，Nagatani針對(duì)經(jīng)典優(yōu)化速度模型進(jìn)行了非線(xiàn)性分析，并對(duì)在各種狀態(tài)下出現(xiàn)的密度波進(jìn)行了詳細(xì)的分類(lèi)研究[5-6]；Kurtze就一般形式的車(chē)輛跟馳模型推導(dǎo)出的Burgers方程、Korteweg-de Vries (KdV) 方程，以及修正的 Korteweg-deVries (mKdV) 方程及其密度波解進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)[3-4].國(guó)內(nèi)學(xué)者Xue應(yīng)用非線(xiàn)性分析法解析了涉及相對(duì)速度的優(yōu)化速度模型的Burgers、KdV和mKdv方程所對(duì)應(yīng)描述的三角激波、孤立波和扭結(jié)—反扭結(jié)密度波變化[7]；Ge等將Nagatani的研究成果推廣至多預(yù)期模型[8]和全速度差模型[9]；彭光含研究了雙前車(chē)信息的跟馳模型的穩(wěn)定性和各類(lèi)密度波方程[10]；Kuang等構(gòu)建了由多預(yù)期平均速度效應(yīng)影響的跟馳模型，并對(duì)其進(jìn)行了穩(wěn)定性分析和非線(xiàn)性分析[11]；曹芳等研究了智能提示限速信息的跟馳模型的穩(wěn)定性和各類(lèi)密度波方程[12]；吳春秀等構(gòu)建了后視速度差車(chē)輛跟馳模型，推導(dǎo)出了模型方程的扭結(jié)-反扭結(jié)波解，并討論了參數(shù)的選取對(duì)交通系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響[13].本文遵循全速度差跟馳模型的基本假設(shè)，在僅考慮行駛車(chē)輛前方一輛車(chē)的基礎(chǔ)上引入前方第二輛車(chē)，構(gòu)建智能多車(chē)協(xié)作跟馳模型，并分析其穩(wěn)定性條件和非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)特征，給出不同區(qū)域的非線(xiàn)性密度波解.

1 智能多車(chē)協(xié)作跟馳模型

在車(chē)聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，司機(jī)可以實(shí)時(shí)獲取豐富的交通信息，如周邊車(chē)輛的速度和與本車(chē)的間距等數(shù)據(jù)，從而及時(shí)調(diào)整車(chē)速和車(chē)間距，以保障駕乘的安全和穩(wěn)定.研究證實(shí)[1]，司機(jī)在駕駛過(guò)程中，不僅要密切關(guān)注最近鄰前車(chē)的行駛車(chē)速和間距變化，還要留意次近鄰前車(chē)行駛狀態(tài)的變化.前方兩輛車(chē)與本車(chē)之間的車(chē)間距和車(chē)速變化會(huì)在不同程度上影響行車(chē)安全，而且最近鄰前車(chē)的行駛狀態(tài)比次近鄰前車(chē)的行駛狀態(tài)對(duì)本車(chē)司機(jī)的影響程度更大，司機(jī)對(duì)車(chē)速差異的敏感度也高于對(duì)車(chē)間距差異的敏感度.因此，需要利用不同參數(shù)來(lái)描述次近鄰前車(chē)與本車(chē)之間的車(chē)速差異，以及車(chē)間距差異對(duì)本車(chē)行駛狀態(tài)的影響.在車(chē)聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，眾多司機(jī)在駕駛車(chē)輛時(shí)，實(shí)時(shí)且精確獲取前方兩輛車(chē)的行駛狀態(tài)變化參數(shù)，有助于他們迅速做出反應(yīng).此時(shí)，司機(jī)相當(dāng)于利用各自車(chē)輛信息協(xié)作完成對(duì)交通流行為的預(yù)判，并做出相應(yīng)的駕駛操作反應(yīng).

全速度差車(chē)輛跟馳模型描述了前后兩輛車(chē)的跟馳行為，在理論分析和模擬仿真領(lǐng)域應(yīng)用廣泛[14].模型方程為：

根據(jù)上述分析，本文以全速度差車(chē)輛跟馳模型為基礎(chǔ)，考慮前方兩輛車(chē)的行駛參數(shù)，構(gòu)建智能多車(chē)協(xié)作跟馳模型(Intelligent multi-vehicle cooperative car-following model)：

(1)

2 線(xiàn)性穩(wěn)定性分析

交通流的線(xiàn)性穩(wěn)定性分析是進(jìn)行非線(xiàn)性分析的前提，也是區(qū)分穩(wěn)定性區(qū)域的基礎(chǔ)[16].為便于解析分析，將智能多車(chē)協(xié)作跟馳模型方程(1)改寫(xiě)為：

(2)

假設(shè)車(chē)流的初始狀態(tài)為穩(wěn)定態(tài)，各車(chē)輛之間的車(chē)頭間距為h，對(duì)應(yīng)車(chē)輛的優(yōu)化速度為V(h)，則穩(wěn)態(tài)交通流的車(chē)輛位置可表示為：

對(duì)該均勻流施加一個(gè)小擾動(dòng)yn(t)=exp(ikn+zt)，則有：

(3)

將式(3)代入式(2)，并進(jìn)行線(xiàn)化，得：

(4)

將式(4)的yn按傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)，整理化簡(jiǎn)，得：

z2=α[mV′(h)(eik-1)+(1-m)V′(h)eik(eik-1)-z]+k(1+l)z(eik-1)+klzeik(eik-1).

(5)

將參數(shù)z以z=z1ik+z2(ik)2+…的形式展開(kāi)，由ik的同次冪系數(shù)相等，得：

當(dāng)z2為負(fù)值時(shí)，初始均勻的穩(wěn)定流狀態(tài)會(huì)變得不穩(wěn)定；當(dāng)z2為正值時(shí)，穩(wěn)定流狀態(tài)穩(wěn)定.因此，由z2=0，得智能多車(chē)協(xié)作跟馳模型的中性穩(wěn)定性曲線(xiàn)為：

3 非線(xiàn)性分析

因?yàn)榻煌芏炔ㄋ芯康姆蔷€(xiàn)性交通波在某種意義下是“弱”非線(xiàn)性的，所以能利用小參數(shù)描述非線(xiàn)性效應(yīng)，從而采用各種漸近分析方法來(lái)求解方程.最常用的是約化攝動(dòng)法[17]，其通過(guò)適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變形和攝動(dòng)展開(kāi)，將車(chē)輛跟馳模型約化成可解的非線(xiàn)性方程(如Burgers方程、KdV 方程、mKdV方程等)，并通過(guò)討論各種交通波所對(duì)應(yīng)的密度波解存在的必要條件，探索參數(shù)選取對(duì)交通流穩(wěn)定性的影響[7].

由模型穩(wěn)定性條件可知，交通流分為3個(gè)區(qū)域：穩(wěn)定性區(qū)域、亞穩(wěn)定區(qū)域和不穩(wěn)定區(qū)域.下面運(yùn)用約化攝動(dòng)法，由智能多車(chē)協(xié)作跟馳模型導(dǎo)出對(duì)應(yīng)不同區(qū)域的非線(xiàn)性方程及其密度波解.為便于分析，將方程(1)改寫(xiě)為：

(6)

3.1 在穩(wěn)定區(qū)域?qū)С鯞urgers方程和三角激波解

在交通流穩(wěn)定區(qū)域，對(duì)空間變量n和時(shí)間變量t引入慢變量：

X=ε(n+bt),T=ε2t,

(7)

其中,0<ε?1，b為待定參數(shù).設(shè)車(chē)頭間距為:

Δxn(t)=h+εR(X,T).

(8)

將式(7)和式(8)代入式(6)，并展開(kāi)至ε3量級(jí)，得到偏微分方程：

(9)

令b=V′(h)，消除ε2項(xiàng)，化簡(jiǎn)式(9)，得：

(10)

3.2 在亞穩(wěn)定區(qū)域?qū)С鯧dV方程和孤立波解

在交通流亞穩(wěn)定區(qū)域，考慮在中性穩(wěn)定性曲線(xiàn)附近慢變量的變化行為，在中性穩(wěn)定性曲線(xiàn)附近對(duì)空間變量n和時(shí)間變量t引入緩變量：

X=ε(n+bt),T=ε3t，

(11)

其中，0<ε?1，b為待定參數(shù).設(shè)車(chē)頭間距為：

Δxn(t)=h+ε2R(X,T)，

(12)

將式(11)和式(12)代入式(6)，并展開(kāi)至ε6量級(jí)，得到偏微分方程：

(13)

(14)

其中，

為給出帶有高階小量的標(biāo)準(zhǔn)KdV方程，進(jìn)行以下變量代換：

對(duì)式(14)化簡(jiǎn)，得：

(15)

式(15)是帶有校正項(xiàng)o(ε)的KdV方程，忽略o(ε)項(xiàng)可得標(biāo)準(zhǔn)的KdV方程：

由校正項(xiàng)的可解性條件[6]，可得其孤立波解及其振幅分別為：

從而得到車(chē)頭間距的孤立波解為：

這個(gè)解是在中性穩(wěn)定性曲線(xiàn)附近得到的.因此，利用KdV方程的孤立波解可描述還未發(fā)生交通堵塞的擁擠車(chē)流中的小規(guī)模的車(chē)輛集簇效應(yīng).此時(shí)，交通孤立波刻畫(huà)了車(chē)輛在擁擠車(chē)流中“時(shí)快時(shí)慢”的行駛現(xiàn)象.

3.3 在不穩(wěn)定區(qū)域?qū)С鰉KdV方程和扭結(jié)—反扭結(jié)波解

在交通流不穩(wěn)定區(qū)域，考慮在臨界點(diǎn)附近引入緩變量：

X=ε(n+bt),T=ε3t，

其中,0<ε?1，b為待定參數(shù).設(shè)車(chē)頭間距為Δxn(t)=hI+εR(X,T)，將緩變量和車(chē)頭間距代入式(6)并展開(kāi)至ε5量級(jí)，得到偏微分方程：

(16)

(17)

其中，

為給出帶有高階小量的標(biāo)準(zhǔn)mKdV方程，進(jìn)行以下變量代換：

根據(jù)

對(duì)式(17)化簡(jiǎn)，得：

(18)

式(18)是帶有校正項(xiàng)o(ε)的mKdV方程，忽略項(xiàng)o(ε)可得標(biāo)準(zhǔn)的mKdV方程：

由校正項(xiàng)的可解性條件[6],可得其扭結(jié)—反扭結(jié)波解及其波速分別為：

于是得到車(chē)頭間距的扭結(jié)—反扭結(jié)波解為：

扭結(jié)—反扭結(jié)波解表示車(chē)流運(yùn)動(dòng)的共存相，包括低密度的自由運(yùn)動(dòng)相和高密度的擁擠相.共存曲線(xiàn)可以利用Δxn(t)=hI±A在車(chē)頭間距—敏感度相圖中給出，自由運(yùn)動(dòng)相和擁擠相的車(chē)頭間距分別為Δxn(t)=hI+A和Δxn(t)=hI-A.這在一定程度上表明，扭結(jié)—反扭結(jié)波刻畫(huà)了車(chē)流中常見(jiàn)的時(shí)停時(shí)走波，是車(chē)輛之間相互作用引發(fā)的交通密度波的傳播.

選取優(yōu)化速度函數(shù)為高速公路實(shí)測(cè)函數(shù)VJ(h)[15]，其具體形式為：

VJ(h)=16.8{tanh[0.086(h-25)+0.913]}(m/s),

當(dāng)參數(shù)k,m,l取不同值時(shí)，智能多車(chē)協(xié)作跟馳模型所對(duì)應(yīng)的車(chē)頭間距—敏感度相圖如圖1所示.在圖1中，實(shí)線(xiàn)表示中性穩(wěn)定性曲線(xiàn)，虛線(xiàn)表示共存曲線(xiàn).

圖1 車(chē)頭間距—敏感度相圖

由圖1可知，當(dāng)參數(shù)k,m,l取不同值時(shí)，交通流穩(wěn)定性的3個(gè)區(qū)域均可在圖1中明顯區(qū)分：共存曲線(xiàn)之上為穩(wěn)定區(qū)域，中性穩(wěn)定性曲線(xiàn)與共存曲線(xiàn)之間為亞穩(wěn)定區(qū)域，中性穩(wěn)定性曲線(xiàn)下方為不穩(wěn)定區(qū)域.從不同參數(shù)組對(duì)應(yīng)的車(chē)流穩(wěn)定性區(qū)域變化可以看出，在車(chē)聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下考慮前方次近鄰車(chē)輛運(yùn)動(dòng)信息對(duì)本車(chē)的影響，可使中性穩(wěn)定曲線(xiàn)和共存曲線(xiàn)位置相對(duì)下降，從而擴(kuò)大穩(wěn)定區(qū)域，這與前述從線(xiàn)性穩(wěn)定性分析得到的解析結(jié)果一致.根據(jù)前述的非線(xiàn)性分析推導(dǎo)過(guò)程可以看出，僅在均勻交通流引入的小擾動(dòng)中設(shè)置不同的小參數(shù)，就可在臨界點(diǎn)附近觀測(cè)到扭結(jié)—反扭結(jié)波，在中性穩(wěn)定性曲線(xiàn)附近觀測(cè)到孤立波，也可在共存曲線(xiàn)上方觀測(cè)到三角激波.這3類(lèi)非線(xiàn)性密度波出現(xiàn)在對(duì)應(yīng)交通流穩(wěn)定性的3個(gè)不同區(qū)域.

4 結(jié) 語(yǔ)

本文在車(chē)聯(lián)網(wǎng)環(huán)境下，利用全速度差跟馳模型，并考慮本車(chē)與前方次近鄰車(chē)輛運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息的關(guān)系，構(gòu)建了智能多車(chē)協(xié)作跟馳模型.穩(wěn)定性條件表明，智能多車(chē)協(xié)作跟馳模型進(jìn)一步增大了線(xiàn)性穩(wěn)定性區(qū)域，增強(qiáng)了車(chē)流的穩(wěn)定性.非線(xiàn)性分析結(jié)果表明，本文模型可在線(xiàn)性穩(wěn)定、亞穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域利用約化攝動(dòng)法推導(dǎo)出Burgers、KdV和mKdV方程，以及與其對(duì)應(yīng)的三角激波、孤立波和扭結(jié)—反扭結(jié)波.這3類(lèi)交通非線(xiàn)性密度波能夠描述在車(chē)流擁堵?tīng)顟B(tài)下“車(chē)隊(duì)集簇”“時(shí)快時(shí)慢”“時(shí)停時(shí)走”的交通現(xiàn)象.