呂志鵬

華東交通大學(xué)，江西 南昌 330013

具有隨機(jī)系數(shù)矩陣的高斯-馬爾可夫(GM)模型被稱為變量誤差(EIV)模型，在均方誤差意義下，總體最小二乘(TLS)估計(jì)得到的EIV模型參數(shù)估值優(yōu)于最小二乘(TLS)估計(jì)，這種狀況已引起測(cè)繪領(lǐng)域的極大關(guān)注，并成為多年來(lái)的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。

近年來(lái)，TLS估計(jì)逐步演變成一個(gè)完備的理論體系，但是相關(guān)研究成果仍不夠成熟和完善，有待進(jìn)一步提高和發(fā)展。論文從加權(quán)總體最小二乘(WTLS)估計(jì)的分類、結(jié)構(gòu)總體最小二乘(STLS)估計(jì)、STLS問(wèn)題的(非負(fù))方差分量估計(jì)、基于總殘差的抗差總體最小二乘(RTLS)估計(jì)，以及具有高崩潰污染率的RTLS估計(jì)等方面展開(kāi)系統(tǒng)性的研究。論文主要內(nèi)容包括。

(1) 系統(tǒng)總結(jié)了WTLS估計(jì)的解法。從WTLS問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型表達(dá)、優(yōu)化方法選擇和迭代公式設(shè)計(jì)3方面對(duì)WTLS估計(jì)的解法進(jìn)行分類。在不同的模型假設(shè)下，采用Gauss-Newton法推導(dǎo)各種解法的估計(jì)公式，并說(shuō)明它們具有LS估計(jì)的形式。

(2) 針對(duì)測(cè)繪領(lǐng)域諸多實(shí)際應(yīng)用中系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量具有結(jié)構(gòu)特征這一問(wèn)題，從EIV函數(shù)模型出發(fā)，引入變量投影法對(duì)系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量中的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行提取，然后基于Gauss-Newton法設(shè)計(jì)STLS估計(jì)算法，算例分析表明該算法相對(duì)于WTLS估計(jì)算法減少了預(yù)測(cè)殘差的數(shù)量。闡明STLS估計(jì)和WTLS估計(jì)具有等價(jià)性。

(3) 分析了TLS估計(jì)得到的預(yù)測(cè)殘差特點(diǎn)，說(shuō)明相對(duì)于LS估計(jì)，TLS估計(jì)并不適合于進(jìn)行殘差預(yù)測(cè)，推薦采用總殘差對(duì)等式誤差進(jìn)行預(yù)測(cè)。

(4) 考慮到系數(shù)矩陣和觀測(cè)向量中的隨機(jī)量可能來(lái)源于不同的觀測(cè)或者平差，甚至不同期的觀測(cè)，因而可能具有不同的方差分量，如果考慮隨機(jī)量之間的相關(guān)性，也可能具有不同的協(xié)方差分量這一問(wèn)題，基于總殘差將最小二乘方差分量估計(jì)(LS-VCE)算法應(yīng)用到STLS問(wèn)題的方差和協(xié)方差分量估計(jì)。采用非負(fù)函數(shù)對(duì)方差分量重新參數(shù)化，設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)變量誤差(SEIV)模型的非負(fù)函數(shù)約束最小二乘方差分量估計(jì)(NFC-LS-VCE)算法，算例分析表明該算法可以有效解決初值選取不當(dāng)引起的負(fù)方差問(wèn)題。

(5) 觀測(cè)值不可避免地混入粗差，M估計(jì)是處理粗差問(wèn)題的常用方法，以往研究均是基于單個(gè)觀測(cè)值的預(yù)測(cè)殘差進(jìn)行算法設(shè)計(jì)。論文以標(biāo)準(zhǔn)化總殘差為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)相應(yīng)的M估計(jì)算法——RSTLS-LS-IGGⅢ，算例分析說(shuō)明其性能優(yōu)于基于單個(gè)觀測(cè)值重定權(quán)的策略。

(6) 設(shè)計(jì)了3種高崩潰污染率的抗差估計(jì)方法，即基于枚舉法的重復(fù)中位數(shù)(RM)估計(jì)、基于重采樣方法的總體最小平方中位數(shù)(TLMS)估計(jì)和基于分支定界(BAB)算法的總體最小截?cái)嗥椒?TLTS)估計(jì)，這3種估計(jì)方法均具有50%的漸進(jìn)崩潰污染率。算例分析表明，上述3種算法有效性較低，并不適合作為最終的參數(shù)估值?？梢允紫炔捎酶弑罎⑽廴韭实目共罟烙?jì)方法計(jì)算參數(shù)初值，然后進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化總殘差預(yù)測(cè)和后驗(yàn)單位權(quán)方差估計(jì)，最終應(yīng)用回降M估計(jì)計(jì)算參數(shù)估值，即帶有抗差初值的M估計(jì)——MM估計(jì)，算例分析表明該算法可以同時(shí)具有高有效性和高崩潰污染率。