李遠飛，肖勝中，曾鵬，歐陽柏平

（1.廣州華商學院，廣東 廣州 511300；2.廣東農(nóng)工商職業(yè)技術學院,廣東 廣州 510507）

1856 年SAINT-VENANT［1］提出的數(shù)學和力學方程，后被稱為Saint-Venant 原理，廣受應用數(shù)學領域研究者的關注和深入研究。其含義為“能量”隨與柱體有限端距離的增大逐漸衰減為零［2-7］。幾乎所有的研究均需要方程的解在無窮遠處衰減于零或趨近于瞬態(tài)層流的先驗假設，且通常假設在柱體的側面滿足零邊界條件。

20世紀90 年代后，Phragmén-Lindel?f 型二擇一原理被提出，并逐步成為研究熱點，不必再假設方程的解滿足Saint-Venant 原理，只要證明“能量”隨與柱體有限端距離的增加要么無限增大要么衰減為零。Phragmén-Lindel?f 型二擇一原理在物理學、力學和生物學等領域具有巨大的應用前景［8-14］。

通常的做法是先定義一個半無窮的柱體：

其中，D為x1Ox2平面上的一個有界區(qū)域且具有光滑的邊界?D。用Rz表示R的一個子區(qū)域：

其中，z為x3軸上的一個動點。用Dz表示R在x3=z處的橫截面：

假設方程的解在柱體的有限端滿足非零邊界條件，在柱體的側面滿足齊次Dirichlet 邊界條件或齊次Neumann 邊界條件。用微分不等式技術證明“能量”要么呈指數(shù)式（多項式）增加，要么呈指數(shù)式（多項式）衰減。如LIN［13］考慮了定義在R×(0，∞)上的穩(wěn)態(tài)擬線性方程

對非線性項做一定限制，可得到解的二擇一定理。考慮瞬態(tài)擬線性方程

在柱體側面施加非齊次Dirichlet 邊界條件

其中，h（u）為已知函數(shù)。在柱體的有限端，有

式（3）中，g為大于零的給定函數(shù)且滿足兼容性條件g=0，在D0×(0，∞)和g（x1，x2，0）=0。

實際情況是研究的物理模型很難滿足齊次邊界條件，因此本研究更有意義。據(jù)知，目前除文獻［8，11］外，很少見關注非齊次邊界條件下二擇一拋物問題的文獻。文獻［8］研究的是三維柱體上調(diào)和方程的二擇一拋物問題，文獻［11］則假設調(diào)和方程在柱體側面滿足不同的非零邊界條件，得到解的二擇一定理。本文的模型更復雜，無法直接應用文獻［8，11］中的方法。

1 基本不等式

在研究二擇一問題時，大多文獻通常用?w的L2積分控制w的L2積分，即若w|?D=0，則

為證明本文的主要結果，結合文獻［5，8］的方法，推導常用的微分不等式。

引理1存在一個依賴于區(qū)域D的大于零的常數(shù)C1，使得

證明設P為D內(nèi)一點。令P1和P2分別表示過點P平行于x1坐標軸的直線與?D的交點，令Q1和Q2分別為過點P平行于坐標軸x2的直線與?D的交點。首先，注意到

接下來，定義能量表達式，然后利用微分不等式技術推導關于此能量表達式的一階微分不等式，得到解的二擇一結果。

由式（1），可得恒等式

2 二擇一結果

分以下3 種情形分析式（17）。

由式（13）和式（31），可得到以下定理。

定理2假設u是式（1）～式（4）的解，且p=1，則當z沿x3軸趨近于∞時，u要么呈指數(shù)式增長，要么呈指數(shù)式衰減，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

定理3假設u是式（1）～式（4）的解，且p>1，則當z沿x3軸趨近于∞時，u要么呈指數(shù)式增長，要么呈指數(shù)式衰減，即要么式（33）成立，要么式（35）成立。

顯然，在衰減情形下，Φ(0)，Q0均與?E(0，t)有關。因此，要使定理1～定理3 都有意義，須證明?E(0，t)有界。

3 全能量估計

為在衰減情形下，推導全能量E(0，t)的上界，首先假設

其中，ε3為大于零的任意常數(shù)。取適當?shù)摩?，ε2和ε3，使得

再由Φ0和Q0的定義，易得其上界。

4 總結

首先推導了引理1，假設式（1）～式（4）在柱體側面滿足非齊次Dirichlet 條件，利用引理1 并運用微分不等式技術，得到了解的二擇一結果。事實上，經(jīng)必要的修正，本文的結論也適合非齊次Neumann邊界條件。顯然，本文結論是對文獻［13］的推廣，研究方法和結果可為進一步研究復雜模型提供借鑒。

今后，可繼續(xù)進行更深層次的研究，如研究文獻［16］中的模型

以及文獻［17］中變系數(shù)熱量方程